(1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州，310058；2.浙江大學(xué)城市學(xué)院土木工程系，浙江杭州，310015)

隨著城市軌道交通發(fā)展和地下空間的開發(fā)利用，在運(yùn)營(yíng)地鐵隧道附近進(jìn)行基坑開挖的工程越來越多[1]，包括一些在已有盾構(gòu)隧道上方進(jìn)行基坑開挖的工程，如杭州延安路地下通道基坑跨越地鐵1號(hào)線[2]、上海廣場(chǎng)基坑跨越地鐵1號(hào)線區(qū)間隧道[3]以及上海浦東新區(qū)東方路下立交工程基坑跨越地鐵2號(hào)線[4]。當(dāng)此類工程的基坑開挖時(shí)，開挖面卸荷作用會(huì)通過土體傳遞給下方盾構(gòu)隧道，在隧道結(jié)構(gòu)上引起附加荷載，破壞管片結(jié)構(gòu)的受力平衡，從而產(chǎn)生變形，甚至損傷。為保證軌道線路安全運(yùn)營(yíng)，地鐵隧道對(duì)變形控制要求較高[5]。因此，研究基坑開挖對(duì)下臥盾構(gòu)隧道的影響具有重要的應(yīng)用價(jià)值。針對(duì)此類工程問題，國(guó)內(nèi)外已展開了一些研究。研究方法主要可歸納為：實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析[6-7]、數(shù)值模擬[8-9]、理論計(jì)算[10-12]和離心模型試驗(yàn)[13]。在理論分析法方面，王濤等[14]用Boussinesq解計(jì)算開挖卸載產(chǎn)生的附加應(yīng)力，將下臥隧道等效為彈性地基梁，基于Winkler模型，計(jì)算隧道的縱向變形。但Winkler模型過于簡(jiǎn)化沒有考慮地基的剪切剛度。黃栩等[11]采用更精確的Kerr模型研究開挖卸載引起的下臥隧道縱向變形。但目前的研究中將下臥隧道等效為彈性地基梁的假設(shè)過于簡(jiǎn)化，沒有考慮盾構(gòu)隧道的管片結(jié)構(gòu)。魏新江等[15]在研究地面堆載對(duì)臨近地鐵隧道的影響時(shí)，采用了一種可綜合考慮剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)和剪切錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)的盾構(gòu)隧道變形模型，研究發(fā)現(xiàn)該模型的計(jì)算值要比彈性地基梁模型更接近實(shí)測(cè)值，也更能反映隧道實(shí)際變形模式。但目前在基坑開挖引起下臥隧道變形的研究過程中能同時(shí)考慮剪切錯(cuò)臺(tái)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)協(xié)同變形的研究較少，因此，本文作者引入可綜合考慮盾構(gòu)隧道管片環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)和錯(cuò)臺(tái)2種變形效應(yīng)的協(xié)同變形模型，采用Mindlin解計(jì)算基坑開挖對(duì)下臥盾構(gòu)隧道的附加荷載，結(jié)合最小勢(shì)能原理建立隧道變形的變分控制方程。推導(dǎo)出隧道的縱向變形量、環(huán)間剪切力、錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式。利用復(fù)合辛普森求積公式編寫相應(yīng)的Matlab數(shù)值計(jì)算程序進(jìn)行求解。選取3組典型案例進(jìn)行計(jì)算分析，將計(jì)算值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該方法的可靠性。

1 基坑開挖引起的盾構(gòu)隧道附加荷載

基坑開挖對(duì)下臥盾構(gòu)隧道影響的示意圖如圖1所示。在盾構(gòu)隧道上方開挖矩形基坑，在地面基坑中心O處建立坐標(biāo)系，x和y軸分別垂直和平行于隧道軸線，z軸以豎直向下為正方向。沿y軸方向的基坑開挖長(zhǎng)度為L(zhǎng)，沿x軸方向的基坑開挖長(zhǎng)度為B，基坑開挖深度為d?；优c盾構(gòu)隧道位置關(guān)系圖如圖2所示?；拥撞恳韵聡o(hù)結(jié)構(gòu)插入深度為d0，基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)總高度為H(H=d+d0)，開挖面與隧道的最小凈距為s，盾構(gòu)隧道外徑為D，隧道軸線埋深為h(h=s+D/2)。隧道軸線與基坑中心的水平距離為a，由此可得隧道軸線上任意一點(diǎn)的位置為(a，l，h)，l為該點(diǎn)在此坐標(biāo)中對(duì)應(yīng)的y軸坐標(biāo)值。

圖1 基坑開挖對(duì)下臥盾構(gòu)隧道影響的示意圖Fig.1 Schematic diagram for influence of foundation pit excavation on underlying shield tunnel

圖2 基坑與盾構(gòu)隧道位置關(guān)系圖Fig.2 Position relationship between pit and tunnel

假設(shè)：

1)地基土為均勻連續(xù)、各向同性的半無限彈性體；

2)在計(jì)算基坑開挖對(duì)土體產(chǎn)生的附加應(yīng)力時(shí)，不考慮隧道存在的影響。

考慮到實(shí)際工程中隧道上方基坑支護(hù)體系剛度較大以及底部圍護(hù)結(jié)構(gòu)和隔離墻的遮攔效應(yīng)，根據(jù)計(jì)算，基坑側(cè)壁卸載對(duì)基坑下臥隧道的豎向變形影響很小，可以忽略不計(jì)，故將基坑開挖的卸載效應(yīng)簡(jiǎn)化為基坑底部施加豎直向上的均布荷載，均布荷載可根據(jù)下式進(jìn)行計(jì)算：

式中：p為基坑底部卸載(kN/m2)；γ為土的重度(kN/m2)，可取開挖土體的加權(quán)平均值；α0為殘余應(yīng)力系數(shù)[16]，該系數(shù)可以用來考慮基坑底部應(yīng)力不完全釋放的情況，其取值方法可參考文獻(xiàn)[16]。

根據(jù)Mindlin應(yīng)力解[17]，在半無限彈性體中(x1,y1,z1)處作用一單位力，計(jì)算點(diǎn)(x,y,z)處產(chǎn)生的豎向附加應(yīng)力為

根據(jù)式(1)和式(2)可得：在基坑底部某點(diǎn)(ξ，η，d)處，卸載p作用下，隧道處(a，l，h)的豎向附加應(yīng)力P(l)為

2 下臥盾構(gòu)隧道縱向變形計(jì)算

2.1 考慮轉(zhuǎn)動(dòng)和錯(cuò)臺(tái)的管片環(huán)協(xié)同變形模型

將盾構(gòu)隧道每一節(jié)管片環(huán)簡(jiǎn)化為彈性地基短梁，管片環(huán)間由法向彈簧和剪切彈簧連接[15]。盾構(gòu)隧道協(xié)同變形示意圖如圖3所示。相鄰管片之間既會(huì)產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角，也會(huì)發(fā)生相對(duì)錯(cuò)臺(tái)，而隧道縱向變形由相鄰管片環(huán)之間剪切錯(cuò)臺(tái)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)組合形成。當(dāng)相鄰管片環(huán)之間總的相對(duì)豎向位移為δ，由管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的相對(duì)豎向位移為δ1，由管片環(huán)錯(cuò)臺(tái)產(chǎn)生的相對(duì)豎向位移為δ2，則滿足δ=δ1+δ2。令δ1=jδ，j為管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)比例系數(shù)，表示相鄰管片環(huán)之間剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的相對(duì)豎向位移與總的相對(duì)豎向位移之比。當(dāng)j=0時(shí)，相鄰管片環(huán)之間沒有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，為完全剪切錯(cuò)臺(tái)的變形模式，與周順華等[18]提出的隧道錯(cuò)臺(tái)變形模型一致；當(dāng)j=1時(shí)，位移完全由相鄰管片轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生，為完全的管片轉(zhuǎn)動(dòng)變形模式，與王如路[19]計(jì)算環(huán)縫張開量時(shí)假定的隧道變形模式相同。

圖3 盾構(gòu)隧道協(xié)同變形示意圖Fig.3 Shield tunnel cooperative deformation diagram

盾構(gòu)隧道剪切錯(cuò)臺(tái)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)協(xié)同變形計(jì)算模型如圖4所示。編號(hào)為m和m+1的相鄰襯砌環(huán)相對(duì)豎向位移為δm，這組相鄰管片環(huán)之間的相對(duì)豎向位移可視為由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)引起的豎向位移δm1和剪切錯(cuò)臺(tái)引起的豎向位移δm2組成，即δm=δm1+δm2。

假設(shè)土體與隧道滿足變形協(xié)調(diào)條件，隧道位移wt(l)與對(duì)應(yīng)位置的土體位移w(l)相等：

式中：l為隧道縱向的計(jì)算位置，以基坑開挖中心為零點(diǎn)沿y軸方向?yàn)檎?/p>

圖4 盾構(gòu)隧道剪切錯(cuò)臺(tái)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)協(xié)同變形計(jì)算模型Fig.4 Cooperative deformation calculation model for shield tunneling shearing dislocation and rigid body rotation

相鄰管片處的隧道豎向位移差即為相鄰管片環(huán)的相對(duì)豎向位移，由此環(huán)間相對(duì)豎向位移δm可表示為

式中：Dt為管片環(huán)的環(huán)寬。

當(dāng)襯砌環(huán)間轉(zhuǎn)動(dòng)角度θm較小時(shí)，假設(shè)sinθ=θ，cosθ=1。因此，襯砌環(huán)間剛體轉(zhuǎn)動(dòng)引起的豎向位移量計(jì)算公式為

將δm1=jδm代入式(6)得：

根據(jù)隧道變形和環(huán)間剪切剛度、環(huán)間抗拉剛度及基床系數(shù)，可以得到環(huán)間剪切力為

環(huán)間最大拉力為

地層抗力為

式中：ks和kt分別為隧道的環(huán)間剪切剛度和環(huán)間抗拉剛度，取值方法可參考文獻(xiàn)[20]；k為土的基床系 數(shù) ， 采 用 Vesic公 式[21]計(jì) 算 ，k=E0為地基土的變形模量，E0=Es為土的壓縮模量；EtIt為隧道的等效抗彎剛度，根據(jù)葉飛等[22]的研究盾構(gòu)隧道等效剛度可以根據(jù)以下公式計(jì)算得到：

式中：Ec為管片彈性模量；nb為縱向螺栓數(shù)；Kb為接頭螺栓的平均線剛度；As為隧道橫截面面積；不考慮隧道水平直徑和豎直直徑發(fā)生變化時(shí)，λ1=tD(A1+A2-A3-A4-A5)，λ2=tD(A1+A2+A3+A4+A5)，A1= πD2/16，A2= πD2sin2ψ/8，A3=D2ψ/8，A4=D2ψsin2ψ/4，A5=3D2sinψcosψ/8，其中ψ為管片環(huán)中心軸位置參數(shù)，取值方法可參考文獻(xiàn)[22]；t為管片厚度。

2.2 盾構(gòu)隧道變形總勢(shì)能

根據(jù)盾構(gòu)隧道縱向變形的過程分析，盾構(gòu)隧道變形的總勢(shì)能具體可以由以下4部分組成。

1)基坑開挖引起的附加荷載的功為

式中：N為基坑開挖中心單側(cè)的隧道管片計(jì)算環(huán)數(shù)，與基坑開挖的影響范圍有關(guān)，理論上N取值越大，計(jì)算精度越高，但是相應(yīng)計(jì)算量也會(huì)增大，計(jì)算效率降低。

2)克服地層抗力的功為

3)克服環(huán)間剪切力的功為

4)克服環(huán)間拉力的功為

因此，得到

下臥盾構(gòu)隧道變形的總勢(shì)能為

2.3 盾構(gòu)隧道縱向位移函數(shù)傅里葉展開

假設(shè)盾構(gòu)隧道縱向位移關(guān)于基坑開挖中點(diǎn)對(duì)稱，并按傅里葉級(jí)數(shù)展開得到

2.4 變分控制方程求解

基于最小勢(shì)能原理將總勢(shì)能Ep對(duì)各待定系數(shù)取極值：

式中：i=1，2，3，…，n，ai為矩陣A中的第i個(gè)元素，即隧道縱向位移函數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)。

由式(19)求解可得控制方程：

簡(jiǎn)寫為矩陣形式為：

式中：[Kr]AT為隧道環(huán)間相互作用效應(yīng)；[Ks]AT為土體抗力作用效應(yīng)；[P]T為附加荷載對(duì)隧道襯砌作用效應(yīng)，

由式(21)計(jì)算可得到待定系數(shù)矩陣AT：

將待定系數(shù)矩陣AT代入式(18)即可得到隧道的縱向位移函數(shù)：

相鄰盾構(gòu)管片之間錯(cuò)臺(tái)量為

相鄰盾構(gòu)管片之間的剪切力Q為

上述計(jì)算方法可通過Matlab編程實(shí)現(xiàn)數(shù)值運(yùn)算，其中積分運(yùn)算步驟中利用復(fù)合辛普森求積公式，采用滿足精度要求的積分步長(zhǎng)進(jìn)行數(shù)值積分。

3 實(shí)例驗(yàn)證及分析

由于基坑開挖對(duì)下臥既有隧道產(chǎn)生的縱向變形影響以豎向隆起為主，因此，選取3個(gè)基坑跨越盾構(gòu)隧道的工程實(shí)例，采用本文方法計(jì)算基坑開挖引起的下臥盾構(gòu)隧道豎向位移曲線，并與其實(shí)測(cè)曲線進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的正確性。同時(shí)與文獻(xiàn)[18]方法的計(jì)算值及根據(jù)文獻(xiàn)[19]剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形假定得到的計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比。

3.1 工程實(shí)例1

杭州市延安路某地下通道一期工程基坑L=11.4 m，B=14.83 m，d=8.2 m。地鐵1號(hào)線左線隧道從基坑下方正交穿過，盾構(gòu)隧道的10環(huán)管片位于開挖區(qū)間的正下方。隧道頂部與基坑底部開挖面最小凈距離為3.9 m[6]。盾構(gòu)隧道襯砌外徑D=6.2 m，采用C50混凝土管片，厚度t=0.35 m，環(huán)寬Dt=1.2 m；管片環(huán)之間由16根M30縱向螺栓連接[23]。根據(jù)計(jì)算得到ks=7.45×105kN/m，kt=1.94×106kN/m，EtIt=1.1×108kN·m2。根據(jù)實(shí)際工程地質(zhì)情況，土體重度取加權(quán)平均值γ=18.4 kN/m3，土的泊松比μ=0.35。水泥土攪拌樁對(duì)坑底土體、坑底上部土體以及圍護(hù)結(jié)構(gòu)外側(cè)土體都進(jìn)行了滿堂水泥土加固，考慮部分水泥土加固作用土體壓縮模量取Es=20 MPa[24]。卸載的殘余應(yīng)力系數(shù)取α0=0.3。

圖5所示為實(shí)例1的隧道縱向隆起變形計(jì)算值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比。由圖5可知，本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合，此時(shí)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)比例系數(shù)j=0.2，即盾構(gòu)隧道管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形引起的縱向隆起變形占20%，管片環(huán)錯(cuò)臺(tái)引起的隧道縱向隆起變形占80%。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，基坑開挖引起的隧道最大隆起變形出現(xiàn)在開挖區(qū)間內(nèi)，最大值為3.1 mm?；娱_挖中心附近的隧道隆起變形較大，向兩側(cè)遞減，隧道隆起變形曲線大致呈正態(tài)分布。隧道隆起范圍為基坑開挖中心向兩側(cè)各25～30 m。

圖5 實(shí)例1盾構(gòu)隧道縱向隆起變形計(jì)算值對(duì)比Fig.5 Calculation and comparison of longitudinal heave deformation of shield tunnel in Case 1

當(dāng)j=0時(shí)，本文計(jì)算模型退化成襯砌錯(cuò)臺(tái)變形模型[18]；當(dāng)j=1時(shí)，本文計(jì)算模型退化成管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模型[19]。故文獻(xiàn)[18]的錯(cuò)臺(tái)模型和根據(jù)文獻(xiàn)[19]剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形假定得到的計(jì)算模型為本文計(jì)算模型的2個(gè)特解。分別利用錯(cuò)臺(tái)模型[18]和根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形假定[19]得到的計(jì)算模型對(duì)實(shí)例1中的隧道隆起變形進(jìn)行計(jì)算，襯砌錯(cuò)臺(tái)計(jì)算模型得到的計(jì)算曲線最大值為3.62 mm，大于實(shí)測(cè)值和本文方法計(jì)算值。錯(cuò)臺(tái)模型計(jì)算得到的隧道隆起范圍比本文方法的小。根據(jù)管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形假定得到的計(jì)算曲線明顯與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)不符，最大計(jì)算值偏小，而影響范圍偏大。

圖6所示為實(shí)例1中不同N時(shí)本文方法計(jì)算得到的最大隆起變形變化曲線。由圖6可知，當(dāng)隧道計(jì)算環(huán)數(shù)較小時(shí)，本文方法計(jì)算得到的最大隆起變形較大，隨著計(jì)算環(huán)數(shù)增加，最大隆起變形的計(jì)算值顯著減小，當(dāng)N增大至25環(huán)以上，最大隆起變形的計(jì)算值收斂于3.06 mm，并趨于穩(wěn)定，收斂值接近于實(shí)測(cè)值。

圖6 實(shí)例1中不同N時(shí)最大隆起變形計(jì)算值的收斂情況Fig.6 Convergence of calculated maximum uplift with different N in Case 1

盾構(gòu)隧道環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角關(guān)系到隧道結(jié)構(gòu)和防水體系的安全。環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角越大，隧道發(fā)生滲漏水的概率越大，因此，對(duì)隧道錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角的估算非常有必要。圖7所示為本文方法計(jì)算得到盾構(gòu)隧道管片錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角。由圖7可知，在隧道水平位移最大值處的管片錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角均接近于0，即在開挖中心處的管片環(huán)之間幾乎沒有相對(duì)錯(cuò)臺(tái)和相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。但是，開挖中心附近的錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角增加較為急??；管片最大錯(cuò)臺(tái)量為0.21 mm，最大環(huán)間轉(zhuǎn)角為0.045°，均出現(xiàn)在隧道隆起位移曲線的2個(gè)反彎點(diǎn)附近，位于基坑開挖區(qū)域邊緣外側(cè)，距離開挖中心約7 m。

圖7 實(shí)例1中盾構(gòu)隧道管片環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角Fig.7 Dislocation and rotation angle among shield tunnel segment rings in Case 1

圖8所示為本文方法計(jì)算得到的盾構(gòu)隧道環(huán)間剪切力。由圖8可以看出：盾構(gòu)隧道環(huán)間剪切力的變化規(guī)律和隧道錯(cuò)臺(tái)量的變化規(guī)律一致；隧道管片環(huán)錯(cuò)臺(tái)量最大處的剪切力最大，最大值為159.53 kN。

圖8 實(shí)例1中盾構(gòu)隧道環(huán)間剪切力Fig.8 Shearing force among shield tunnel segment rings in Case 1

3.2 工程實(shí)例2

上海市外灘通道南段采用明挖法施工，跨越既有的延安東路隧道。基坑采用隔離墻分割為數(shù)塊分區(qū)開挖，跨越北線的開挖區(qū)域在分析時(shí)可簡(jiǎn)化為：隧道與基坑開挖區(qū)域垂直交叉，開挖區(qū)域L=10 m，B=50 m，d=11 m[6]。隧道頂部與基坑底部開挖面最小凈距離為5.5 m。延安東路盾構(gòu)隧道襯砌外徑D=11 m，襯砌厚度t=0.55 m，屬于大直徑盾構(gòu)隧道。環(huán)寬Dt=1 m；管片環(huán)與環(huán)之間由32根M36縱向螺栓相接[25]。根據(jù)計(jì)算得到ks=2.14×106kN/m，kt=5.59×106kN/m，EtIt=9.52×108kN·m2。根據(jù)實(shí)際工程地質(zhì)情況，土體重度γ=17.87 kN/m3，土的泊松比μ=0.4，土的壓縮模量Es=6.04 MPa。卸載的殘余應(yīng)力系數(shù)α0=0.1。

延安東路隧道北線約有10環(huán)管片位于開挖區(qū)間的正下方。圖9所示為實(shí)例2中不同N時(shí)本文方法計(jì)算得到的最大隆起變形變化曲線。由圖9可知，當(dāng)N增大至50環(huán)以上，最大隆起變形計(jì)算值收斂并趨于穩(wěn)定，收斂值為6.20 mm。綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算速度，在與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較計(jì)算中取N=70環(huán)。實(shí)例2中盾構(gòu)隧道縱向隆起變形計(jì)算值對(duì)比如圖10所示?？梢姡河?jì)算值與實(shí)測(cè)值較吻合，此時(shí)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)比例系數(shù)j=0.1，即隧道管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形引起的縱向隆起變形占10%，管片環(huán)錯(cuò)臺(tái)引起的隧道縱向隆起變形占90%。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，隧道縱向隆起最大值6.42 mm，出現(xiàn)在距開挖中心4 m左右處。雖然開挖中心處隧道隆起反而有所減小，但在開挖范圍內(nèi)依然是隧道隆起變形最大的位置?；娱_挖引起隧道隆起變形的影響范圍約為基坑開挖中心兩側(cè)各50 m內(nèi)。

圖9 實(shí)例2中不同N下最大隆起計(jì)算值的收斂情況Fig.9 Convergence of calculated maximum uplift with different N in Case 2

圖10 實(shí)例2中盾構(gòu)隧道縱向隆起變形計(jì)算值對(duì)比Fig.10 Calculation and comparison of longitudinal heave deformation of shield tunnel in Case 2

由圖10可知，文獻(xiàn)[18]的管片錯(cuò)臺(tái)模型計(jì)算得到的隧道縱向隆起變化較大，最大隆起變形也較大，隆起范圍比較集中。根據(jù)文獻(xiàn)[19]管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形假設(shè)計(jì)算得到的隧道隆起變形曲線變化比較緩和，隆起范圍偏大?？傮w上看，本文方法的預(yù)測(cè)曲線更接近實(shí)測(cè)值。

圖11所示為本文方法計(jì)算得到的延安東路北線隧道盾構(gòu)管片錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角。由圖11可知：距開挖中心的水平距離約11 m處，環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角最大，最大值分別為0.220 mm和0.024 5°。圖12所示為本文方法計(jì)算得到的環(huán)間剪切力。由圖2可知：環(huán)間剪切力最大值為472.73 kN。管片環(huán)間轉(zhuǎn)角、錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間剪切力的變化規(guī)律同工程實(shí)例1基本相同。

圖11 實(shí)例2中盾構(gòu)隧道管片環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角Fig.11 Dislocation and rotation angle among shield tunnel segment rings in Case 2

圖12 實(shí)例2中盾構(gòu)隧道環(huán)間剪切力Fig.12 Shearing force among shield tunnel segment rings in Case 2

3.3 工程實(shí)例3

杭州金沙湖綠軸下沉廣場(chǎng)基坑工程位于已建杭州地鐵1號(hào)線上方，本案例所研究的基坑開挖核心區(qū)B=30 m，開挖深度5.3 m。有50環(huán)隧道管片位于開挖區(qū)域下方[26]，即開挖區(qū)域長(zhǎng)度L=60 m。核心區(qū)基坑位于盾構(gòu)隧道正上方，關(guān)于上下行中線對(duì)稱。上下行隧道軸線間距為15 m，即左右線隧道軸線與基坑開挖中心水平距離都為7.5 m?；拥拙嗨淼理敳颗c基坑底部開挖面最小凈距離分別為3.3 m和4.3 m[26]。杭州地鐵1號(hào)線盾構(gòu)隧道襯砌外徑D=6.2 m，采用C50混凝土管片，厚度t=0.35 m，環(huán)寬Dt=1.2 m；管片環(huán)之間由16根M30縱向螺栓連接[23]。根據(jù)計(jì)算得到ks=7.45×105kN/m，kt=1.94×106kN/m，EtIt=1.1×108kN·m2。根據(jù)實(shí)際工程地質(zhì)情況取加權(quán)平均值，土體重度γ=18.4 kN/m3，土的泊松比μ=0.35，土的壓縮模量取Es=7 MPa?；娱_挖面積較大，卸載的殘余應(yīng)力系數(shù)取α0=0?；泳o鄰杭州地鐵1號(hào)線下沙西站，左線隧道位于開挖區(qū)域下方的部分連接車站主體結(jié)構(gòu)，車站對(duì)隧道變形產(chǎn)生了較明顯的限制作用[26]，而右線隧道上方基坑邊緣距車站較遠(yuǎn)，最短距離約為50環(huán)(60 m)，車站對(duì)基坑下方隧道的約束作用較小，故本文選取右線監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)與本文方法進(jìn)行對(duì)比。

圖13所示為實(shí)例3中不同N時(shí)本文方法計(jì)算得到的最大隆起變形變化曲線。由圖13可知，當(dāng)N增大至60環(huán)以上，最大隆起變形的計(jì)算值收斂并趨于穩(wěn)定，收斂值為5.80 mm。綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算速度，在與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較計(jì)算中取N=85環(huán)。實(shí)例3中盾構(gòu)隧道縱向隆起變形計(jì)算對(duì)比如圖14所示。由圖14可知，本文方法計(jì)算值與實(shí)測(cè)值較吻合，此時(shí)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)比例系數(shù)j=0.3，即盾構(gòu)隧道管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形引起的縱向隆起變形占30%，管片環(huán)錯(cuò)臺(tái)引起的隧道縱向隆起變形占70%。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，隧道縱向隆起最大值6.3 mm，出現(xiàn)在距開挖中心附近?；娱_挖引起隧道隆起變形的影響范圍為距開挖中心兩側(cè)各70～75 m。

圖13 實(shí)例3中不同N時(shí)本文方法計(jì)算得到的最大隆起變形的收斂情況Fig.13 Convergence of calculated maximum uplift with different N in Case 3

由圖14還可知，文獻(xiàn)[18]方法計(jì)算得到的開挖范圍內(nèi)的隧道隆起變形偏大，整條隧道的隆起范圍偏小。根據(jù)文獻(xiàn)[19]假定得到的計(jì)算曲線與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)差距較大。

圖14 實(shí)例3中盾構(gòu)隧道縱向隆起變形計(jì)算對(duì)比Fig.14 Calculation and comparison of longitudinal heave deformation of shield tunnel in Case 3

圖15 工程案例3中盾構(gòu)隧道管片環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角Fig.15 Dislocation and rotation angle among shield tunnel segment rings in Case 3

圖15所示為本文方法計(jì)算得到的案例3中地鐵1號(hào)線盾構(gòu)管片錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角。由圖15可知：最大管片錯(cuò)臺(tái)量和環(huán)間轉(zhuǎn)角發(fā)生在距基坑開挖中心約30 m處，最大值分別為0.656 mm和0.234 2°。

圖16所示為本文方法計(jì)算的環(huán)間剪切力。由圖16可知：環(huán)間剪切力最大值為488.33 kN。與前2個(gè)工程案例規(guī)律有所不同的是，開挖中心附近的管片錯(cuò)臺(tái)量、環(huán)間轉(zhuǎn)角和環(huán)間剪切力變化趨勢(shì)稍有緩和，這與該案例基坑沿隧道軸線方向長(zhǎng)度較長(zhǎng)，開挖中心附近有多環(huán)管片整體發(fā)生隆起，而環(huán)間的相對(duì)位移較小有關(guān)。

圖16 工程案例3中盾構(gòu)隧道環(huán)間剪切力Fig.16 Shearing force among shield tunnel segment rings in Case 3

3.4 參數(shù)N與隧道影響范圍的關(guān)系及其物理意義

本文方法中，受基坑開挖影響的隧道管片計(jì)算環(huán)數(shù)為2N，即N為基坑開挖中心一側(cè)的隧道管片計(jì)算環(huán)數(shù)，也就是計(jì)算過程中假定隧道受影響范圍的一半。理論上，N取值越大，計(jì)算過程中考慮的隧道范圍越長(zhǎng)，計(jì)算精度越高，更貼近實(shí)際情況。但是，相應(yīng)計(jì)算量也會(huì)增大，計(jì)算效率受影響。由圖6、圖9和圖13可知：隨著N增大，隧道隆起變形計(jì)算值會(huì)收斂于最終值，收斂值與實(shí)測(cè)值非常接近。當(dāng)計(jì)算值隨著N增大收斂并趨于穩(wěn)定時(shí)，可以認(rèn)為基坑開挖引起隧道隆起的影響范圍已被包括在計(jì)算范圍之內(nèi)，此時(shí)的N值即可認(rèn)為是開挖中心一側(cè)的隧道影響范圍。

實(shí)例1的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(圖5)顯示：開挖中心一側(cè)隧道隆起影響范圍為開挖寬度的2.2倍[6](26.4 m)，由圖6可知：當(dāng)計(jì)算值開始趨于穩(wěn)定時(shí)，N=25環(huán)，因此，根據(jù)管片環(huán)寬1.2 m，可得隧道隆起影響范圍為30 m。實(shí)例2的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(圖10)顯示：開挖中心一側(cè)隧道隆起影響范圍約為50 m。由圖9可知，當(dāng)計(jì)算值開始趨于穩(wěn)定時(shí)，N=50環(huán)，因此，根據(jù)管片環(huán)寬1 m，可得隧道隆起影響范圍為50 m。實(shí)例3的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(圖14)顯示：開挖中心一側(cè)的隧道隆起影響范圍為70～75 m。由圖13可知，計(jì)算值開始趨于穩(wěn)定時(shí)，N=60環(huán)，因此，根據(jù)管片環(huán)寬1.2 m，可得隧道隆起影響范圍72 m。由此可見，根據(jù)計(jì)算值開始趨于穩(wěn)定時(shí)的N值預(yù)測(cè)得到的影響范圍與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合。該方法既可以用于預(yù)測(cè)基坑開挖引起下臥盾構(gòu)隧道隆起的影響范圍，也可以用于確定本文方法計(jì)算參數(shù)N的取值。

3.5 管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)比例j的影響因素分析

本文方法中，隧道的變形模型是管片環(huán)錯(cuò)臺(tái)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)協(xié)同變形模型，計(jì)算參數(shù)j代表盾構(gòu)隧道變形過程中管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的豎向位移占總的隧道豎向位移的比例。該參數(shù)在協(xié)同變形的模型中反映了錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的分配比例，是描述隧道縱向變形形式的重要參數(shù)。以實(shí)例3的工況為例，僅改變參數(shù)j，得到不同j時(shí)的隧道縱向變形曲線，如圖17所示。

圖17 不同j的盾構(gòu)隧道縱向變形曲線Fig.17 Longitudinal deformation curve of shield tunnel with different j

由圖17可知：當(dāng)j較小時(shí)，隧道隆起范圍主要集中在基坑開挖范圍附近。當(dāng)j較大時(shí)，隧道隆起影響范圍更廣。隨著j增大，隧道最大隆起變形逐漸減小，在此案例中，剪切錯(cuò)臺(tái)模型(j=0)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模型(j=1)計(jì)算得到的隧道最大隆起變形相差4.12 mm。

從3個(gè)工程實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)：此類實(shí)際工程中，盾構(gòu)隧道縱向變形主要還是以錯(cuò)臺(tái)變形為主，以剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形為輔。這與王如路[19]根據(jù)上海地鐵隧道變形長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)得到的結(jié)論一致。管片環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)產(chǎn)生的豎向位移占總位移的10%～30%，而管片環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)產(chǎn)生的豎向位移占70%～90%。

理論上，本文盾構(gòu)隧道縱向位移函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開式(式(18))有無窮項(xiàng)，實(shí)際計(jì)算中應(yīng)取其前若干項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，所代入的項(xiàng)數(shù)越多，計(jì)算精度越高。為了兼顧了精度和運(yùn)算效率，本文算例分析中取式(18)前10項(xiàng)代入進(jìn)行計(jì)算，即式(21)～(25)中矩陣[Kr]和[Ks]為10階方陣，與更高一階矩陣的計(jì)算結(jié)果相比，相對(duì)誤差在1%以內(nèi)，滿足工程計(jì)算的精度要求。

4 結(jié)論

1)本文方法綜合考慮了管片環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)和錯(cuò)臺(tái)2種變形效應(yīng)，與錯(cuò)臺(tái)模型和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模型的計(jì)算結(jié)果相比，本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值更加吻合，更能反映實(shí)際此類工程中盾構(gòu)隧道的變形模式和變形規(guī)律。

2)相鄰管片環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量、環(huán)間轉(zhuǎn)角以及相鄰管片環(huán)間剪切力的最大值都發(fā)生在隆起位移曲線的反彎點(diǎn)處，基本都位于上方基坑開挖區(qū)域邊緣外側(cè)。

3)本文方法中計(jì)算參數(shù)N可反映基坑開挖引起隧道隆起的影響范圍。隨N取值增大，實(shí)際影響范圍被包括在模型計(jì)算范圍之內(nèi)，計(jì)算值收斂，收斂值與實(shí)測(cè)值接近。

4)盾構(gòu)隧道縱向變形中錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)會(huì)使變形更集中于上方基坑開挖區(qū)域附近，而剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)會(huì)使變形擴(kuò)散到更大的范圍。實(shí)際此類工程中隧道縱向變形主要是以錯(cuò)臺(tái)變形為主，占變形量的70%～90%，以剛體轉(zhuǎn)動(dòng)變形為輔，占變形量的10%～30%。

5)采用了土體參數(shù)取加權(quán)平均值的等效均質(zhì)地基，這與層狀地基的實(shí)際情況存在偏差；需進(jìn)一步驗(yàn)證錯(cuò)臺(tái)量和轉(zhuǎn)角的計(jì)算結(jié)果可靠性；另外，實(shí)際基坑開挖過程中應(yīng)力分布變化較為復(fù)雜，存在時(shí)間和空間效應(yīng)，還需針對(duì)層狀地基、時(shí)空效應(yīng)和基坑降水等因素作進(jìn)一步研究，包括殘余應(yīng)力系數(shù)的取值方法。