歐偉銘 皇甫曉相

摘 要：借2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽A題的背景與數(shù)據(jù)，探討了高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計(jì)問(wèn)題，對(duì)于人體與外界對(duì)流換熱的情況，導(dǎo)出對(duì)應(yīng)熱傳導(dǎo)方程及其初邊值條件并利用差分法進(jìn)行數(shù)值求解，分別得出熱防護(hù)服內(nèi)部溫度隨時(shí)間和空間的分布。從減輕防護(hù)服重量角度出發(fā)，解得在相關(guān)約束下熱防護(hù)服各層的最優(yōu)厚度。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo)方程;差分法;廣度優(yōu)先;窮舉法;初邊值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.27.107

1 問(wèn)題重述

（1）根據(jù)已知條件建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算溫度分布。

（2）在環(huán)境溫度、IV層厚度、工作時(shí)間確定，皮膚外側(cè)的溫度低于47℃，且高于44℃的時(shí)間不超過(guò) 5 分鐘時(shí)，求II層最優(yōu)厚度。

2 模型的建立與求解

2.1 問(wèn)題一模型的建立與求解

問(wèn)題一已知各層織物的厚度、環(huán)境溫度、工作時(shí)間及皮膚外側(cè)的測(cè)量溫 度，要求計(jì)算溫度分布。求解步驟如下：

（1）以熱防護(hù)服 I 層與外界環(huán)境的邊界為原點(diǎn)，熱量傳遞方向?yàn)?x 軸建立坐標(biāo)系。

（2）根據(jù)熱傳導(dǎo)方程建立各層織物的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程并確定各層織物的邊界條件建立溫度分布模型。

（3）通過(guò)顯式歐拉法逐步迭代，求出皮膚外側(cè)溫度關(guān)于空間位置及時(shí)間關(guān)系，從而得到溫度分布。

（4）假人中心抽象為恒溫?zé)嵩?，將皮膚內(nèi)層環(huán)境看作流體，增加對(duì)流換熱的情況考慮，來(lái)精確皮膚表層溫度的分布。

在環(huán)境-熱防護(hù)服-皮膚外側(cè)系統(tǒng)中，原點(diǎn)為I層與外界環(huán)境的邊界，x的正向?yàn)闊崃總鬟f的方向。由于本題已假定熱傳遞僅沿垂直于皮膚方向進(jìn)行，可視為一維導(dǎo)熱問(wèn)題，故可忽略y、z方向分量。又假人體內(nèi)的溫度控制在37℃恒定，故為0。

因此，在本題中熱傳導(dǎo)方程可簡(jiǎn)化為：

a為熱擴(kuò)散率。

熱傳導(dǎo)方程組的構(gòu)建：熱量從環(huán)境中以熱傳導(dǎo)的方式由I層逐步向內(nèi)層傳遞，每層織物材料均有兩個(gè)導(dǎo)熱界面。根結(jié)合初始、邊界條件建立各層織物的熱傳導(dǎo)方程組。

I層熱傳導(dǎo)方程：因本題僅考慮熱傳導(dǎo)一種傳遞作用，由 0 時(shí)刻的初始溫度，得到初始條件及邊界條件，對(duì)于 I 層：

II 、III層熱傳導(dǎo)方程組：

II層既與I層相鄰，又與III層相鄰，且兩種導(dǎo)熱界面均只有熱傳導(dǎo)一種作用。而IV層是空氣層，在狹小的空間內(nèi)，我們可以忽略空氣的流動(dòng)，即不考慮熱對(duì)流作用，則III層的導(dǎo)熱情況與II層類似。對(duì)于II 、III層有：

其余層對(duì)于邊界條件的處理基本相同，不再贅述。

在假人體內(nèi)中心，存在37℃的恒溫?zé)嵩?，以熱?duì)流形式向周圍“吹著 37℃的熱風(fēng)”，使皮膚內(nèi)層溫度穩(wěn)定在 37℃。

附件數(shù)據(jù)的分析：

用Excel 對(duì)附件5400組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。1645s前，皮膚外側(cè)溫度隨時(shí)間變化而上升;1645s后，皮膚外側(cè)溫度不隨時(shí)間的變化而改變。故前者為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò) 程，后者為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程。

皮膚邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：

考慮皮膚表層邊界及外側(cè)部分。皮膚表層受到內(nèi)部流體的熱對(duì)流作用，對(duì)流換熱系數(shù)為h。此時(shí)邊界點(diǎn) N 代表寬度為x/ 2 的元體。

對(duì)該元體應(yīng)用能量守恒定律：

對(duì)流換熱系數(shù)h的求解：

本題存在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱兩個(gè)階段，針對(duì)不同的階段，對(duì)流換熱系數(shù)具有不同形式：

以上兩式分別為穩(wěn)定導(dǎo)熱和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱情況下對(duì)流換熱系數(shù)的表達(dá)式。

在問(wèn)題一中，由于1645 秒后傳熱即達(dá)穩(wěn)態(tài)。故皮膚外側(cè)溫度分布模型取為第一式。由附件二中皮膚表層的數(shù)據(jù) t（i） 及皮膚外側(cè)溫度分布模型，可解得對(duì)流換熱系數(shù)h=8.612。代入式（*） 可求出皮膚表層溫度。

如圖1所示，隨著位置不斷接近皮膚表層，溫度由 48℃ 穩(wěn)定到 37℃，這與 附件2數(shù)據(jù)一致 。

2.2 問(wèn)題二模型的建立與求解

問(wèn)題二已知熱防護(hù)服I、III、IV層的厚度、環(huán)境溫度、工作時(shí)間，要求II層的最優(yōu)厚度。本題將最優(yōu)厚度理解為達(dá)到該厚度時(shí)，熱防護(hù)服滿足工作條件且質(zhì)量最輕。

2.2.1 單層織物優(yōu)化模型的建立確定對(duì)流換熱系數(shù)h

問(wèn)題二要求皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47℃，且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。易知：

只有在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的情況下，皮膚外側(cè)的溫度才會(huì)隨時(shí)間的變化而改變，故應(yīng)選擇非穩(wěn)態(tài)傳熱的對(duì)流交換系數(shù)。

由附件二中皮膚表層的數(shù)據(jù)t（i）N 及皮膚外側(cè)溫度分布模型，可解得對(duì)流換熱系數(shù)h 。

10830時(shí)間節(jié)點(diǎn)時(shí)，h為8.025且之后不再變化。即在該節(jié)點(diǎn)前為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，之后為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程。本題考慮非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱階段，對(duì)該時(shí)間節(jié)點(diǎn)之前對(duì)流交換系數(shù)取平均值得 h 為 9.932。

下面進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的確定。

目標(biāo)函數(shù)：II 層織物厚度最小。

由于織物材料密度確定，熱防護(hù)服質(zhì)量與該層織物厚度成正相關(guān)，故只需 滿足II 層織物厚度 δ2最小，而δ2等于Δx2乘 n 。

約束條件的確定：

2.2.2 單層織物優(yōu)化模型的求解

廣度優(yōu)先窮舉搜索法在本題應(yīng)用設(shè)計(jì)算法如下：

（1）通過(guò)附件一中II 層厚度的范圍，結(jié)合給定的空間步長(zhǎng)，求出迭代次數(shù)的范圍。

（2）在迭代次數(shù)的范圍內(nèi)，根據(jù) II 層厚度與空間步長(zhǎng)及迭代次數(shù)的關(guān)系：δ2= Δx2×n， 結(jié)合第一問(wèn)中的差分方程與邊值條件，對(duì)皮膚外側(cè)前 60 分鐘的溫度進(jìn)行迭代。

（3）判斷此次迭代是否滿足約束條件。若滿足則記錄本次迭代次數(shù)，并進(jìn)行下一次迭代，若不滿足則直接進(jìn)行下一次迭代。

（4）不斷重復(fù)上述過(guò)程直到遍歷迭代次數(shù)范圍內(nèi)所有的數(shù)。

（5）選取記錄的有效迭代次數(shù)中最小的值，這個(gè)最小值對(duì)應(yīng)的厚度即最優(yōu)厚度。

2.2.3 單層織物優(yōu)化模型的結(jié)果

由以上算法得最小的厚度為4.91mm。

2.3 模型的改進(jìn)

對(duì)I層織物與環(huán)境通過(guò)熱對(duì)流交換熱量的改進(jìn)如下：

根據(jù)文獻(xiàn)，實(shí)際中空氣存在流速，若忽略空氣流速對(duì)熱傳遞的影響，會(huì)對(duì)結(jié)果造成偏差，因此在分析外部空氣與I層防護(hù)服熱交換時(shí)要熱的對(duì)流交換，即在外部空氣與I層防護(hù)服熱交換中，得新邊界條件：

h為空氣對(duì)流換熱系數(shù)，t0為初始時(shí)刻外部空氣的溫度，t（τ，x） 為τ時(shí)刻，x位置處的溫度。

其余的方程與邊值條件與之前相同。對(duì)新方程利用差分法進(jìn)行離散，得迭代公式：

參考文獻(xiàn)

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