常紅梅 代 欽

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)高等教育研究所 科學(xué)技術(shù)史研究院 010022；2.內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院 010022)

1 分?jǐn)?shù)由來及其認(rèn)識

在中國至遲到春秋戰(zhàn)國時期已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)概念.源于食鹽分配、土地種植分配時不夠分，量器或其他器具制造時單位換算等，也用在樂律研究、天文學(xué)研究中.劉徽曾言：“物之?dāng)?shù)量不可悉全，必以分言之.”(5)李迪．中國數(shù)學(xué)史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社，1984：90.他對分?jǐn)?shù)的概念做了精辟的概括.《九章算術(shù)》中已經(jīng)有了比較完整的分?jǐn)?shù)計算方法，后來何承天(公元370—447年，東海郯人，生活于東晉與南北朝期間，在南朝劉宋初為太子率更令，為當(dāng)時著名的天文學(xué)家)創(chuàng)造了一種分?jǐn)?shù)近似算法，應(yīng)用于古代的歷法計算中.(6)李迪．中國數(shù)學(xué)史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社，1984：111.

分?jǐn)?shù)，自古以來在數(shù)學(xué)教育中扮演著重要角色，因此，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中如何安排分?jǐn)?shù)內(nèi)容是一項(xiàng)極為重要的課題.分?jǐn)?shù)，一是源于生活，反映了整體與部分之間的關(guān)系，它表示一個量的多少；二是源于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展需要，由于除法運(yùn)算的結(jié)果有可能躍出整數(shù)的范圍，所以需要引進(jìn)新的數(shù)——分?jǐn)?shù)，進(jìn)行擴(kuò)充.(7)章敏.關(guān)于分?jǐn)?shù)教學(xué)的思考[J]．課程·教材·教法，2015(3)：64.

“分”數(shù)，顧名思義是分出來的數(shù)，“把一個整體平均分成幾份，取其中的一份或幾份”，這個定義表示部分與整體的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)是一個量.但是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于測量過程(整體或一個單位的一部分)和計算過程(除不盡時得到分?jǐn)?shù))(8)范文貴.分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵有多大？——兼談小學(xué)分?jǐn)?shù)的教學(xué)[J]．人民教育，2011(7)：43..因而分?jǐn)?shù)還有一種定義是：“實(shí)如法而一，不滿法者，以法命之.”(9)注：法數(shù)、實(shí)數(shù)為中國古代數(shù)學(xué)中的稱呼，法數(shù)為除數(shù)，實(shí)數(shù)為被除數(shù).就是說，如果被除數(shù)或余數(shù)小于除數(shù)，就得到一個以除數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)是一個數(shù).那么，“分母”、“分子”的叫法又是從何而來的呢？依據(jù)傳統(tǒng)算術(shù)中“法”和“實(shí)”的命名來源，得到我國古代度量具有“法”的意義.其所謂“實(shí)如法而一”，即是“以法量實(shí)”，“實(shí)”中有等于“法”的量，所得是一，“實(shí)”中有幾個“法”，所得就是“幾”.(10)李繼閔.算法的源流——東方古典數(shù)學(xué)的特征[M].北京：科學(xué)出版社，2007：44.而分?jǐn)?shù)在分割測量中產(chǎn)生，“法”即相當(dāng)于“母”，“實(shí)”相當(dāng)于“子”，“子”由“母”所孕育，“母”在下、“子”在上，“母”背著“子”，因而“分母、分子”形象地描述了分?jǐn)?shù)上下兩個部分的關(guān)系，一直沿用至今.

張奠宙先生認(rèn)為，按人們認(rèn)識發(fā)展的順序，分?jǐn)?shù)定義一般有如下四種情況.(11)張奠宙.分?jǐn)?shù)定義[J]．小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2010(1)．

定義1(份數(shù)定義)：分?jǐn)?shù)是把一個單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份.

定義2(商定義)：分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)相除(除數(shù)不為0)的商.

定義3(比定義)：分?jǐn)?shù)是整數(shù)p與整數(shù)q(q≠0)之比.

在新農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)的過程中，循環(huán)性經(jīng)濟(jì)主導(dǎo)型能夠推動新農(nóng)村建設(shè)，實(shí)現(xiàn)農(nóng)業(yè)的良性可持續(xù)發(fā)展，是農(nóng)業(yè)發(fā)展的重要途徑，為了實(shí)現(xiàn)循環(huán)主導(dǎo)型的農(nóng)業(yè)生態(tài)建設(shè)，需要人們以可持續(xù)發(fā)展觀為基礎(chǔ)理念，滿足我國農(nóng)業(yè)發(fā)展的實(shí)際情況，為指導(dǎo)我國農(nóng)業(yè)發(fā)展打下基礎(chǔ)，在保護(hù)我國生態(tài)農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)之上，再調(diào)整我國農(nóng)業(yè)發(fā)展內(nèi)部的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，提高農(nóng)業(yè)生態(tài)的效益，提高生態(tài)園的經(jīng)濟(jì)，實(shí)現(xiàn)農(nóng)業(yè)生態(tài)園的健康可持續(xù)發(fā)展。

定義4(公理化定義)：有序的整數(shù)對(p，q)，其中q≠0.

“份數(shù)定義”是直觀的認(rèn)識，講整體與部分的一種關(guān)系；“商定義”、“比定義”則是由直觀到抽象，認(rèn)為分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，是除法運(yùn)算的結(jié)果；而公理化定義在初中分?jǐn)?shù)中是用不到的.

現(xiàn)在人們認(rèn)為分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，其實(shí)并不是這樣.從歷史的角度看，在1902到1961年間，較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)及其應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)教科書中被設(shè)置.這里需要說明，自清末“欽定學(xué)堂章程”至1922年“六三三”學(xué)制頒布之前，小學(xué)分為初等小學(xué)和高等小學(xué)兩個階段.其中高等小學(xué)相當(dāng)于初中.故高等小學(xué)和“六三三”學(xué)制之后的初中統(tǒng)稱為“初中”.1961年以后，在初中不設(shè)置算術(shù)(12)課程教材研究所.20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)[M].北京：人民教育出版社，2001：426..清末民國時期至1949年中華人民共和國成立以后到1961年期間，中國初中數(shù)學(xué)教科書中分?jǐn)?shù)概念表述和內(nèi)容編排等經(jīng)歷了復(fù)雜的過程，對這一歷史發(fā)展過程進(jìn)行研究具有重要的理論價值和現(xiàn)實(shí)意義.

2 清末初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)的概念表述之演變

1902年頒布《欽定學(xué)堂章程》之時,中國數(shù)學(xué)教育正處于百廢待興之際,雖然有了制度,但是一時還沒有根據(jù)數(shù)學(xué)教育制度編寫中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的客觀條件,國人只好選擇一些外國數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行翻譯,并沒有充分考量這些教科書是否符合中國數(shù)學(xué)教育制度的要求和國情，處于饑不擇食的狀態(tài).從整體上看,在清末翻譯的初中算術(shù)教科書并不一定和數(shù)學(xué)教育制度要求相一致,具有一定的獨(dú)立性.

2.1 編譯算術(shù)教科書中之分?jǐn)?shù)

編譯的初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)的概念表述有份數(shù)定義、商定義和比定義，為說明問題簡單起見，本文甄選清末編譯的6種較典型的初中算術(shù)教科書為例，闡述分?jǐn)?shù)概念表述與其表達(dá)的意義.因?yàn)榻炭茣蟹謹(jǐn)?shù)概念的表述學(xué)習(xí)中常常將其表達(dá)的意義放入其中講解，所以下文列在一起分析，如表1.

表1 清末編譯國外初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)概念表述及意義之分析

由表1可見，清末初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)概念是以份數(shù)定義為主，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)不夠整數(shù)時，表示量的大小可以用“分?jǐn)?shù)”，而分?jǐn)?shù)是將整體分為若干部分，而部分占整體的份數(shù).而“商定義”更傾向于除法計算，是商不足整數(shù)時用分?jǐn)?shù)來表示.“比定義”是在份數(shù)定義的基礎(chǔ)上，凸顯一個比率關(guān)系，與商定義又是相通的.在日本的東野十治郎著，日本西師意用中文翻譯的《最新算術(shù)教科書》中闡釋分?jǐn)?shù)的定義時用線段圖表示了兩種意義，一種是單位的三分之二，一種是二倍之三分之一，如圖1.

圖1

2.2 國人自編算術(shù)教科書中之分?jǐn)?shù)

清末國人自編的初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)概念的表述主要是份數(shù)定義.本文選取2種較典型的初中算術(shù)教科書為例，呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念表述與其表達(dá)的意義，如表2.

由表2可知，《最新算術(shù)教科書》中分?jǐn)?shù)的定義指出將整數(shù)“一”均分取其一分或數(shù)分，體現(xiàn)整體與部分的關(guān)系.而《高等小學(xué)用最新筆算教科書》中分?jǐn)?shù)的定義以舉例說明概念，從幾分之一到幾分之幾有一個推理過程.提到了分?jǐn)?shù)單位，體現(xiàn)整體與部分關(guān)系，倍比關(guān)系.以上兩種分?jǐn)?shù)的定義很簡單，直接給出一個整體與部分的關(guān)系，并描述其形式，旨在讓學(xué)生理解整數(shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別.

表2 清末國人自編初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)概念表述及意義分析

3 民國時期初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)概念表述之演變

3.1 編譯國外算術(shù)教科書中之分?jǐn)?shù)

在民國時初中算術(shù)教科書基本都是國人自編，編譯教科書極少.目前所掌握的僅有一種，即[日]藤澤利喜太郎著，趙秉良譯的《中學(xué)算術(shù)新教科書》(1915年，商務(wù)印書館).其中的分?jǐn)?shù)定義是：凡除法除至實(shí)數(shù)小于法數(shù)時，則將剩余記于上，法數(shù)記于下，而于其中劃一橫線以表示其商者，作為分?jǐn)?shù)形，稱之曰分?jǐn)?shù).書中直接以除法定義分?jǐn)?shù)，指出被除數(shù)小于除數(shù)時，將商以分?jǐn)?shù)形記之，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)作為一個數(shù)在計算中的意義.

3.2 國人自編初中算術(shù)教科書中之分?jǐn)?shù)

民國時期，國人自編初中算術(shù)教科書共20種，算術(shù)教科書仍處于多元化發(fā)展階段.分?jǐn)?shù)的定義描述演變?nèi)缦拢?/p>

①1913年～1917年，駱師曾，壽孝天著《高等小學(xué)校共和國教科書新算術(shù)(筆算)第三冊》的分?jǐn)?shù)定義與北京教育圖書社編《高等小學(xué)實(shí)用算術(shù)教科書(第三冊)》中分?jǐn)?shù)的定義完全相同，即表示1單位平分為若干份，而取其一份或幾份之?dāng)?shù)，體現(xiàn)了整體與部分的關(guān)系；而徐念慈編的《正訂近世算術(shù)》中分?jǐn)?shù)的定義也大致相同，只是除了“分”還強(qiáng)調(diào)了“聚”，這里的“聚”是指以幾個分?jǐn)?shù)單位來合成集聚一個分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)整體與部分及倍比關(guān)系，也包含著一種整體與部分轉(zhuǎn)化的思想.

②1919年，壽孝天編的《中學(xué)校用共和國教科書算術(shù)》(廿四版，1912年初版，一直沿用到新學(xué)制的頒布)中分?jǐn)?shù)的定義則有所不同，描述為：除法遇有殘數(shù)時，曾記以分?jǐn)?shù)Fraction.分?jǐn)?shù)者，寫數(shù)字于橫線之上下，讀為若干分之幾者也.其若干即除數(shù)，寫于線之下，曰分母Denominator.其幾即被除數(shù)，寫于線之上，曰分子Denominator.分母除1所得之?dāng)?shù)，為分?jǐn)?shù)之單位Fraction Unit.分母除分子所得之?dāng)?shù)，為分?jǐn)?shù)之值Value of fraction.這是典型的“商定義”，以除法定義分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)單位也以除法定義，且名詞術(shù)語都加了英文翻譯.這里在相關(guān)概念后邊附加英文名詞術(shù)語，說明受到國外影響.同時也給出分?jǐn)?shù)的直觀說明.而同年出版的陳文著《實(shí)用主義中學(xué)新算術(shù)》中分?jǐn)?shù)的定義卻與之相異，承前之“份數(shù)定義”，并體現(xiàn)了倍比關(guān)系.

③1927年，嚴(yán)濟(jì)慈編的《現(xiàn)代初中教科書算術(shù)(上冊)》中，首先以“聚攏多少個一，所成的數(shù)叫整數(shù)”引出分?jǐn)?shù)的定義：把這個一隨便分成幾等分，聚攏多少個這種同樣的等分，所成的數(shù)叫分?jǐn)?shù)(Fraction)，而后舉例說明：譬如說三個五分之一稱為五分之三；就是把一分作五等分，取三個這樣的等分聚攏起來(如圖2).定義中提到“等分”、“聚攏”，體現(xiàn)整體與部分、倍比關(guān)系.1930年，薛溱舲，龔昂云，楊哲明著的《初中算術(shù)(下冊)》中分?jǐn)?shù)的定義與上述定義大同小異，平分的單位由“一”變?yōu)椤?”，“聚攏”寫做“集”.

④1932年，吳在淵，胡敦復(fù)編的《初級中學(xué)用中學(xué)算術(shù)》中分?jǐn)?shù)的定義突出將“1”進(jìn)行等分，提到名分?jǐn)?shù)，即：若所分的1是1尺，1兩，等名數(shù)，便叫名分?jǐn)?shù).并以分線段舉例(如圖3)，有a，b二線分，要拿m做長的單位去量.因a，b都比m短，不夠量，就把m分做5等分，取出1份做小單位，拿它來量a得1倍，量b得3倍.a是m的五分之一，b是m的五分之三.突出分?jǐn)?shù)的測量意義，強(qiáng)調(diào)“比定義”，體現(xiàn)整體與部分、倍比關(guān)系.書中也提到“分?jǐn)?shù)也可表明分母除分子的數(shù)值.”講了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系.而1933年，劉秉哲著的《初級中學(xué)算術(shù)》中分?jǐn)?shù)的定義表述，又強(qiáng)調(diào)把“一”隨意等分，體現(xiàn)整體與部分、倍比關(guān)系，在分?jǐn)?shù)的解釋中用除法解釋分?jǐn)?shù)，指出分?jǐn)?shù)的值相當(dāng)于商，強(qiáng)調(diào)數(shù)概念.

圖3

可見，這個時期，除了講份數(shù)定義，還強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的除法意義，且國人自編的算術(shù)教科書大多是參照日本算術(shù)教科書編寫的.

圖4

圖5

圖6

此外，1934～1937年，王剛森著的《王氏初中算術(shù)(下冊)》、陸子芬，孫振惠，石濂水編的《新課程標(biāo)準(zhǔn)適用初中算術(shù)(上冊)》中分?jǐn)?shù)的定義與駱師曾，壽孝天著的《高等小學(xué)校共和國教科書新算術(shù)(筆算)第三冊》中分?jǐn)?shù)的定義相同.周為群，劉薰宇，章克標(biāo)，仲光然合編的《開明算學(xué)教本算術(shù)(下冊)》、蔡澤安編的《初中新算術(shù)(上冊)》中分?jǐn)?shù)的定義也與之大同小異，只是這兩本教科書分別強(qiáng)調(diào)要分的是“一種單位或一個全數(shù)”、“一個數(shù)或一個量”，突出了分?jǐn)?shù)既可以作為數(shù)，也可以作為量的意義.

⑥1941～1945年，張幼虹著的《修正新課程標(biāo)準(zhǔn)適用實(shí)驗(yàn)初中算術(shù)》中分?jǐn)?shù)的定義指出，把“一整數(shù)或整數(shù)1”隨便等分；而王桂榮，余信符著的《建國初中算術(shù)(上冊)》中只簡單地描述為把“一”等分.這一時期分?jǐn)?shù)定義均體現(xiàn)了整體與部分的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)作為數(shù)的意義.

⑦1947年，魏懷謙編的《新編初中算術(shù)(上冊)》中強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的兩種定義，一種是商定義，一種是份數(shù)定義.商定義中指出：將整數(shù)1，分作若干等份，取出若干等份；所取之?dāng)?shù)對全數(shù)說，叫做分?jǐn)?shù).以分母除分子之商，叫分?jǐn)?shù)值，也叫分?jǐn)?shù).份數(shù)定義中描述為：將一整數(shù)，分作若干等份，取出若干份；所取之?dāng)?shù)，叫作分子，全份數(shù)叫作分母，以分母除分子之商，叫做分?jǐn)?shù)值.從中可見，其實(shí)兩個定義是一樣的，只是前者將整數(shù)1等分，而后者是將一整數(shù)等分，不過前者更強(qiáng)調(diào)數(shù)，后者突出量.1948年，國立編譯館，蔡德注編的《初級中學(xué)算術(shù)(上冊)》中分?jǐn)?shù)的定義只簡單指出把“整數(shù)1”等分，突出以數(shù)的形式定義分?jǐn)?shù).

由上述可知,在清末民國時期初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)概念的闡釋，大多用“份數(shù)定義”，而且以除法解釋了分?jǐn)?shù)的意義，少部分用“商定義”或“比定義”.1919年以后分?jǐn)?shù)概念的名詞術(shù)語都標(biāo)注了英文，便于學(xué)者結(jié)合中外文進(jìn)行更深的認(rèn)識.而且教科書中多用線段圖來導(dǎo)入或解釋分?jǐn)?shù)的概念.綜上，初中分?jǐn)?shù)概念表述相比較清末而言更注重引導(dǎo)性，易于學(xué)生接受，并且更加全面、規(guī)范化，使學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念知識的同時了解其思想方法.以下將典型教科書中分?jǐn)?shù)定義方式及演變過程總結(jié)，如表3.

表3 國人自編典型初中算術(shù)教科書中分?jǐn)?shù)的概念表述及意義分析

從以上典型教科書中分?jǐn)?shù)的定義可知：國人自編的初中算術(shù)教科書中，分?jǐn)?shù)的概念表述也是集中在份數(shù)定義與商定義.其中份數(shù)定義居多，但是表述中也有細(xì)微的差別，隱含著教科書編著者對分?jǐn)?shù)概念的理解.如：《最新算術(shù)教科書》、《現(xiàn)代初中教科書 算術(shù)》、《復(fù)興初級中學(xué)教科書算術(shù)》中均以等分“一”來定義分?jǐn)?shù)，而《初級中學(xué)用新中學(xué)算術(shù)》則指出將“1”等分，這個區(qū)別看似微乎其微，卻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的抽象概括性，從整體中抽象出單位“1”.《開明算學(xué)教本算術(shù)》中的“一種單位”或“一個全數(shù)”即是從“一”向“1”的過渡.另外，《初級中學(xué)用新中學(xué)算術(shù)》、《初級中學(xué)算術(shù)》、《駱氏初中算術(shù)》雖然是從整體部分的角度定義分?jǐn)?shù)，但都在解釋分?jǐn)?shù)的意義中闡述了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系.可見，分?jǐn)?shù)概念表述的兩種方法也不是截然區(qū)分的.然而，《中學(xué)校用共和國教科書算術(shù)》是直接以整數(shù)相除定義的，明確了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系.此外，在概念的引入方式上也有不同，其中《現(xiàn)代初中教科書算術(shù)》以整數(shù)的含義引出分?jǐn)?shù)的含義，有利于學(xué)生對比整數(shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別，更好地理解分?jǐn)?shù)；《駱氏初中算術(shù)》用均分線段來引出分?jǐn)?shù)的定義，形象性更強(qiáng)，使學(xué)生更容易理解分?jǐn)?shù)的含義；幾本書中圖形的例證，更容易引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而激發(fā)知識汲取的積極性.此外，通過分?jǐn)?shù)含義的解析來理解分?jǐn)?shù)的意義，其中分?jǐn)?shù)含義中體現(xiàn)的整體與部分、測量、倍比、除法、集合等關(guān)系是分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識.

在當(dāng)時的《數(shù)學(xué)辭典》和《算學(xué)辭典》中對“分?jǐn)?shù)”的定義具體如下：

(1)《算學(xué)辭典》(段育華、周元瑞編，商務(wù)印書館，1938年)中的定義.

分?jǐn)?shù)平常分為兩種，即普通分?jǐn)?shù)(Vulgar fraction)簡稱分?jǐn)?shù)(或稱命分)及十進(jìn)分?jǐn)?shù)(Decimal fraction)(常稱小數(shù))是也.普通分?jǐn)?shù)者，表示分母可為任意量之分?jǐn)?shù)也.十進(jìn)分?jǐn)?shù)即小數(shù)，不書分母而分母常為10之乘方之分?jǐn)?shù)也.

此定義中突出分?jǐn)?shù)單位，介紹了普通分?jǐn)?shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)(小數(shù)).

(2)《數(shù)學(xué)辭典》(倪德基、酈祿琦、雷琛編，中華書局，1925年)中的定義.

這個定義中突出分?jǐn)?shù)的除法含義，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系.

4 結(jié)語

分?jǐn)?shù)是數(shù)學(xué)中內(nèi)涵豐富的核心概念之一，是人類重要的文化成果.在清末民國期間,初中算術(shù)教科書逐漸從主要翻譯、編譯美國、日本的教科書發(fā)展到自編教科書，且書中內(nèi)容體系逐漸完善，這體現(xiàn)了中國對西方數(shù)學(xué)教育的學(xué)習(xí)與吸納，最終發(fā)展為本國數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的一個演變過程.分?jǐn)?shù)的定義方式主要突出了整體與部分的關(guān)系，也顯示了分?jǐn)?shù)與除法及比的不可分割性.正如算術(shù)是解決實(shí)際問題的學(xué)科，注重計算方法，分?jǐn)?shù)也是來源于現(xiàn)實(shí)生活，為解決除自然數(shù)以外的“分出來”與“除出來”、“比出來”的數(shù)的問題.另外，一些初中算術(shù)教科書在引入分?jǐn)?shù)概念時，常常提到對非整數(shù)的表示方法除小數(shù)之外，另有一種表示方法即分?jǐn)?shù).但沒有深入地介紹小數(shù)實(shí)質(zhì)上也是一種分?jǐn)?shù)，即十進(jìn)分?jǐn)?shù)，以10的倍數(shù)為分母的分?jǐn)?shù).

比較而言，份數(shù)定義更強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)作為量的意義，用于測量；商定義更強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)作為數(shù)的意義，用于分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算.份數(shù)定義是基本的分?jǐn)?shù)定義，對于初學(xué)分?jǐn)?shù)者，更容易接受.因而依據(jù)分?jǐn)?shù)的來源，引導(dǎo)學(xué)生先學(xué)習(xí)份數(shù)定義，再學(xué)習(xí)商定義、比定義，既符合從直觀引入到抽象概括的教學(xué)方法，又遵循了從分?jǐn)?shù)作為量的體驗(yàn)到分?jǐn)?shù)作為數(shù)的理解的學(xué)習(xí)心理規(guī)律，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.因此對分?jǐn)?shù)概念的不同界定及其相互關(guān)系的系統(tǒng)認(rèn)識，對教學(xué)研究和實(shí)踐均有重要價值.