趙愛麗

類型一：設(shè)置“新定義”

“新定義”試題是指給出一個考生從未接觸過的新規(guī)定、新概念，要求考生現(xiàn)學現(xiàn)用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生自主學習、主動探究的品質(zhì).此類型問題可能以文字的形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學符號或數(shù)學表達式的形式出現(xiàn)，要求考生要先準確理解“新定義”的特點，再加以靈活運用。特別提醒：“給什么，用什么”是運用“新定義”解題的基本思路。

例1.(2018 屆河南鄭州一模)如果把四個面都是直角三角形的四面體稱為“三節(jié)棍體”，那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點是“三節(jié)棍體”的四個頂點的概率為_____.

解析：從長方體ABCD-A1B1C1D1中任選四個頂點的選法有(種)，以A為其中一個頂點的四個面都是直角三角形的三棱錐有A-A1D1C1，A-A1B1C1，A-BB1C1，A-BCC1，A-DCC1，A-DD1C1，共6 個。

同理，以B，C，D，A1，B1，C1，D1為其中一個頂點的三棱錐也各有6 個，但所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)2 次，所以四個面都是直角三角形的三棱錐有。

點評：本題以立體幾何知識為背景，考查古典概型概率計算公式，形式較為新穎。有利于考查考生的閱讀能力、審題能力和綜合應(yīng)用能力，其求解關(guān)鍵是正確理解新定義“三節(jié)棍體”，并根據(jù)長方體的對稱性，利用列舉法求解長方體中“三節(jié)棍體”的個數(shù)。

類型二：設(shè)置“新運算”

“新運算”是指在現(xiàn)有的運算法則和運算律的基礎(chǔ)上定義的一種新的運算，是一種特別設(shè)計的計算形式，它使用一些特殊的運算符號，如“*”“?”“※”等，這些符號與四則運算中的加減乘除符號是不一樣的。“新運算”類問題的情境一般比較陌生，求解時考生需要坦然面對，先準確理解“新運算”法則，再加以靈活運用即可解決問題。特別注意：新定義的算式在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合運用現(xiàn)有的運算法則和運算律進行計算的。

例2.定義一種運算“※”，對于任意n∈N*均滿足以下運算性質(zhì)：(1)2※2017=1；(2)(2n+2) ※2017=(2n)※2017+3.則2018※2017=_______.

解析：設(shè)an=(2n)※2017，則由運算性質(zhì)(1)知a1=1，由運算性質(zhì)(2)知an+1=an+3，即an+1-an=3.

于是，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且首項為1，公差為3.

故2018※2017=(2×1009)※2017=a1009=1+1008×3＝3025.

點評：注意到(2n) ※2017 與

[2(n+1)]※2017((2n+2) ※ 2017)結(jié)構(gòu)相同，具體區(qū)別為前邊是“n”，后邊是“n+1”，于是，可將它們看作某一數(shù)列的相鄰兩項，從而通過“換元”將不熟悉的“新運算”問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列問題，這是求解本題的關(guān)鍵。

類型三：設(shè)置“新考查方向”

“新考查方向”試題是指試題考查的方式、方法與常規(guī)試題不同，此類試題設(shè)計新穎，注重對所學數(shù)學知識、方法的有效整合，側(cè)重考查考生的綜合運用能力。此類型問題的設(shè)置充分體現(xiàn)了考綱要求——對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題，使對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度；對數(shù)學能力的考查，強調(diào)“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中的能力，從而檢測出考生的理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能。

例3.已知三棱錐O-ABC，OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=OB=，OC＝1，P是△ABC內(nèi)任意一點，設(shè)OP與平面ABC所成的角為x，OP=Y，則Y關(guān)于x的函數(shù)的圖像為( )

解析：設(shè)點O在平面ABC內(nèi)的射影為O′，連接OO′，OP，O′P，根據(jù)等體積思想得.

因為∠OO′P=，所以O(shè)P=，即y=.易知當點P在點A或點B位置時，x取得最小值，排除選項C，D.又在上，函數(shù)y=單調(diào)遞減且其圖像為光滑曲線，所以排除選項A，選B。

點評：本題是立體幾何中線面角與函數(shù)圖像的綜合試題，形式新穎，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)等體積思想得到函數(shù)關(guān)系式，再靈活利用函數(shù)性質(zhì)排除錯誤選項。

創(chuàng)新型數(shù)學問題從形式上看很“新”，其提供的觀察材料和需要思考的問題異于常規(guī)試題，需要考生具有靈活、創(chuàng)新的思維能力，善于進行發(fā)散性、求異性思考，尋找對材料內(nèi)涵的解釋和解決問題的辦法。此類問題考查的內(nèi)容都在考綱要求的范圍之內(nèi)，即使再新，也是在考生“力所能及”的范圍內(nèi)。只要擁有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識，以良好的心態(tài)坦然面對新情境，便可輕松破解。