李大永

(北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校數(shù)學(xué)教研室 100195)

1 問(wèn)題提出

多年以來(lái)，北京市中、高考試題最后一道壓軸題都是以新概念為基礎(chǔ)來(lái)研究和探索問(wèn)題的形式考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能力. 這已經(jīng)成為北京中、高考試卷的一個(gè)具有標(biāo)志性的特征. 這種試題首先以課標(biāo)中的內(nèi)容為載體，用下定義的方式給出一類數(shù)學(xué)對(duì)象的概念，然后分多個(gè)梯度設(shè)問(wèn)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的數(shù)學(xué)情境，由淺入深，引導(dǎo)考生從初步感知概念到深入理解概念、再到應(yīng)用概念解決相關(guān)問(wèn)題. 問(wèn)題給每個(gè)考生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)思維能力的空間，能夠很好的展現(xiàn)考生多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的水平. 從備考研究來(lái)看，并不乏對(duì)高考?jí)狠S題的相關(guān)文章，但大多停留在針對(duì)壓軸題的解題分析與講解訓(xùn)練的策略上，鮮有將考題測(cè)評(píng)目標(biāo)和日常課程內(nèi)容的課堂教與學(xué)關(guān)聯(lián)起來(lái)，進(jìn)行深層次的教學(xué)反思與研究. 盡管大家都認(rèn)可“解決中、高考?jí)狠S題需要高水平數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，但是在日常課程內(nèi)容的教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還缺少有效的途徑和方法. 本文從解決北京中、高考的壓軸題的思維過(guò)程入手，分析數(shù)學(xué)思維方式的特征，剖析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各要素在解題過(guò)程中的具體表現(xiàn)，由此來(lái)關(guān)聯(lián)主題教學(xué)的特征和要素，探討如何依托主題教學(xué)來(lái)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

2 北京中、高考?jí)狠S題的解題分析

2.1 中考試題解析

(2013年北京中考卷25題)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義:若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是；

②過(guò)點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線l上的點(diǎn)P(m，n)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；

(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍.

思路剖析

本題是圍繞概念“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的理解來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，(1)①是基于所定義概念表達(dá)的對(duì)象內(nèi)涵特征來(lái)辨識(shí)具體的點(diǎn)，找出哪些點(diǎn)是給定圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．實(shí)際上，題目中所給的三個(gè)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)都是一類點(diǎn)的代表：D為圓內(nèi)一般點(diǎn)，E和F分別為圓外的坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，通過(guò)尺規(guī)工具的測(cè)量操作即可做出判斷．

(1)②是基于概念的定義所表達(dá)的內(nèi)涵特征的發(fā)展性理解，對(duì)所給直線上的一般的點(diǎn)進(jìn)行推理確認(rèn). 因此，該小問(wèn)解決的關(guān)鍵是能否基于概念的定義獲得概念的發(fā)展性理解，也就是要經(jīng)由如下思維過(guò)程：基于定義通過(guò)觀察①中具體的點(diǎn)或者自己再行舉例嘗試，直覺(jué)判斷定圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在形態(tài)分布上的幾何特征，并作出抽象、概括和猜測(cè)，然后進(jìn)行深入分析和邏輯推理，邏輯確認(rèn)這一猜測(cè)的正確性，揭示出定圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的分布規(guī)律——半徑為1的⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)構(gòu)成的圖形是⊙O的半徑為2的同心圓(含圓周)圓面. 在這個(gè)思維過(guò)程中，既需要直觀想象也需要邏輯推理. 有兩個(gè)進(jìn)路可以推進(jìn)理解：對(duì)于給定的點(diǎn)P，暫時(shí)舍棄60°的條件限制，考察兩點(diǎn)A,B在圓上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)∠APB的大小是變化的，當(dāng)PA,PB是圓的切線時(shí)，∠APB張開(kāi)到最大值；暫時(shí)舍棄圓上點(diǎn)的限制，考察以P為頂點(diǎn)的60°角的兩邊，繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)起來(lái)，只要角的兩邊與定圓有交點(diǎn)時(shí)，既符合要求. 不管是哪一個(gè)進(jìn)路，最終都聚焦到關(guān)聯(lián)點(diǎn)分布的邊界狀態(tài)，此時(shí)角的兩邊與定圓相切. 從上述的分析可以發(fā)現(xiàn)，直觀想象與基于圓的相關(guān)知識(shí)的邏輯推理是協(xié)同進(jìn)行的. 此外，在一個(gè)涉及多個(gè)要素的關(guān)系的考查中，為了便于研究，需要適當(dāng)控制變量，即，要先確定或暫時(shí)舍棄某些要素，來(lái)考察另一些要素的變化的影響，這屬于數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)范疇.

(2)是從反方向的角度運(yùn)用對(duì)概念的發(fā)展性理解，由給定的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的所在圖形反向確定圓的半徑取值范圍. 該問(wèn)的解決，需要把②對(duì)概念獲得的發(fā)展性理解進(jìn)行一般化，這相當(dāng)于經(jīng)由概念的理解發(fā)現(xiàn)或推演出概念所界定的研究對(duì)象的性質(zhì)：點(diǎn)P是半徑為r的⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的充要條件是PC≤2r. 把這個(gè)性質(zhì)定理直觀化理解，即，對(duì)于兩個(gè)同心圓(半徑是二倍關(guān)系)，大圓的圓內(nèi)及圓周上的點(diǎn)集=小圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的點(diǎn)集.

當(dāng)然，該問(wèn)題的解決，除了對(duì) “關(guān)聯(lián)點(diǎn)”概念的理解，還涉及其它相關(guān)知識(shí)，如直角三角形、圖形與坐標(biāo)、銳角三角函數(shù)等，此外還有一個(gè)容易被忽視的難點(diǎn)——數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與表達(dá). 例如對(duì)概念中“存在”的理解，第三問(wèn)“若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的理解.

2.2 高考試題解析

(2016年高考北京卷理20)設(shè)數(shù)列A:a1,a2,…,aN(N≥2)．如果對(duì)小于n(2≤n≤N)的每個(gè)正整數(shù)k都有ak

(Ⅰ)對(duì)數(shù)列A:-2,2,-1,1,3，寫(xiě)出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)證明：若數(shù)列A中存在an使得an>a1，則G(A)≠?；

(Ⅲ)證明：若數(shù)列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N)，則G(A)的元素個(gè)數(shù)不小于aN-a1．

思路剖析

與中考題的壓軸題相似，本題同樣有一個(gè)核心概念，整個(gè)題目是圍繞數(shù)列的“G時(shí)刻”這一概念的理解而創(chuàng)設(shè)的.(Ⅰ)是要求基于“G時(shí)刻”的定義的表述，找出一個(gè)具體數(shù)列的所有“G時(shí)刻”，這一問(wèn)題的解決是對(duì)“G時(shí)刻”概念的具體感知.

(Ⅱ)是證明一個(gè)數(shù)列存在“G時(shí)刻”的充分條件. 需要從具體感知上升到一般性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，在通過(guò)(Ⅰ)中對(duì)概念獲得的具體感知的基礎(chǔ)上，從直覺(jué)上已經(jīng)可以感知：數(shù)列A存在一個(gè)“G時(shí)刻”意味著存在一項(xiàng)an大于其之前的所有項(xiàng)，當(dāng)然有an>a1. 但反之成立嗎？感覺(jué)在邏輯上是存在障礙的，回到(Ⅰ)中的具體例子去觀察，發(fā)現(xiàn)只有第一個(gè)大于a1的項(xiàng)an就一定是“G時(shí)刻”對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，而“存在an使得an>a1”，對(duì)于數(shù)列而言，當(dāng)然就存在第一個(gè)ak>a1，至此，結(jié)論成立的理由可以闡釋清楚了.

(Ⅲ)中“數(shù)列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N)”相當(dāng)于又定義了一類特殊的數(shù)列A，要求考查這類數(shù)列的“G時(shí)刻”的個(gè)數(shù)與末項(xiàng)和首項(xiàng)的差的關(guān)系. 所以本小問(wèn)的解決，不僅要求對(duì)“G時(shí)刻”概念有更深刻的理解，還要對(duì)這類數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)有一定的理解. 在反思解決(Ⅱ)的基礎(chǔ)上，對(duì)概念“G時(shí)刻”可以進(jìn)一步獲得自我語(yǔ)義層面解釋性的理解，把數(shù)列直觀化，將各項(xiàng)想象成是隨著項(xiàng)數(shù)n的變化而上下起伏跳躍的點(diǎn)，那么，對(duì)于第一個(gè)“G時(shí)刻”而言，是首次高于首項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；從第二個(gè)“G時(shí)刻”開(kāi)始，它是首個(gè)出現(xiàn)高于前一個(gè) “G時(shí)刻”對(duì)應(yīng)的點(diǎn). 對(duì)于數(shù)列A，定義它的相鄰項(xiàng)關(guān)系不是等量關(guān)系，這種相對(duì)泛化的不等關(guān)系，使得數(shù)列A的性質(zhì)特征也是模糊不清的，這對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)列A帶來(lái)了困難. 考慮到本問(wèn)的任務(wù)是“G時(shí)刻”個(gè)數(shù)，所以不妨將關(guān)注點(diǎn)由數(shù)列A的所有項(xiàng)轉(zhuǎn)移到“G時(shí)刻”對(duì)應(yīng)的那些項(xiàng)，我們將這些項(xiàng)和首項(xiàng)作為一個(gè)新的數(shù)列來(lái)考慮，記作a1,an1,an2,…,anp，對(duì)于這個(gè)數(shù)列，由 “G時(shí)刻”概念內(nèi)涵可得到如下性質(zhì)：a1

3 北京中、高考?jí)狠S題的教學(xué)導(dǎo)向分析

中、高考分別是初、高中階段的結(jié)果性測(cè)評(píng)，是立足于考生數(shù)年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所獲得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的考查，作為中、高考的壓軸題，它關(guān)注的不僅是這個(gè)學(xué)段的知識(shí)，更是長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所積淀形成的數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣與方式、數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的文化與精神，所以，如果僅是就題論題式來(lái)進(jìn)行備考，重心仍在應(yīng)試，事實(shí)上這就是僅關(guān)注斯根普所說(shuō)的對(duì)知識(shí)的工具性理解，而不關(guān)注關(guān)系性理解，那么怎么能發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？具體而言，從上述兩個(gè)考題的思路剖析可以發(fā)現(xiàn)，考題的測(cè)評(píng)目標(biāo)是“要求考生在新的情景下，通過(guò)閱讀抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，理解新引入的概念，從中挖掘研究對(duì)象的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并用精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言呈現(xiàn)推理證明的過(guò)程，這需要考生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力．”良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力，顯然不可能由短期的針對(duì)性訓(xùn)練來(lái)完成，因此，中、高考試題的教學(xué)導(dǎo)向是在平時(shí)的數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)活動(dòng)之中關(guān)注并落實(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

要發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就要關(guān)注良好的數(shù)學(xué)思維方式與習(xí)慣的養(yǎng)成. 那么，什么是數(shù)學(xué)的思維方式呢？北大數(shù)學(xué)系丘維聲教授把它概括成：觀察客觀現(xiàn)象，從中抓住主要特征, 抽象出概念或建立模型；然后進(jìn)行探索，探索時(shí)常用的是直覺(jué)判斷、歸納、類比和聯(lián)想；探索后可以做出某種猜想，但是需要證明，這要進(jìn)行深入分析、邏輯推理和計(jì)算, 往往要付出艱辛的勞動(dòng)；之后才可以揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律. 這就是數(shù)學(xué)思維方式的全過(guò)程. 回憶數(shù)學(xué)課程中每一個(gè)主題內(nèi)容所呈現(xiàn)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，基本上是按著上述的數(shù)學(xué)思維方式呈現(xiàn)的研究脈絡(luò)展開(kāi)的. 對(duì)于每一個(gè)主題內(nèi)容，都有一個(gè)核心的概念，它明確界定了本主題的核心研究對(duì)象，整個(gè)主題的內(nèi)容就是圍繞對(duì)核心概念理解的不斷深化而展開(kāi)的，展開(kāi)的基本模式為：概念中涉及的要素(已有概念)的分析——挖掘內(nèi)部各要素間關(guān)系的規(guī)律——關(guān)聯(lián)其它相關(guān)要素，發(fā)現(xiàn)概念內(nèi)、外要素間關(guān)系的規(guī)律.

回顧上述解決兩個(gè)考題的思維過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)出高度的一致性. 這些思維活動(dòng)在平時(shí)的課程學(xué)習(xí)中本應(yīng)該是反復(fù)經(jīng)歷的，那為什么學(xué)生沒(méi)有能夠從平時(shí)的學(xué)習(xí)中獲得這些思維方式與經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？原因可能就在于學(xué)生并沒(méi)有經(jīng)歷這樣的思維過(guò)程.

4 實(shí)施主題教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的重要途徑

目前課堂中采用的基本上還是傳統(tǒng)的教學(xué)方式，它是以“目標(biāo)——達(dá)成——評(píng)價(jià)”的方式來(lái)規(guī)劃設(shè)計(jì)的，知識(shí)與技能是實(shí)質(zhì)上的優(yōu)先事項(xiàng)，將單元內(nèi)容按知識(shí)點(diǎn)拆分成課時(shí)內(nèi)容，設(shè)立課時(shí)目標(biāo)，圍繞目標(biāo)達(dá)成設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，并評(píng)價(jià)課時(shí)知識(shí)與技能的達(dá)成，依據(jù)反饋改進(jìn)調(diào)整教學(xué). 這必然導(dǎo)致知識(shí)的碎片化，缺乏知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系性，學(xué)習(xí)行為上，偏向事實(shí)性知識(shí)的記憶和單一操作技能的訓(xùn)練，難以形成對(duì)單元主題的整體性和結(jié)構(gòu)性的理解，更難以體驗(yàn)和感悟蘊(yùn)含在主題內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想觀念和數(shù)學(xué)思維方式，這無(wú)法實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展，也造成了目前學(xué)生在面對(duì)中、高考?jí)狠S題呈現(xiàn)的新情景問(wèn)題時(shí)，難以形成問(wèn)題解決的思路. 為了避免“課時(shí)主義”把教學(xué)內(nèi)容碎片化，需要增強(qiáng)對(duì)課程的全局性把握——即在全局中去把握一課時(shí)的教學(xué)，這就需要以主題式教學(xué)的方式來(lái)組織和實(shí)施課程. 2017版高中課標(biāo)通過(guò)附錄中的案例36，指出了主題教學(xué)的整體設(shè)計(jì)包括以下幾個(gè)步驟：確定主題內(nèi)容；分析教學(xué)要素；編制主題教學(xué)目標(biāo)；設(shè)計(jì)主題教學(xué)流程；評(píng)價(jià)、反思及修改.

4.1 什么是主題教學(xué)

主題教學(xué)這一概念的英文表達(dá)包括“thematic instruction”、“theme study”、“unit teaching”、“the project method”、“theme-bases instruction”、“projectbased learning”等，在主題教學(xué)的內(nèi)涵上，側(cè)重各不相同. 在國(guó)內(nèi)隨著課改的推進(jìn)，對(duì)主題教學(xué)也有廣泛的研究，有主題教學(xué)、單元整體教學(xué)、深度學(xué)習(xí)等相關(guān)提法，雖然詞匯表達(dá)方式略有差異，但都是含有或突出主題教學(xué)的意思. 目前，主題教學(xué)沒(méi)有公認(rèn)的統(tǒng)一界定，本文立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的課程目標(biāo)，將主題教學(xué)的內(nèi)涵界定如下：主題教學(xué)是以系統(tǒng)論為基礎(chǔ)，指向?qū)W生的素養(yǎng)發(fā)展，從學(xué)科本質(zhì)出發(fā)，基于整體課程觀分析確定學(xué)習(xí)主題，基于認(rèn)知規(guī)律，聚焦數(shù)學(xué)基本思想和觀念的感悟和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，圍繞學(xué)習(xí)主題對(duì)課程的內(nèi)容進(jìn)行組織、實(shí)施與評(píng)價(jià)的一種教學(xué)模式. 具體而言，它圍繞主題中的核心概念或思想方法，構(gòu)建核心問(wèn)題，來(lái)整合多種資源，組織創(chuàng)設(shè)主題下相關(guān)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的境脈，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的全景過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀.

4.2 主題教學(xué)的核心特征

從主題教學(xué)的上述內(nèi)涵，主題教學(xué)具有如下幾個(gè)核心特征：

(1)教學(xué)內(nèi)容理解的整體性

主題教學(xué)強(qiáng)調(diào)“統(tǒng)觀全局，處理局部”，是在課程內(nèi)容的全局中規(guī)劃課時(shí)教學(xué)計(jì)劃. 對(duì)課程內(nèi)容的理解把握，包含如下幾個(gè)方面：主題內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)文化以及所滲透的數(shù)學(xué)思想等、在本學(xué)段數(shù)學(xué)課程中的地位、在整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的地位和作用、在數(shù)學(xué)整體中的地位、與本學(xué)段、前后學(xué)段以及大學(xué)其他知識(shí)之間的聯(lián)系. 這是做好主題教學(xué)的前提與基礎(chǔ)，只有做好主題內(nèi)容的整體化理解，才能弄清楚每堂課的教學(xué)內(nèi)容在數(shù)學(xué)整體的知識(shí)系統(tǒng)中的地位與價(jià)值，理解該數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和觀念，這樣才不至于使數(shù)學(xué)教學(xué)變得支離破碎.

(2)三維目標(biāo)的整合性

季蘋(píng)教授認(rèn)為知識(shí)有四個(gè)層面：事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)、方法性知識(shí)和價(jià)值性知識(shí)，因?yàn)樗兄R(shí)都是人類創(chuàng)造的，必然是在人類需要(一定的價(jià)值取向的驅(qū)使下)的時(shí)候創(chuàng)造的，而每一個(gè)創(chuàng)造都產(chǎn)生于特定的的方法以及概念和原理，每一個(gè)創(chuàng)造在本質(zhì)上都是一定價(jià)值取向、方法、概念和原理的事實(shí). 傳統(tǒng)的雙基教學(xué)過(guò)于關(guān)注理性和知識(shí)灌輸，而真正的教育不僅要包含理性學(xué)習(xí)，也應(yīng)包含直覺(jué)和情感學(xué)習(xí)，我們常常誤以為學(xué)習(xí)是始于大腦的認(rèn)知系統(tǒng)，而實(shí)際上是始于人的自我系統(tǒng)(由態(tài)度、信念、情感和價(jià)值觀構(gòu)成). 所以三維目標(biāo)是對(duì)傳統(tǒng)學(xué)科教育觀的一次超越，是學(xué)科教育開(kāi)始關(guān)注人的核心素養(yǎng)的發(fā)展. 由于主題教學(xué)是圍繞主題的核心概念或思想方法來(lái)規(guī)劃整體教學(xué)方案，將主題內(nèi)容研究的核心問(wèn)題嵌入情境之中，是以“主題——探究——經(jīng)驗(yàn)——表達(dá)”的方式來(lái)設(shè)計(jì)課程，著眼于組織“探究”、“表現(xiàn)”、“交流”、“反思”的活動(dòng)，這更有利于實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)的自然整合，這確保了主題教學(xué)的素養(yǎng)發(fā)展指向.

例如，初中的一元二次方程，如果教師是圍繞“如何求解一元二次方程？”來(lái)設(shè)計(jì)組織“探究”、“表現(xiàn)”、“交流”、“反思”的活動(dòng)，就要把學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)情感、態(tài)度放在重要的位置來(lái)考慮.在指導(dǎo)海淀區(qū)育英學(xué)校張潔老師參加全國(guó)教學(xué)比賽時(shí)，建議將原來(lái)的針對(duì)方程中三個(gè)參數(shù)列表分類討論求解，改為讓學(xué)生回憶一元二次方程的概念并在黑板上寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程的例子，要求后寫(xiě)的同學(xué)不同于前面所寫(xiě)的方程，然后提出問(wèn)題：你會(huì)求解其中的哪些方程呢？是怎樣求解的？求解方法背后的依據(jù)是什么？觀察不會(huì)求解的方程與會(huì)求解的方程在形式上有何區(qū)別？可否把會(huì)求解的方程所用的方法用到那些剛才不會(huì)求解的方程上去？……，這樣的設(shè)計(jì)，就是將學(xué)生的自我系統(tǒng)放在活動(dòng)設(shè)計(jì)的前提性基礎(chǔ)地位，教師不是硬要教給學(xué)生什么，而是觀察分析學(xué)生，通過(guò)組織學(xué)生的表達(dá)與分享交流，幫助學(xué)生基于自身的所知、所能使其顯性化和清晰化，從而發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)隱藏在這些特殊方程求解背后的數(shù)學(xué)原理，并用它去解決不會(huì)的方程.

(3)以學(xué)生的學(xué)為中心構(gòu)建活動(dòng)

主題教學(xué)是圍繞主題的核心概念的持續(xù)理解展開(kāi)教學(xué)的，它需要抓住主題內(nèi)容待研究的核心問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常黝}內(nèi)容是在問(wèn)題的探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和形成的. 因此，主題教學(xué)設(shè)計(jì)的重心是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)的構(gòu)建，包括學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究、學(xué)習(xí)表現(xiàn)、交流反思等活動(dòng).教師的教的重心是支持學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，例如傾聽(tīng)、觀察學(xué)生獲得學(xué)生的認(rèn)知、情感、態(tài)度等信息，以構(gòu)建支架促進(jìn)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)意義、思考表達(dá)、交流反思、經(jīng)驗(yàn)累積，要引領(lǐng)學(xué)生聚焦在富含教育價(jià)值的學(xué)習(xí)活動(dòng)中. 主題教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生要親身經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的全景性過(guò)程，這有助于落實(shí)課標(biāo)的四基要求，提高學(xué)生的綜合性思維品質(zhì). 學(xué)生在中、高考?jí)狠S題的解決中的困難：不會(huì)或不善于邏輯清晰的數(shù)學(xué)表達(dá)的問(wèn)題、不能理解對(duì)實(shí)際背景的應(yīng)用題的題意和進(jìn)行數(shù)學(xué)化、缺乏由概念發(fā)現(xiàn)和推演出概念所界定的對(duì)象的豐富性質(zhì)并用其解決新異問(wèn)題的意識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和能力……，自然就會(huì)在平時(shí)的主題學(xué)習(xí)中得以改善或解決.

例如，高中的數(shù)列主題，作為教師應(yīng)該知道其價(jià)值所在，數(shù)列與級(jí)數(shù)是共生的概念，級(jí)數(shù)是研究微積分的重要工具. 所以在數(shù)列主題的教學(xué)中要圍繞“數(shù)列求和”這一核心問(wèn)題設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)(盡管求數(shù)列的通項(xiàng)也是一個(gè)重要的問(wèn)題，但是因?yàn)樗梢砸暈槊枋鲭x散現(xiàn)象的特殊函數(shù)，這一價(jià)值可放在函數(shù)視野下來(lái)看)，可以通過(guò)給出一組求和問(wèn)題(如商品的擺放造型、棋盤(pán)上的麥粒數(shù)量等)讓學(xué)生去解決，活動(dòng)的重點(diǎn)不在于學(xué)生完成求和任務(wù)，而在于觀察和傾聽(tīng)學(xué)生對(duì)“一列數(shù)求和”的思維進(jìn)展及想法，根據(jù)情況適當(dāng)構(gòu)建支架——回憶以前多個(gè)數(shù)字相加求和的經(jīng)歷或舉例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)列求和本質(zhì)上是化簡(jiǎn)計(jì)算，化簡(jiǎn)的關(guān)鍵在于分析并發(fā)現(xiàn)各個(gè)加數(shù)的特征與關(guān)系，所以求和方法自然取決于運(yùn)算對(duì)象——數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì). 由此引出并形成數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和的概念. 這樣也就為后續(xù)的基本數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列的待研究問(wèn)題與研究路徑預(yù)設(shè)了框架.

(4)學(xué)習(xí)活動(dòng)凸顯概念學(xué)習(xí)

丘維聲認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心任務(wù)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，從丘教授闡釋的數(shù)學(xué)的思維方式內(nèi)涵可以看到其本質(zhì)上是“玩概念”的，概念是數(shù)學(xué)內(nèi)容中最核心也是最基礎(chǔ)的內(nèi)容，所有的數(shù)學(xué)命題要么是概念的性質(zhì)，要么是概念間的關(guān)系. “玩概念”的基本路徑：在數(shù)學(xué)的范疇中，觀察客觀現(xiàn)象，提出要研究的問(wèn)題，通過(guò)比較、概括等方法提取事物的本質(zhì)特征，抽象形成必要的概念，在概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用直覺(jué)、分析、歸納、類比、聯(lián)想、推理等方法探索并猜想出事物的內(nèi)在規(guī)律，給予嚴(yán)格的邏輯證明，之后那些重要的結(jié)論便形成了定理，最后是運(yùn)用定理去解決問(wèn)題. 而主題教學(xué)的單元課程設(shè)計(jì)就恰恰體現(xiàn)了“玩概念”的基本路徑，這不僅有利于促進(jìn)學(xué)生建立核心概念的意象(concept image，即，與這個(gè)概念相關(guān)的整個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，其中包括所有相關(guān)的心理表征、性質(zhì)和過(guò)程，這個(gè)概念由Vinner和Tall提出)，更為重要的是，還會(huì)促使學(xué)生形成概念意象的必要經(jīng)驗(yàn).

例如，高中必修內(nèi)容三角函數(shù)主題，可以圍繞本主題核心概念——三角函數(shù)概念的理解展開(kāi)主題教學(xué)，以“摩天輪”為問(wèn)題源，以抽象出的“勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的變量關(guān)系”為研究的核心問(wèn)題，在問(wèn)題的研究過(guò)程和解決認(rèn)知沖突中獲得新知識(shí)，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律中獲得新知識(shí)，逐漸展開(kāi)全章內(nèi)容．這樣的主題學(xué)習(xí)過(guò)程，能夠清晰的建立正、余弦三角函數(shù)的如下概念意象：?jiǎn)挝粓A，其上的質(zhì)點(diǎn)在逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，描述質(zhì)點(diǎn)在縱軸和橫軸上的投影點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)O的位置變化變量y和x與描述質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變量角的依賴關(guān)系. 這樣，同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等概念性知識(shí)，還有三角函數(shù)的描述周期現(xiàn)象以及聯(lián)系旋轉(zhuǎn)與平移運(yùn)動(dòng)的方法性知識(shí)，都可以結(jié)合圓的幾何特性牢固地建立在這一概念意象上了，當(dāng)然隨著主題學(xué)習(xí)的推進(jìn)，還會(huì)進(jìn)一步豐富其概念意象，如三角函數(shù)圖象等．

(5)教學(xué)內(nèi)容展開(kāi)的非線性

主題教學(xué)是圍繞主題的核心概念與思想觀念的持久性理解展開(kāi)的，是以學(xué)生的學(xué)為中心創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)活動(dòng)和支持學(xué)習(xí)的課堂環(huán)境氛圍，這就決定了主題教學(xué)的課時(shí)規(guī)劃具有動(dòng)態(tài)生成性.在主題教學(xué)的設(shè)計(jì)階段，要考慮到學(xué)生的不同的認(rèn)知和學(xué)習(xí)態(tài)度、情感等學(xué)情狀況，所以設(shè)計(jì)主題學(xué)習(xí)活動(dòng)必然是非線性的，有多種展開(kāi)路徑，而在實(shí)施過(guò)程中需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)展情況及時(shí)做出適當(dāng)調(diào)整. 這種非線性的課程架構(gòu)可以在一定程度上緩解因班級(jí)學(xué)生差異化帶來(lái)的教學(xué)困境. 因?yàn)橹黝}教學(xué)采用“主題——探究——經(jīng)驗(yàn)——表達(dá)”的課程架構(gòu)，其中的問(wèn)題的情境與場(chǎng)景、學(xué)生之間的互動(dòng)、交流與表達(dá)可以給不同水平的學(xué)生提供各自的學(xué)習(xí)參與活動(dòng)和發(fā)展空間，課堂更具有包容性.

例如，初中的銳角三角函數(shù)主題，其核心思想——直角三角形的邊之比與角存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)主題的設(shè)計(jì)圍繞核心思想的理解進(jìn)程、情境構(gòu)建6個(gè)研究問(wèn)題：①所給情境中的測(cè)高(底部不可達(dá))任務(wù)是怎樣的？②邏輯確認(rèn)“發(fā)現(xiàn)的邊角關(guān)聯(lián)的規(guī)律是真的嗎? ③如何方便地獲得任意銳角的三角函數(shù)值？④銳角三角函數(shù)讓你對(duì)直角三角形的可解性條件有了哪些新的認(rèn)識(shí)？⑤為了完成首課情境中的測(cè)高任務(wù)，你的測(cè)量及計(jì)算方案是怎樣的？⑥銳角三角函數(shù)概念還可以運(yùn)用到哪里去？除了①和⑥兩個(gè)問(wèn)題并沒(méi)有嚴(yán)格的線性順序，在海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)的楊愛(ài)青老師的教學(xué)實(shí)踐中，首課之后的每節(jié)課要研究的問(wèn)題，就是遵從多數(shù)同學(xué)的想法來(lái)決定的.

主題教學(xué)的推進(jìn)，顯然是不能一蹴而就的，就如同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要漸進(jìn)的過(guò)程一樣，教師的教學(xué)改進(jìn)也是如此，在實(shí)踐的探索中，它需要經(jīng)歷種種的困惑、沖突、感悟、發(fā)現(xiàn)、否定-肯定-再否定的過(guò)程，逐漸產(chǎn)生外至行為內(nèi)至觀念的演變、深化、重塑.在發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)探索上永無(wú)止境. 希望更多的有志教師能夠參與到主題教學(xué)的實(shí)踐探索中來(lái).