杜海良

[摘 要]在“理性化”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生通常需要一個(gè)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的支點(diǎn)，這個(gè)支點(diǎn)可以是數(shù)學(xué)知識(shí)的“生活原型”，包括蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)知識(shí)的生活背景、生活經(jīng)驗(yàn)、生活事例、生活表達(dá)等。以“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，適時(shí)去到生活的源頭處，找尋數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，找到數(shù)學(xué)知識(shí)的生活原型，讓知識(shí)進(jìn)入學(xué)生的生活，幫助學(xué)生理解抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更顯本真。

[關(guān)鍵詞]支點(diǎn);生活原型;圓的認(rèn)識(shí)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）26-0018-03

“圓的認(rèn)識(shí)”一課，很多名師都有過(guò)精彩的演繹與詮釋?zhuān)鐝堼R華老師就有前后五次不同的演繹與重建，從歷史人文視野下的豐沛厚重，到洗練純粹至只剩下線條的文字的干凈素樸，從“大問(wèn)題”整合下課堂的開(kāi)放，到“先學(xué)后教”背景下對(duì)學(xué)生主體學(xué)習(xí)的徹底回歸……由外而內(nèi)、 由物及人、由師轉(zhuǎn)生的一次次否定與超越，見(jiàn)證著張齊華老師對(duì)數(shù)學(xué)課堂“另一種可能”的不斷探尋與發(fā)現(xiàn)。正如他的座右銘：“永不重復(fù)別人，更不重復(fù)自己！”受此影響，我對(duì)“圓的認(rèn)識(shí)”一課教學(xué)有了“另一種可能”的探索與嘗試。

古希臘著名的數(shù)學(xué)家阿基米德有一句名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整 個(gè)地球?！痹凇袄硇曰钡臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生同樣需要一個(gè)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的支點(diǎn)，在本課中，這個(gè)支點(diǎn)就是數(shù)學(xué)知識(shí)的“生活原型”，這個(gè)原型可以是蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)知識(shí)的生活背景、生活經(jīng)驗(yàn)、生活事例、生活表達(dá)等。教學(xué)中，找到與數(shù)學(xué)知識(shí)適切的生活原型，既可以讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，更可以促進(jìn)學(xué)生感悟和深刻認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)，并在感悟和認(rèn)知的過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)演繹、數(shù)學(xué)比較等，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更顯本真、更深刻。

一、在“生活原型”的經(jīng)驗(yàn)還原中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

【教學(xué)片段】

（課前玩“你說(shuō)我猜”的游戲：描述圖形獨(dú)一無(wú)二的特征，看誰(shuí)猜得又快又準(zhǔn)）

師：學(xué)校舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，進(jìn)行投球比賽，同學(xué)們圍成這三種隊(duì)形（如圖1）向中心的球筐投球，比誰(shuí)投中的次數(shù)多。你認(rèn)為哪種隊(duì)形比賽才公平？

生（齊）：圓形隊(duì)形。

師：為什么圍成圓形隊(duì)形比賽才公平？

生1：圓形隊(duì)形中的每個(gè)人離球筐的距離是一樣的。

師（出示圖2）：如果用這些點(diǎn)表示隊(duì)形中的同學(xué)，只有圓才具有一個(gè)獨(dú)一無(wú)二的特征，那就是圓上（不是圓內(nèi)，也不是圓外）每個(gè)點(diǎn)到中心的距離都相等，對(duì)嗎？

師：憑我們的生活經(jīng)驗(yàn)，感覺(jué)的確如此。但數(shù)學(xué)不能僅憑感覺(jué)，需要驗(yàn)證。你有什么辦法來(lái)證明圓的這些線段都一樣長(zhǎng)嗎？請(qǐng)大家拿出身邊的圓片，自己標(biāo)一標(biāo)、畫(huà)一畫(huà)，證明一下。

（學(xué)生通過(guò)量或折的辦法驗(yàn)證線段相等）

師：圓是怎樣的一個(gè)圖形？如果現(xiàn)在再來(lái)玩“你說(shuō)我猜”的游戲，你打算怎樣描述圓？

生2：邊上點(diǎn)到中心都一樣長(zhǎng)的圖形。

師：同學(xué)們說(shuō)的都非常棒，說(shuō)清了圓獨(dú)一無(wú)二的特征！我國(guó)古代偉大的思想家墨子，是這樣來(lái)描述圓的——圓，一中同長(zhǎng)也。你理解這句話的意思嗎？墨子說(shuō)的“一中”是什么意思？“同長(zhǎng)”是什么意思？

生3：“一中”指圓中心的這一點(diǎn)。

師：圓中心的這一個(gè)點(diǎn)就叫圓的圓心，用字母“O”表示。那“同長(zhǎng)”呢？

生4：每個(gè)點(diǎn)到中心距離相等。

生5：這些線段都一樣長(zhǎng)。

師：是的，圓邊上每個(gè)點(diǎn)到圓心的距離都相等，無(wú)數(shù)個(gè)這樣到圓心距離相等的點(diǎn)連起來(lái)就得到了這個(gè)圓。（課件出示“連點(diǎn)成圓”的動(dòng)畫(huà)）

師：這些相等的線段就是圓內(nèi)第一種重要的線段，叫半徑，用字母“r”表示。能說(shuō)說(shuō)你對(duì)“半徑”的認(rèn)識(shí)嗎？

生6：一個(gè)圓里有無(wú)數(shù)條半徑。

生7：而且它們都一樣長(zhǎng)。

師：是的，一個(gè)圓里的無(wú)數(shù)條半徑都相等。這就是墨子說(shuō)的“同長(zhǎng)”。

生8：半徑是一條從圓邊上到圓心的線段。

師：是的，你說(shuō)的就是半徑的概念。

【評(píng)析】胡塞爾說(shuō)：“生活世界是自然科學(xué)被遺忘的基礎(chǔ)?！痹跀?shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)離學(xué)生生活時(shí)，我們需要去到生活的源頭處，找尋數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生理解抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)?！耙恢型L(zhǎng)”是圓的本質(zhì)特征，圓內(nèi)的重要概念“圓心”“半徑”“直徑”及其特征，以及畫(huà)圓的原理都基于此特征。因此，對(duì)這一特征的認(rèn)識(shí)深度就決定了對(duì)“圓”認(rèn)識(shí)的高度，但這一特征對(duì)學(xué)生而言又比較抽象和難懂。

課始，通過(guò)投球比賽的生活情境，學(xué)生尋找到了“一中同長(zhǎng)”的生活原型：“球筐位置”即“圓心”，“同學(xué)到球筐的距離”即“半徑的長(zhǎng)度”，要使比賽公平，“每個(gè)同學(xué)到球筐的距離都相等”也就是“半徑都相等”。因此，通過(guò)“圍成怎樣的隊(duì)形向中心球筐投球比賽才公平”問(wèn)題的思考、討論，激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，再結(jié)合量、折等操作驗(yàn)證，幫助學(xué)生從生活原型中抽取出 “一中同長(zhǎng)”的內(nèi)涵。有了特征內(nèi)涵的理解，隨后的“圓心”“半徑”概念的教學(xué)其實(shí)只是賦予名稱(chēng)，在“一中”指什么和“同長(zhǎng)”指什么的追問(wèn)思索中，明晰“一中”就是指圓的中心即“圓心”，“同長(zhǎng)”（邊上每個(gè)點(diǎn)到中心距離都相等）指的就是圓有無(wú)數(shù)條“半徑”，長(zhǎng)度都相等。

二、在“生活原型”的經(jīng)驗(yàn)改造中進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造

【教學(xué)片段】

師：剛才我們一起認(rèn)識(shí)了圓“一中同長(zhǎng)”的獨(dú)一無(wú)二的本質(zhì)特征，你會(huì)根據(jù)這樣的特征畫(huà)一個(gè)圓嗎？

師：這里有兩支鉛筆、一枚硬幣，試著畫(huà)一畫(huà)。

（學(xué)生描述畫(huà)法）

師：大家都很聰明！不過(guò)這樣畫(huà)圓有什么缺點(diǎn)？

生1：只能畫(huà)和硬幣一樣大小的圓。

師：若只用這兩支鉛筆，能不能畫(huà)？（教師展示用兩支鉛筆畫(huà)出大小不同的兩個(gè)圓）這樣畫(huà)圓有什么優(yōu)點(diǎn)？

生2：這樣畫(huà)圓可以畫(huà)出大小不同的圓。

師：試著用兩支鉛筆畫(huà)圓，看誰(shuí)畫(huà)得又快又好。

師：用兩支鉛筆畫(huà)圓有什么感受，要注意什么？

生3：鉛筆容易滑，不容易固定。

生4：兩支鉛筆不容易控制。

生5：要使一支鉛筆固定不動(dòng)。

師：是的，要畫(huà)得“圓”，就得符合圓“一中同長(zhǎng)”的特征，要做到“一中”，第一支鉛筆就不能移動(dòng)位置;要做到“同長(zhǎng)”，兩支鉛筆的間距就不能隨意改變。

師（出示圖3）：聰明的人類(lèi)，為了做到以上兩點(diǎn)，用針代替了第一支鉛筆，便于固定位置，又用特殊的機(jī)械裝置，使這兩支筆既能自由調(diào)整間距又能相對(duì)固定，這就是現(xiàn)在人們常用的專(zhuān)業(yè)的畫(huà)圓工具——圓規(guī)。

【評(píng)析】“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！苯處煈?yīng)該而且必須讓學(xué)生獲得深刻的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓學(xué)生“以身體之、以心驗(yàn)之”。在畫(huà)圓的教學(xué)中，教師沒(méi)有直接出示圓規(guī)，而是找到了圓規(guī)的“生活原型”——兩支鉛筆，讓學(xué)生在自己動(dòng)手用兩支鉛筆畫(huà)圓的活動(dòng)中，體驗(yàn)這樣畫(huà)圓的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，在“為什么畫(huà)不圓”的反思中體會(huì)到“要畫(huà)得圓，必須要做到‘一中同長(zhǎng)”，然后通過(guò)“如何做到‘一中”“如何做到‘同長(zhǎng)”的思考討論，用針尖替換第一支鉛筆，用特殊裝置固定兩支鉛筆的間距。這樣，通過(guò)原型啟發(fā)、改進(jìn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)圓工具的再創(chuàng)造，既加深了學(xué)生對(duì)“一中同長(zhǎng)”特征的認(rèn)識(shí)，也使學(xué)生在獲取知識(shí)、形成技能的同時(shí)，真切體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的思維愉悅，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)“作為一門(mén)課程與文化”對(duì)學(xué)習(xí)個(gè)體應(yīng)有的課程意義與教育價(jià)值之所在。

三、在“生活原型”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中探索數(shù)學(xué)文化

【教學(xué)片段】

師：圓在生活中無(wú)處不在，有人說(shuō)，圓是世界上最美的圖形，但生活中有些地方的圓不僅僅是為了美。（出示下水道的窨井蓋圖）你知道窨井蓋為什么一般都是圓形的？（學(xué)生猜測(cè)）

師（出示一長(zhǎng)方體與圓柱體分別模擬方形窨井與圓形窨井，演示方形蓋子易掉進(jìn)井里，圓形蓋子無(wú)論怎么放都掉不下去）你現(xiàn)在有答案了嗎？

生1：方形井口有的地方更寬。

生2：圓形井口都是一樣寬的。

師：的確如此，在圖4中，圓形窨井的最寬處在哪？

生3：中間那條線段。

師：最寬處還能畫(huà)嗎？要怎么畫(huà)？

生4：能畫(huà)，只要兩端在圓上，并且通過(guò)圓心。

師：可以畫(huà)出多少條？

生5：無(wú)數(shù)條。

師：圓形具有一個(gè)特征——通過(guò)圓心畫(huà)出來(lái)的都是圓的最寬處，而且是處處一樣寬。

師（出示圖5）：正方形具有這樣的特征么？通過(guò)正方形的中心畫(huà)幾條線段，有長(zhǎng)有短，所以蓋子就有可能從長(zhǎng)的地方掉下去了。

師：這無(wú)數(shù)條圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段，其實(shí)就是圓內(nèi)第二種特別重要的線段，叫“直徑”，用字母“d”表示。現(xiàn)在能說(shuō)說(shuō)直徑是一條怎樣的線段嗎？

生6：直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。

生7：直徑是從圓上一點(diǎn)通過(guò)圓心到達(dá)對(duì)面另一點(diǎn)的線段。

生8：圓里有無(wú)數(shù)條直徑，而且都一樣長(zhǎng)。

生9：直徑其實(shí)就是由兩條半徑連起來(lái)的。

【評(píng)析】數(shù)學(xué)不僅僅是“紙筆數(shù)學(xué)”，更是“猜想數(shù)學(xué)”“驗(yàn)證數(shù)學(xué)”“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生能主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)推理與交流等諸多數(shù)學(xué)活動(dòng)?；谥睆脚c半徑的聯(lián)系，直徑及其特征的教學(xué)完全可以在半徑及其特征的教學(xué)基礎(chǔ)上相機(jī)出示或讓學(xué)生看書(shū)自學(xué)。而本課教學(xué)更多地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值與文化意義，引導(dǎo)學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光去看待現(xiàn)實(shí)生活，尋找直徑的生活原型，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

微軟有一個(gè)著名的面試問(wèn)題：為什么下水道的井蓋是圓的？而這一個(gè)問(wèn)題可以看作是直徑及其特征的原型。正因?yàn)閳A有無(wú)數(shù)條直徑且都相等，即最寬處處處相等，所以圓形蓋子無(wú)論怎么放都掉不下去。教學(xué)中，教師首先提出問(wèn)題“為什么窨井蓋是圓的？”然后讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在演示、觀察、思辨、比較等活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)圓具有一個(gè)特征“過(guò)中同長(zhǎng)”——通過(guò)圓心兩端在圓上的線段有無(wú)數(shù)條且等長(zhǎng)，而正方形等其他平面圖形不具備這樣的特征（當(dāng)然，“過(guò)中同長(zhǎng)”的特征本質(zhì)上還是圓的“一中同長(zhǎng)”）。在探索這一特征的過(guò)程中，直徑及其特征在學(xué)生討論交流“最寬處在哪”“還能怎么畫(huà)”“能畫(huà)多少條”等問(wèn)題的答案的過(guò)程中自然生成。

在本課中，半徑、直徑、圓心是三個(gè)基本概念，是典型的陳述性知識(shí)，是告訴我們“是什么”的知識(shí)。但這些概念都是認(rèn)識(shí)、描述圓的特征所需的要素，所以教師沒(méi)有選擇用“告訴”“自學(xué)”等方式來(lái)揭示，而是在“生活原型”支點(diǎn)的幫助下，引導(dǎo)學(xué)生先理解特征內(nèi)涵再自然賦予名稱(chēng)。只有這樣，半徑、直徑、圓心才不再是構(gòu)成“圓”這一整體機(jī)器的小零件，而成為“圓之所以為圓”“圓之所以具備這樣那樣諸多外部特征”的真正內(nèi)在機(jī)理和“幕后操縱者”。

數(shù)學(xué)課堂上，教師只有利用種種“生活原型”促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，才能培養(yǎng)學(xué)生從生活的“感性認(rèn)識(shí)”上升為數(shù)學(xué)的“理性認(rèn)識(shí)”，才能真正引導(dǎo)學(xué)生在課堂上經(jīng)歷知識(shí)、方法與智力的探險(xiǎn)，使數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出磨礪思維、提升智慧的本來(lái)面目。

（責(zé)編 金 鈴）