寧利中，張 珂，寧碧波，胡 彪，田偉利

(1. 省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室(西安理工大學(xué))，陜西 西安 710048; 2. 嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001；3. 江西省水利規(guī)劃設(shè)計研究院, 江西 南昌 330029；4. 上海大學(xué) 建筑系，上海200444)

底部加熱兩平板之間的對流問題被稱為Rayleigh- Benard對流。關(guān)于這個問題的研究已有一百多年歷史，從最初的試驗研究，理論分析到近幾十年的數(shù)值模擬，研究工作一直吸引著科研人員的興趣[1- 5]。數(shù)值模擬可分為基于簡單振幅方程組或模型方程組的數(shù)值模擬，利用擾動方程組的模擬，以及利用流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬。特別是基于流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬大大推動了Rayleigh- Benard對流的研究，揭示了許多新的現(xiàn)象。例如，對于混合流體，腔體中出現(xiàn)的行波、局部行波、具有不同結(jié)構(gòu)的對流行波解等。這些都是在單流體下沒有觀察到的。數(shù)值模擬的一個優(yōu)點是通過模擬可以獲得Rayleigh- Benard對流的微細結(jié)構(gòu)，這是實驗中很難測量與觀測的現(xiàn)象。因此，數(shù)值模擬已成為研究底部加熱兩平板之間對流問題的有力工具。

給底部加熱兩板之間的對流施加一個水平流動，形成一個新的對流系統(tǒng)[6- 10]，導(dǎo)致許多新現(xiàn)象的產(chǎn)生[11- 14]。對該系統(tǒng)的研究已獲得許多進展，但仍然有許多問題需要進一步深入研究。本文采用二維流體力學(xué)基本方程組對普朗特數(shù)Pr=0.72的具有水平流動的底部加熱兩板之間的流動特性進行數(shù)值模擬。

1 水平流動進口段及其數(shù)學(xué)模型

1.1 水平流動進口段

圖1 具有水平流動的底部加熱兩板之間的流動Fig.1 Flow between two plates heated from below with horizontal flows

首先討論具有水平流動的底部加熱兩板之間的流動問題。當(dāng)?shù)撞考訜醿砂逯g的溫度差超過臨界值時，底部加熱兩板之間發(fā)生對流現(xiàn)象，即在底部加熱兩板之間發(fā)生對流滾動。對于純流體，這種對流滾動是定常的。如果給底部加熱兩板之間的對流施加一個水平流動，由于水平流動與底部加熱兩板之間的對流或者說底部加熱兩板之間溫度差的熱作用的競爭，導(dǎo)致兩板之間出現(xiàn)復(fù)雜的對流斑圖。在兩板之間溫度差與水平流動強度的某種組合下，系統(tǒng)中可能發(fā)生均勻行波對流或水平流動控制局面的現(xiàn)象。當(dāng)兩板之間溫度差與水平流動強度在合適的參數(shù)范圍時，兩板之間發(fā)生水平流動與對流滾動聯(lián)合出現(xiàn)的現(xiàn)象，即局部行波對流。也就是說，兩板之間的上游區(qū)由水平流動控制，下游區(qū)則由行波對流滾動支配。將兩板之間的上游區(qū)水平流動控制段稱為水平流動進口段，如圖1所示。水平流動進口段長度依賴于水平流動強度和兩板之間溫差變化。

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1控制方程組 對于圖1所示流動斑圖，考慮Boussinesq假定，密度變化為ρ=ρ0[1-α(T-T0)]時，控制流動系統(tǒng)的流體力學(xué)方程組為：

·U=0

(1)

(2)

(3)

1.2.2邊界條件和初始條件 上下壁面的流速為：在z=0，d時，u=w=0。上下壁面溫度恒定，即在z=0時，T=Td；在z=d時，T=Tu。

流速初始條件為：u=w=0，初始溫度取平均值(一般T=293.15 K)。

1.2.3數(shù)值計算方法 根據(jù)有限容積法對流體力學(xué)基本方程組進行離散，采用SIMPLE算法對速度- 壓力方程進行數(shù)值求解。文獻[9]對d/20和d/30兩種網(wǎng)格的比較說明最大垂直流速很接近，因此，采用d/20的網(wǎng)格。時間步長采用Δt=0.01 s。為方便說明，坐標無量綱化為X=x/d,Z=z/d。模擬采用的普朗特數(shù)Pr=0.72，腔體長高比Γ=Lx/d=12。

2 水平流動進口段長度

2.1 底部加熱兩板之間的3種流動斑圖

圖2 r=4情況下不同雷諾數(shù)流線Fig.2 Streamlines for different Reynolds numbers under condition of r=4

具有水平流動的底部加熱兩板之間的流動斑圖依賴于表征水平流動強度的雷諾數(shù)Re和表征兩板之間溫度差大小的相對瑞利數(shù)r。對于給定的相對瑞利數(shù)，水平流動雷諾數(shù)Re的大小將決定具有水平流動進口段長度的對流斑圖。圖2給出了相對瑞利數(shù)r=4情況下，不同水平流動雷諾數(shù)Re時具有水平流動的底部加熱兩板之間的流動斑圖。每個框子內(nèi)為流動穩(wěn)定時兩板之間的流線圖，水平流動雷諾數(shù)向上增大，對應(yīng)的流動斑圖也發(fā)生變化?？梢钥闯?，當(dāng)水平流動雷諾數(shù)Re≤9.5時，兩板之間是基本均勻的行波對流。這時，由于水平流動雷諾數(shù)較小，兩板之間熱作用抑制了水平流動，控制了整個腔體，兩板之間熱作用和水平流動的平衡導(dǎo)致形成充滿兩板之間的行波對流。在長高比Γ=12的腔體中，存在15個滾動，其平均波數(shù)k=15π/12=3.93。當(dāng)水平流動雷諾數(shù)超過Re=9.5時，兩板之間出現(xiàn)具有水平流動進口段的局部行波對流。當(dāng)水平流動雷諾數(shù)Re=17.5時，水平流動進口段長度X0=1.5，在1.5≤X≤12.0的范圍內(nèi)是行波對流，行波對流的平均波數(shù)為k=13π/10.5=3.89。這時，水平流動強度已增大到在進口段范圍抑制兩板之間熱作用，從而形成水平流動進口段長度；而在1.5≤X≤12.0的區(qū)間，兩板之間熱作用和水平流動的平衡導(dǎo)致形成兩板之間的行波對流。因此，兩板之間是具有水平流動進口段的局部行波對流。當(dāng)水平來流雷諾數(shù)進一步增到Re≥24.0時，水平流動強度已增大到在整個腔體范圍抑制兩板之間熱作用，對流滾動消失，從而形成水平流動。總之，隨著參數(shù)變化，兩板之間出現(xiàn)3種流動斑圖。在水平流動雷諾數(shù)9.5

2.2 水平流動進口段長度對雷諾數(shù)的依賴性

圖3 進口段長度對雷諾數(shù)的依賴性Fig.3 Dependence of entrance section length on Reynolds number

水平流動雷諾數(shù)影響著水平流動進口段長度。對于給定的相對瑞利數(shù)r=3時，雷諾數(shù)Re為9.0，10.0，14.0，15.0，17.0，19.0，20.0和21.0，兩板之間的水平流動進口段長度X0為0，0.5，1.0，1.5，5.0，10.5，11.0和12.0。對以上數(shù)據(jù)進行擬合分析(圖3)，可得水平流動進口段長與雷諾數(shù)的相關(guān)關(guān)系式為：

X0=0.120Re2-2.507Re+13.031

(1)

式中:Re可變范圍為9.0≤Re≤21.0，可決系數(shù)R2=0.966 9。

當(dāng)水平流動雷諾數(shù)Re≤9.0時，兩板之間的水平流動進口段長度X0=0，系統(tǒng)是均勻行波對流狀態(tài)。當(dāng)水平流動雷諾數(shù)Re≥21.0時，兩板之間的水平流動進口段長度X0=12.0，系統(tǒng)是水平流動狀態(tài)。在水平流動雷諾數(shù)9.0

圖4 進口段長度對相對瑞利數(shù)的依賴性Fig.4 Dependence of entrance section length on reduced Rayleigh number

2.3 水平流動進口段長度對相對瑞利數(shù)的依賴性

相對瑞利數(shù)是兩板之間溫度差熱作用的反映，它影響著水平流動進口段長度。對于給定的水平流動雷諾數(shù)Re=25.0時，當(dāng)相對瑞利數(shù)r為4，5，6，7，8，9，10和12時，兩板之間水平流動進口段長度分別為12.0，8.5，4.5，1.5，1.2，1.0，0.5和0。對以上數(shù)據(jù)進行相關(guān)分析(圖4)，可得水平流動進口段長度與相對瑞利數(shù)的變化關(guān)系式為：

X0=-0.046r3+1.417r2-14.667r+51.327

(2)

式中：r的可變化范圍為4≤r≤12，可決系數(shù)R2=0.987 5。

可以看出，當(dāng)相對瑞利數(shù)r≤4時，兩板之間水平流動進口段長度X0=12.0，水平流動控制整個腔體。當(dāng)相對瑞利數(shù)r≥12時，兩板之間水平流動進口段長度X0=0，兩板之間充滿對流滾動的行波對流。在相對瑞利數(shù)4

3 結(jié) 語

采用二維流體力學(xué)基本方程組對普朗特數(shù)Pr=0.72的具有水平流動的底部加熱兩板之間的流動特性進行數(shù)值模擬，得出以下結(jié)論：

(1) 對于給定相對瑞利數(shù)r，隨著雷諾數(shù)Re由零開始增加，具有水平流動的底部加熱兩板之間依次出現(xiàn)定常對流滾動，均勻行波對流滾動，具有水平流動進口段的局部行波對流滾動及水平流動斑圖等。

(2) 當(dāng)相對瑞利數(shù)r=3時，在雷諾數(shù)9.0

(3) 當(dāng)雷諾數(shù)Re=25.0時，在相對瑞利數(shù)4