馮剛

[摘 要]角是一個抽象的概念，不僅包含角的“質(zhì)性特征”，即角有一個頂點、兩條邊，還包含角的“量性特征”，即角的大小。在教學(xué)中采取動態(tài)引入、畫圖表征、動手實踐、嘗試計量和回歸生活五個策略凸顯角的“量性特征”，并與“質(zhì)性特征”相整合，促進(jìn)學(xué)生整體建構(gòu)角的概念。

[關(guān)鍵詞]角;量性特征;整體建構(gòu)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0014-03

“角的初步認(rèn)識”是角的概念教學(xué)的起始課，讓學(xué)生理解概念本質(zhì)并建立表象，進(jìn)而在生活中靈活運用概念是教學(xué)的最終目標(biāo)。教師教學(xué)用書指出：使學(xué)生聯(lián)系生活中一些常見的物品，初步認(rèn)識角，知道角的各部分名稱，能正確地識別角;知道角是有大小的，能直觀區(qū)分角的大小。顯然，一是要理解角的概念的內(nèi)涵——概念所反映的所有對象共同本質(zhì)屬性的總和，包括一個頂點、兩條邊等，即角的“質(zhì)性特征”;二是要理解角概念的外延——概念所包含的一切對象的總和，包括銳角、直角、鈍角等大小不同的角，簡言之，角的大小，即角的“量性特征”。

美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。教師要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。”教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生走在教之前，經(jīng)歷“有所知到知所知”的過程。筆者曾對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)前測與后測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對角的概念的理解“重內(nèi)涵，輕外延”，僅關(guān)注“質(zhì)性特征”，忽視“量性特征”對角的概念的補充作用，故而學(xué)生頭腦中的角的概念是不完整的，所形成的表象是單一且有所欠缺的。

筆者參閱了現(xiàn)有的許多教學(xué)設(shè)計和期刊文獻(xiàn)，從中找到了問題的根源。很多教師在教學(xué)的前半段探究“角有一個頂點兩條邊”的“質(zhì)性特征”，后半段探究“角的大小”這一“量性特征”，人為地將“質(zhì)性特征”與“量性特征”割裂，因此學(xué)生未能在“量性特征”與“質(zhì)性特征”間建立聯(lián)系，未能將“量性特征”納入到已有的角的概念中，因此理解的角的概念不夠充實，頭腦中難以建立完整的角的表象。

基于此，筆者改變“質(zhì)性特征”和“量性特征”割裂教學(xué)的現(xiàn)狀，嘗試將兩者整合在一起進(jìn)行教學(xué)。正如鄭毓信教授所言“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”，要有意識地將角的“量性特征”滲透至“質(zhì)性特征”教學(xué)過程中，并側(cè)重對角“量性特征”的研究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷初悟——感知——體驗——理解——運用的過程，由淺入深、循序漸進(jìn)地研究角的“量性特征”，并與“質(zhì)性特征”融合，充分建立角的表象，實現(xiàn)角的概念的整體性建構(gòu)。

一、動態(tài)引入，初悟角的“量性特征”

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論告訴我們，二年級的學(xué)生正處于具體運算階段，他們形成概念必須與所熟悉的物體或場景相聯(lián)系。因此，教師可以選取生活中的事物和現(xiàn)象作為概念教學(xué)的感性材料并進(jìn)行生活化、具體化的處理，從而喚醒學(xué)生的生活體驗，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。

對蘇教版、人教版等多個版本教科書進(jìn)行比較時發(fā)現(xiàn)，鐘面、剪刀和三角尺是使用頻率最高的角的原型素材，這與角的兩種定義不無關(guān)系。從一點引出的兩條射線所組成的圖形叫作角，角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形，前者是角靜態(tài)化的定義，后者是角動態(tài)化的定義。鐘面和剪刀表面的角蘊含“動態(tài)角”，利于學(xué)生感受角的“量性特征”，初步滲透動態(tài)角的概念。三角尺表面的角蘊含了“靜態(tài)角”，可以幫助學(xué)生建構(gòu)靜態(tài)角的概念。

教師應(yīng)充分運用剪刀和鐘面這樣的“動態(tài)角”原型，引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，從為何會有角開始思考，通過動態(tài)的剪刀及鐘面經(jīng)歷角的產(chǎn)生過程，從運動的角度揭示角的概念，初悟角的“量性特征”。同時，呈現(xiàn)三角尺這樣的“靜態(tài)角”原型，再次建構(gòu)角的概念。兩種原型相互作用，以“靜”智“動”，促進(jìn)學(xué)生思維的提升。

【教學(xué)片段1】

1.張開剪刀生成角

2.旋轉(zhuǎn)指針產(chǎn)生角

二、畫圖表征，感知角的“量性特征”

二年級學(xué)生處于具體形象思維為主的階段，因此采用圖畫的形式呈現(xiàn)角的概念，直觀形象且易于感知和理解。但由于缺乏文字的描述，學(xué)生對概念的理解可能僅停留在表面，無法提升其思維能力。

教師應(yīng)巧妙運用變式，幫助學(xué)生理解角的概念。學(xué)生腦海中所形成的大小不一的角是很好的變式資源，教師要善于發(fā)現(xiàn)和運用，引導(dǎo)學(xué)生借助動作、畫圖這樣可視化的行為表征頭腦中的角，外顯頭腦中角的表象，將概念本質(zhì)與操作形式緊密地結(jié)合起來，以概念促技能達(dá)成，并以技能強化概念理解。教師可示范畫角，并多次旋轉(zhuǎn)角的一條邊，引導(dǎo)學(xué)生動態(tài)感知角的“量性特征”。在比較眾多變式中，學(xué)生不僅鞏固了角的“質(zhì)性特征”，而且感知了“量性特征”的重要作用，進(jìn)而更好地理解概念。

【教學(xué)片段2】

師：閉上眼睛，想一個角，用手試著比畫。

師：現(xiàn)在睜開眼睛，把你剛才想的角畫下來。怎么畫呢？先思考，再在學(xué)習(xí)單上畫一畫。

師：你是怎么畫的？

生1：先畫一個頂點，從頂點出發(fā)畫一條邊，再從頂點出發(fā)畫另一條邊。

師：這些圖形都是角嗎？為什么？

生2：都是角。因為都有一個頂點和兩條邊，而且邊是直的。

師：那有什么不同的地方呢？

生3：它們大小不同，有的大，有的小。

師：看來，角是有大小的。

師：聽了你們的介紹，老師也學(xué)會畫角了。先畫一個頂點，從頂點出發(fā)畫一條邊，再從頂點出發(fā)畫另一條邊。這么畫行嗎？這樣呢？再轉(zhuǎn)過去一點呢？有什么變化嗎？

生4：都是角，只是角的大小在變化。

師：是的，無論角變得多大或多小，只要是由一個頂點和兩條直直的邊組成，它就是角。

三、動手實踐，體驗角的“量性特征”

有了前面的觀察和思考，學(xué)生已初步感知角的“量性特征”。弗賴登塔爾說：“學(xué)數(shù)學(xué)的最好的方法是做數(shù)學(xué)，通過‘再創(chuàng)造獲得的知識與能力要比以被動方式獲得、理解得更好，也更容易保持?！眲?chuàng)造機會讓學(xué)生動手實踐，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)角的“量性特征”中的內(nèi)在規(guī)律，這才是一種有意義的學(xué)習(xí)。

教師可呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的“鱷魚接球”游戲，引導(dǎo)學(xué)生在欣賞游戲的過程中產(chǎn)生猜想——角的大小與什么有關(guān)，再操作活動角驗證猜想，最終總結(jié)出結(jié)論。經(jīng)歷提出猜想——操作驗證——得出結(jié)論的過程后，學(xué)生動眼觀察、動腦思考、動手操作、動口敘述，在多種感官的參與中主動獲取數(shù)學(xué)知識，體驗角的“量性特征”，建立概念表象，初步形成概念。

【教學(xué)片段3】

師：我們一起去看 “鱷魚接球”游戲，邊看邊思考角在哪里，角的大小與什么有關(guān)。

師：請看鱷魚第一次接球，再看第二次接球。為什么第一次只能接小球，第二次能接大球呢？

生1：鱷魚嘴巴第一次張開得小，第二次張開得大。

師：角有什么變化呢？

生2：嘴巴張開得小，角就小，張開得大，角就大。

師：其實嘴巴就是角的兩條邊，誰能用數(shù)學(xué)語言說一說？

生3：角的兩條邊張開得小，角就小，張開得大，角就大。

師：看來我們得到了初步的猜想，角的大小與兩邊張開大小有關(guān)。接下來要對猜想進(jìn)行驗證。拿出做好的活動角，我們來玩?zhèn)€“變變變”的游戲。請把角變大一些，再大一些，把角變小一些，再小一些?；仡櫼幌?，你是怎樣把角變大、變小的？

生4：把角的兩邊張開得大，角就大，張開得小，角就小。

師：說得真好！我們一邊操作活動角，一邊像他一樣說一說。

四、嘗試計量，理解角的“量性特征”

心理學(xué)研究表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前，就已經(jīng)具有一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并試圖以這種原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)來同化新知識，當(dāng)已有的知識不能同化新的知識時，就會產(chǎn)生認(rèn)知沖突。在學(xué)生的原有認(rèn)知中，物體的長度可以借助直尺來計量，而角的大小卻沒有計量工具，故而產(chǎn)生認(rèn)知沖突。盡管角的度量屬于四年級教學(xué)內(nèi)容，如若此時給學(xué)生一種計量工具，學(xué)生定豁然開朗，對角的“量性特征”產(chǎn)生更深入的認(rèn)識。

教師應(yīng)設(shè)法找尋量角器的雛形。分析教材中的第三道習(xí)題，發(fā)現(xiàn)鐘面可以看成量角器的雛形。根據(jù)鐘面上的大小格，學(xué)生可以借助兩邊之間大小格的數(shù)量描述角的兩邊張開的大小，借助量化的格子數(shù)，角的大小變得具體化、形象化?！傲啃蕴卣鳌庇沙橄笞冎庇^后，學(xué)生更易于理解，進(jìn)而對角的概念的建構(gòu)更加完善。

【教學(xué)片段4】

師：這三個鐘面的時針和分針?biāo)纬傻慕?，哪個最大，哪個最?。繛槭裁矗?/p>

生1：①號角最大，③號角最小。因為①號角兩邊張開得最大，③號角兩邊張開得最小。

生2：①號角最大，③號角最小。因為①號角兩邊張開了25小格，③號角兩邊張開了9格。

師：說得真好！通過數(shù)兩條邊之間的格子數(shù)量，我們可以直觀地看出角的大小。如果再給你幾個角比比大小，你有什么好方法？

生3：把這些角放到鐘面上，看看兩條邊之間有多少格就行了。

師：你是個善于發(fā)現(xiàn)的孩子！其實，到了四年級，我們會學(xué)習(xí)用專門的工具來測量角的大小，它就是量角器，上面也有很多的格子，和我們的鐘面是不是很像？……

五、回歸生活，運用“量性特征”

數(shù)學(xué)源于生活且用于生活，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是讓學(xué)生在生活中用數(shù)學(xué)。史寧中教授指出，通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。將角用于解決和解釋生活中的實際問題，在概念的檢驗和運用中，學(xué)生對概念的理解自然更深入。

教師可引導(dǎo)學(xué)生在物體的表面找一找由一個頂點和兩條邊組成的角。但教學(xué)不應(yīng)就此止步，這只是角的“質(zhì)性特征”在生活中的體現(xiàn)與運用。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活中應(yīng)用角的“量性特征”的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的思維去思考為何要運用角的“量性特征”，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)這些現(xiàn)象是如何運用角的“量性特征”的，深化對概念的認(rèn)識。

【教學(xué)片段5】

師：這是什么？（扇子）為什么我們在扇風(fēng)時要將扇子打開到最大？你能用今天學(xué)習(xí)的知識解釋嗎？

生1：扇子打開到最大，就是角的兩條邊張開得最大，這時形成的角最大，所以風(fēng)就最大。如果扇子打開得很小，這時形成的角很小，風(fēng)就很小。

師：真是個會活學(xué)活用的孩子。看來扇子扇風(fēng)正是運用了今天學(xué)習(xí)的角的大小知識。

師：還有哪些現(xiàn)象也運用了角的大小知識呢？

生2：為了舒適，躺椅會設(shè)置不同的傾斜程度。

生3：剪刀剪不同物品時張開的大小不同。

……

角的概念具有很強的抽象性和概括性，為學(xué)生今后進(jìn)一步認(rèn)識長方形、正方形等幾何圖形奠定了基礎(chǔ)，故而全面深入理解角的概念顯得尤為重要。在教學(xué)中，教師應(yīng)合理整合角的“質(zhì)性特征”和“量性特征”，并適當(dāng)凸顯后者，進(jìn)而幫助學(xué)生整體建構(gòu)角的概念，建立正確的角的表象，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（責(zé)編 金 鈴）