(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 內(nèi)蒙古 包頭 014010)

引言

氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)已作為各大、中型卡車的制動(dòng)系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活當(dāng)中，在蜿蜒復(fù)雜地形中工作的重型車輛，其制動(dòng)能力的強(qiáng)弱是衡量卡車性能的重要標(biāo)準(zhǔn)之一[1]。隨著全球環(huán)境污染日益加重，氣體作為清潔能源開(kāi)始逐步代替其他流體來(lái)到我們的身邊[2]。氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)是車輛制動(dòng)的核心環(huán)節(jié)，因此需要研究如何提高制動(dòng)系統(tǒng)的制動(dòng)力。制動(dòng)力不足產(chǎn)生的原因，往往是由于制動(dòng)系統(tǒng)管路中氣柱長(zhǎng)期振動(dòng)產(chǎn)生共振導(dǎo)致的管路接口處氣體泄漏和疲勞破損。因此，對(duì)氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)管路部分研究一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

在氣動(dòng)管路研究過(guò)程中，對(duì)于管路中氣柱部分?jǐn)?shù)學(xué)建模為制動(dòng)氣柱振動(dòng)分析的前提。于是選擇精度較高、穩(wěn)定性較強(qiáng)的分析方法對(duì)氣柱振動(dòng)研究就顯得非常重要。朱長(zhǎng)建[3]通過(guò)對(duì)多軸重型車輛氣動(dòng)制動(dòng)管路研究和實(shí)驗(yàn)分析得出，管路長(zhǎng)度是引起時(shí)間滯后的主要原因，從而證明了對(duì)氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)管路參數(shù)的研究是制動(dòng)性能好壞的重要保障。在氣體動(dòng)力學(xué)中，動(dòng)力學(xué)方程作為研究氣體運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)，其均為雙曲偏微分方程，劉付軍等[4]通過(guò)傳統(tǒng)一階迎風(fēng)格式差分方法對(duì)雙曲偏微分方程進(jìn)行了計(jì)算，通過(guò)幾種不同的差分方法證明了雙曲偏微分方程由迎風(fēng)差分方法計(jì)算的有效性。謝亮等[5]研究如何從顯隱方面提高雙曲偏微分方程的計(jì)算精度。之后楊樹(shù)林等[6]通過(guò)斜拉橋鋼索模型進(jìn)行了雙曲偏微分方程分析計(jì)算和MATLAB數(shù)值仿真。對(duì)氣動(dòng)方程的分析需要考慮氣體本身的可壓縮性和摩擦因素來(lái)提高管路研究的計(jì)算精度。郭長(zhǎng)虹等[7]推導(dǎo)了高速高壓化導(dǎo)致液壓泵口流量振動(dòng)加劇。通過(guò)仿生管路進(jìn)行雙向流固耦合仿真，隨著管路長(zhǎng)度和硅膠層厚度的增加振動(dòng)明顯。ZHAO等[8-9]在分析流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用差分方程的半拉格朗日方法解雙曲偏微分方程，證明差分方法是作為流體研究的有效方法。王雪峰[10]進(jìn)行最小二乘擬合后,得出了管路壓強(qiáng)的三次多項(xiàng)式變化規(guī)律，從而明顯的提高了計(jì)算效率。YANG等[11]利用差分方法應(yīng)用于氣動(dòng)管路中，證明管路長(zhǎng)度是影響制動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的主要原因，并證明其方法更加接近于真實(shí)變化。余先鋒等[12]在進(jìn)行開(kāi)洞結(jié)構(gòu)風(fēng)壓實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，利用氣體動(dòng)力學(xué)方程的分離變量方法得出不同開(kāi)口產(chǎn)生共振頻率。吳炳勝[13]通過(guò)進(jìn)行振動(dòng)故障的診斷,并分析了出現(xiàn)這些振動(dòng)故障的原因,提出了減小振動(dòng)故障的改進(jìn)措施。

綜合上述原因,在分析氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)管路的過(guò)程中，不僅需要復(fù)雜的雙曲偏微分方程的數(shù)學(xué)建模，而且還要利用一種相對(duì)精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)的方法作為管路研究前提，然后，再進(jìn)行氣柱振動(dòng)的研究。更重要的是通過(guò)對(duì)氣柱振動(dòng)的研究，為后來(lái)的制動(dòng)力不足問(wèn)題提供分析依據(jù)。本研究首先通過(guò)管路模型建立，引出氣體在管路中的流動(dòng)原理，建立氣體流動(dòng)數(shù)學(xué)模型。其次通過(guò)復(fù)合函數(shù)微分法整理變換成氣體振動(dòng)方程。最后通過(guò)MATLAB軟件仿真驗(yàn)證有限差分方法是作為氣體振動(dòng)研究的有效方法。

1 氣動(dòng)制動(dòng)管路模型建立

在重型卡車的氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)中，一般管路直徑在4～12 mm范圍之內(nèi)，其管路長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直徑。由于氣體具有可壓縮性，則視管內(nèi)氣體流動(dòng)為一維非定常流。于是在設(shè)計(jì)氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)的過(guò)程中，把管路部分作為獨(dú)立元件分析是非常重要的，如圖1所示為一個(gè)化簡(jiǎn)后簡(jiǎn)單的管路模型圖。

圖1 氣動(dòng)制動(dòng)管路模型

氣體由空氣壓縮機(jī)進(jìn)入氣囊，再由氣囊經(jīng)過(guò)管路通過(guò)減壓閥進(jìn)入制動(dòng)氣室。隨著減壓閥口的開(kāi)合，不斷進(jìn)入制動(dòng)氣室從而完成車輛制動(dòng)。

管路內(nèi)氣體流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程主要是雙曲偏微分方程，具體方程如下：

1) 狀態(tài)方程式

p=ρRθ

(1)

式中，p—— 管路內(nèi)氣體壓力，MPa

ρ—— 氣體密度，kg/m3

θ—— 熱力學(xué)溫度，K

其描述了管路內(nèi)3種變量之間的狀態(tài)關(guān)系。

2) 運(yùn)動(dòng)方程式

如圖2所示管路中的氣體微團(tuán)，描述了氣體微團(tuán)和加速度與微團(tuán)所受外力總和的關(guān)系。由牛頓第二定律可知：

(2)

式中，u—— 管路內(nèi)氣體流動(dòng)速度，m/s

D—— 管路直徑，mm

λ—— 管路內(nèi)壁摩擦因素

x,t—— 分別表示空間和時(shí)間步長(zhǎng)

圖2 運(yùn)動(dòng)方程

3) 連續(xù)方程式

如圖3所示基于質(zhì)量守恒定律，其描述了密度的變化與單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)出管路氣體微團(tuán)質(zhì)量變化的關(guān)系可知：

(3)

圖3 連續(xù)方程

上述氣體管路方程我們可以通過(guò)傳統(tǒng)一階迎風(fēng)差分方法計(jì)算出管路內(nèi)氣流在管路中任意點(diǎn)，任意時(shí)刻關(guān)于壓力、流速及密度的狀態(tài)值。由于考慮氣體的可壓縮性、管壁摩擦因素等影響，因此在分析上述方程的過(guò)程中需要擺脫傳統(tǒng)管路分析方法。

2 波動(dòng)方程與氣柱共振頻率分析

2.1 波動(dòng)方程的建立

氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)管路振動(dòng)是由許多原因引起的：

(1) 進(jìn)入管路氣流不穩(wěn)定引起氣流脈動(dòng)；

(2) 管路設(shè)計(jì)不當(dāng)或運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力平衡性差；

(3) 管路中氣流速度大，使得管路湍流邊界產(chǎn)生局部渦流引起共振。然而引起氣柱振動(dòng)的最主要原因是由于氣流脈動(dòng)所引起的。間歇或周期性改變進(jìn)入管路壓力使得管道內(nèi)的壓力在平均值的上、下波動(dòng)，于是使管流處于脈動(dòng)狀態(tài)。靜止氣體內(nèi)的聲速表達(dá)式為：

(4)

式中，T—— 絕熱溫度，K

R —— 氣體常數(shù)

k—— 絕熱指數(shù)

g—— 重力加速度,m/s2

由連續(xù)方程式(3)變化為關(guān)于a方程：

(5)

(6)

(7)

研究壓力波需要消去其中的脈動(dòng)速度u,轉(zhuǎn)換為壓力p關(guān)于時(shí)間t和空間x的偏導(dǎo)數(shù)。

于是由式(7)進(jìn)行偏導(dǎo)并帶入運(yùn)動(dòng)方程式(2)偏導(dǎo)方程整理得：

脈動(dòng)壓力的一般偏微分方程：

(8)

式中，uo—— 上流速度

由于上流進(jìn)氣速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于常溫下氣流在介質(zhì)中的傳播速度為340 m/s，即u0可視為無(wú)窮小，因此原式變形為：

(9)

2.2 氣柱共振頻率的計(jì)算

雙曲偏微分方程整理為一般波動(dòng)方程：

(10)

利用分離變量法求解波的方程，波動(dòng)方程特征方程為：

ω2+a2γ2=0

(11)

求出γ帶入波動(dòng)的和諧解中，根據(jù)波的疊加原理可得：

(12)

其中A和B均為復(fù)數(shù)常量，由復(fù)數(shù)虛部部分來(lái)表征脈動(dòng)壓力：

(13)

ejkx=coskx+jsinkx

(14)

可以得到pt和ut的表達(dá)式：

pt=p0coskx-jρa(bǔ)u0sinkx

(15)

(16)

分析管路氣柱固有頻率時(shí)，就是一邊固定，另一邊受到脈動(dòng)激發(fā)下呈現(xiàn)的自由振動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)振動(dòng)產(chǎn)生的頻率為固有頻率。

上流處速度為0，壓力不為0，下流則正好相反速度不為0，壓力為0，將其帶入式(15)和(16)中得固有頻率方程為：

(17)

其中n=0,1,2,…，l為管路氣柱距離，即整個(gè)模型可視減壓閥為一端固定，在開(kāi)閉間產(chǎn)生氣體流動(dòng)的不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致產(chǎn)生氣柱振動(dòng)。由式分析可知，氣柱固有頻率只與管路長(zhǎng)度有關(guān)。下面通過(guò)波動(dòng)的差分方程仿真來(lái)驗(yàn)證波動(dòng)固有頻率的有效性。

3 波動(dòng)模型有限差分仿真

由于重型車輛氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)管路壓力在6.5～8.5 MPa之間，選擇管路壓力p=8.5 MPa，時(shí)間t=2.5 s，空間距離選擇x=20 m和x=50 m，其中時(shí)間和空間步長(zhǎng)分別選擇100和1000，波動(dòng)方程式(10)中初始函數(shù)u(o,t)=f(x)和邊界函數(shù)u(x,t)=g(x)。由上述分析可以把初始函數(shù)f(x)以脈動(dòng)激勵(lì)進(jìn)入氣動(dòng)管路中，而g(x)則以0函數(shù)為壓力的固定端。

如圖4所示，可以看出當(dāng)20 m管路中氣柱波動(dòng)方程由有限差分方法進(jìn)行仿真時(shí)，在末端管路部分出現(xiàn)了共振波動(dòng)，為了更清晰的描述有限差分格式，選擇較大固有頻率進(jìn)行分析，利用傅里葉變換將時(shí)域圖轉(zhuǎn)化為頻域圖。下面通過(guò)具體50 m管路進(jìn)一步證明有限差分方法進(jìn)一步分析氣柱共振情況。

圖4 20 m管路中氣柱波動(dòng)圖

如圖5～圖7所示，圖6中1～5表示等距步長(zhǎng)不同波動(dòng)的情況，發(fā)現(xiàn)利用有限差分方法分析氣動(dòng)制動(dòng)管路氣柱波動(dòng)在共振頻率下，下流區(qū)域也產(chǎn)生振動(dòng)的特性，對(duì)比上述數(shù)學(xué)計(jì)算方法在波動(dòng)方程中所得到的固有頻率，利用n=9時(shí)，固有頻率為32.3 Hz，可以看到放大2.5倍后的圖像(7)，在158.2，236.3 Hz及后續(xù)相應(yīng)倍數(shù)出均出現(xiàn)了頻率的增大，于是證明了確實(shí)在分析過(guò)程中出現(xiàn)了共振情況。然后通過(guò)有限差分方法分析結(jié)果可以與之充分的印證，最后證明有限差分方法可以作為氣體振動(dòng)研究的一種較為有效的方法。

圖5 50 m管路中氣柱波動(dòng)

圖6 時(shí)間與壓力關(guān)系圖

圖7 50 m波動(dòng)頻率圖

4 結(jié)論

結(jié)合氣體動(dòng)力學(xué)原理，建立氣動(dòng)管路中的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)波動(dòng)方程的復(fù)合整理微分變換和歐拉方程對(duì)波動(dòng)方程的整理，分析了氣柱共振波動(dòng)的固有頻率，然后采用有限差分方法驗(yàn)證此方法在波動(dòng)方程分析過(guò)程中的有效性。得到了一端為氣動(dòng)脈沖另一端為固定端所產(chǎn)生共振的仿真情況，為由管路氣柱共振所導(dǎo)致制動(dòng)系統(tǒng)制動(dòng)力不足的研究提供了分析依據(jù)。