楊彬 周琪 曹亮 魯仁全

隨著工業(yè)和軍事應(yīng)用的發(fā)展,愈來愈多的工作需要多個智能體協(xié)同完成,因此多智能體協(xié)同控制迅速成為學界的熱門課題[1?8].由于多智能體協(xié)同控制只需接收智能體之間的局部信息,從而大大降低了系統(tǒng)的通訊成本和能耗,且具有更好的靈活性和魯棒性,所以廣泛應(yīng)用于多機器人協(xié)同控制、無人機編隊和傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域.多智能體協(xié)同控制主要包括一致性問題[1?6]、集群問題[7]、編隊問題[8]等.其中一致性跟蹤問題作為協(xié)同控制的一項基本問題,受到了學者們的廣泛關(guān)注[1?5].

在多智能體系統(tǒng)中,每個智能體的微處理器一般會受到計算能力和通信帶寬的限制,因此如何在多智能體的一致性跟蹤控制過程中降低通訊成本、減小計算壓力成為了亟需解決的問題.針對這一問題,有學者在控制器中加入了事件觸發(fā)機制,并獲得了顯著的成果[9?12].但是,事件觸發(fā)機制可能發(fā)生奇諾現(xiàn)象,即觸發(fā)事件會在有限時間內(nèi)被無數(shù)次觸發(fā).為了解決這一問題,文獻[13]研究了幾種不同事件觸發(fā)機制的最小事件觸發(fā)時間間隔的基本性質(zhì).文獻[14]則結(jié)合自適應(yīng)控制解決了事件觸發(fā)控制中輸入狀態(tài)穩(wěn)定性的問題.將事件觸發(fā)機制加入到控制器設(shè)計中顯著降低了控制過程的能耗和成本,因此,事件觸發(fā)控制成為了多智能體一致性跟蹤控制的一種重要方法.

由于受到物理器件和運行條件的限制,系統(tǒng)通常需要對其狀態(tài)進行約束,否則將會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定、性能急劇下降等現(xiàn)象,甚至會造成重大的安全事故.因此,解決系統(tǒng)的狀態(tài)約束問題意義重大.全狀態(tài)約束作為一種常見的狀態(tài)約束形式,一直是控制領(lǐng)域的研究熱點與難點.文獻[3,15?16]均使用Barrier Lyapunov 函數(shù)對具有全狀態(tài)約束的系統(tǒng)進行了研究.文獻[15]研究了一類具有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的全狀態(tài)約束問題,文獻[16]進一步研究了一類隨機非線性系統(tǒng)的全狀態(tài)約束問題,文獻[3]則研究了一類具有全狀態(tài)約束和未知擾動的多智能體一致性跟蹤問題.此外,系統(tǒng)在保證穩(wěn)定運行的同時,通常還會對收斂速率,最大超調(diào)量,穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標提出要求.因此,在控制器的設(shè)計過程中結(jié)合指定性能具有重要意義[17?21].

基于以上討論,本文針對一類具有全狀態(tài)約束的非嚴格反饋多智能體系統(tǒng)一致性跟蹤控制問題進行了研究,改進了控制算法.與現(xiàn)有結(jié)果相比,本文的優(yōu)勢在于考慮了指定性能,對跟蹤誤差進行了指定性能變換,從而獲得了更小的穩(wěn)態(tài)誤差.此外,在控制器設(shè)計過程中加入了固定閾值的事件觸發(fā)機制,設(shè)計了一個基于事件觸發(fā)的自適應(yīng)控制算法,降低了智能體之間的通訊成本以及控制成本.在控制算法的設(shè)計過程中,用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial basis function neural networks,RBF NNs)對系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)進行處理,從而解決了控制器設(shè)計中不滿足匹配條件和未知非線性函數(shù)的問題.除此之外,在反步法中引入動態(tài)面技術(shù),有效地避免了傳統(tǒng)反步法中“計算爆炸”的問題.

1 預備知識與問題描述

1.1 代數(shù)圖論

本文用圖論來描述智能體之間的通信拓撲.智能體之間的有向圖記為ζ=(V,E,A),其中,V=(1,2,···,N)是節(jié)點數(shù),表示系統(tǒng)中含有N個智能體.E ?V×V為節(jié)點的邊,A=[ai,j]∈RN×N為鄰接矩陣.節(jié)點j到i的邊記為(Vj,Vi)∈E,表示智能體i能夠接收到智能體j的信息,智能體i的鄰居節(jié)點的集合定義為Ni={Vj|(Vj,Vi)∈E,i≠j}.對于鄰接矩陣A,如果節(jié)點j的信息能被節(jié)點i接收到,那么ai,j >0,否則ai,j=0.定義節(jié)點i的度為對角矩陣D=diag{d1,d2,···,dN}.有向圖ζ的拉普拉斯矩陣為L=D ?A.定義拓展圖其中=(0,1,2,···,N),0 表示領(lǐng)導者,同樣的,當節(jié)點i能夠接收領(lǐng)導者0 的信號時ai,0>0,否則ai,0<0.

引理1[22].如果存在一條路徑能夠從根節(jié)點到達所有其他節(jié)點,那么稱有向圖ζ具有一個生成樹.定義B=diag{a1,0,···,aN,0},其中節(jié)點0 稱為生成樹的根,則矩陣L+B是非奇異的.

1.2 系統(tǒng)描述

對于具有N個同構(gòu)智能體的多智能體系統(tǒng),第i個智能體可以用以下n階非嚴格反饋的非線性系統(tǒng)描述

其中,xi=[xi,1,xi,2,···,xi,n]T∈Rn表示第i個智能體的狀態(tài)向量,yi ∈R 和ui ∈R 分別表示第i個智能體的輸出和控制器輸入,fi,m(xi)和fi,n(xi)是未知光滑的非線性函數(shù),i=1,2,···,N.

假設(shè)1[1].有向圖ζ具有一個生成樹.節(jié)點0 的期望軌跡yd是一個虛擬的領(lǐng)導者,且只能被部分智能體直接獲取.yd已知,yd及其n階導數(shù)都是連續(xù)且有界的.

定義1[23].如果對于任意一個先驗緊集?∈Rn,x(0)∈?,存在有界的ε >0 以及常數(shù)N(ε,x(0)),使得

則系統(tǒng)(1)的解是半全局一致最終有界的.

1.3 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在本文中,RBF NNs 用于逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù)[24?25]

其中,S(Z)=[S1(Z),S2(Z),···,Sk(Z)]T表示基函數(shù)向量,k為RBF NNs 的節(jié)點數(shù),W=[W1,W2,···,Wk]T∈Rk為權(quán)重向量.存在一個恒定的理想權(quán)重向量W?,使以下方程成立

其中,ιi=[ιi1,ιi2,···,ιiq]T和ωi(i=1,2,···,k),分別表示高斯函數(shù)的中心和寬度.

引理2[26].令

2 事件觸發(fā)自適應(yīng)控制算法設(shè)計

本文使用反步法和動態(tài)面技術(shù)設(shè)計了一個事件觸發(fā)自適應(yīng)控制算法使多智能體系統(tǒng)達到以下控制目標:1)所有智能體的輸出都能對期望軌跡進行跟蹤并滿足指定性能;2)系統(tǒng)中所有的信號都是半全局一致最終有界的.

定義以下坐標變換

指定性能可以用以下不等式進行描述:

其中,δmin和δmax是可調(diào)節(jié)的參數(shù),性能函數(shù)μ(t)有界且嚴格單調(diào)遞減,其形式為μ(t)=(μ0?μ∞)e?vt+μ∞,式中,v,μ0和μ∞都是正實數(shù),μ0=μ(0),選取適當?shù)摩?,使得μ0>μ∞,

為了滿足指定性能,進行如下等效變換:

其導數(shù)為

其導數(shù)為

定義自適應(yīng)參數(shù)為

定義kbl為誤差si,l的約束,即|si,l|

引理3[27].對于任意正常數(shù)kbl,若滿足不等式|si,l|

引理4[4].定義s1=[s1,1,s2,1,···,sN,1]T,y=[y1,y2,···,yN]T,=[yd,yd,···,yd]T,其中,yd的個數(shù)為N.則有

引理5(Young′s 不等式)[26].對于?(x,y)∈Rn,有以下不等式成立

其中,p>0,a>1,b>1,(a ?1)(b ?1)=1.

事件觸發(fā)自適應(yīng)控制算法的具體設(shè)計步驟如下:

步驟1.反步法第1 步選取的Barrier Lyapunov 函數(shù)為

由式(1)～(4),可得

其中,Zi,1=[xi,xj]T,δ(Zi,1)為逼近誤差且|δ(Zi,1)|≤

由引理2 和引理5,可得

設(shè)計反步法第1 步的虛擬控制信號αi,1和自適應(yīng)律分別為

其中,pi,1,ci,1,σi,1都是正的設(shè)計參數(shù).

將式(6)～(9)代入式(5),可得

步驟2.基于動態(tài)面技術(shù)[28],定義如下一階濾波器用于解決反步法的“計算爆炸”問題

其中,τi,2是正的設(shè)計參數(shù),由λi,2=zi,2?αi,1可得則有

注1.由步驟1 推導出αi,1后,在下一步的虛擬控制信號設(shè)計過程中必須對其求導,并且在之后的每一步中都要對虛擬控制信號進行反復求導,從而產(chǎn)生“計算爆炸”問題.引入動態(tài)面技術(shù)將虛擬控制信號通過一階低通濾波器得到其估計值zi,2,在下一步設(shè)計過程中用估計值代替虛擬控制信號可以避免對其進行求導,簡化了控制器結(jié)構(gòu).

選取第m(m=2,3,···,n ?1)步的Barrier Lyapunov 函數(shù)為

由式(1),(2),(11),可得

由引理2 和引理5,可得

設(shè)計第m步的虛擬控制信號αi,m和自適應(yīng)律分別為

其中,pi,m,ci,m,σi,m都是正的設(shè)計參數(shù).基于遞歸的思想,將式(10),(13)～(16)代入式(12),可得

步驟3.與步驟2 相同,定義濾波器

其中,τi,m+1是正的設(shè)計參數(shù),由λi,m+1=zi,m+1?αi,m,可得則有

選取第n步的Barrier Lyapunov 函數(shù)為

則Vi,n的導數(shù)為

由引理5 可得

自適應(yīng)控制器設(shè)計為如下形式

事件觸發(fā)機制定義為如下形式

其中,ei(t)=wi(t)?ui(t)表示測量誤差,pi,n,ci,n,σi,n,?i,mi以及都是正的設(shè)計參數(shù),且mi <事件觸發(fā)時刻定義為tk,k ∈Z+.即當式(22)條件被觸發(fā)時,控制信號將更新為ui(tk+1),當t ∈[tk,tk+1)時,控制信號為wi(tk)保持不變.于是存在一個連續(xù)的時變常數(shù)?(t),滿足?(tk)=0,?(tk+1)=±1,|?(t)|≤1,?t ∈[tk,tk+1),使得wi(t)=ui(t)+?(t)mi.參考文獻[14]可得

由引理5 可得

由引理3 可得

其中,

定理1.在假設(shè)1 成立的條件下,考慮虛擬控制信號(8),(15),(19),自適應(yīng)律(9),(16),(20)及事件觸發(fā)自適應(yīng)控制器(18),(21),(22),能夠保證式(1)所描述的多智能體系統(tǒng)滿足以下條件:1)系統(tǒng)中所有的信號都是半全局一致最終有界的;2)跟蹤誤差收斂于原點的有界鄰域內(nèi)且滿足指定性能.此外,事件觸發(fā)的時間間隔{tk+1?tk}存在一個下界t?,t?>0.即該事件觸發(fā)自適應(yīng)控制器不會發(fā)生奇諾現(xiàn)象.

證明.Lyapunov 函數(shù)定義為

由式(27)可得其導數(shù)為

則式(28)可以寫為

則所有的信號都是半全局一致最終有界的,由式(29),得基于引理4,可得

由式(30)可知,通過選擇合適的設(shè)計參數(shù)可以使跟蹤誤差收斂于以原點為中心的有界鄰域內(nèi).

由ei(t)=wi(t)?ui(t),?t ∈[tk,tk+1),可得

3 仿真實例

考慮有向拓撲圖下由4 個跟隨者和1 個虛擬領(lǐng)導者組成的多智能體系統(tǒng),如圖1 所示.其中第i個子系統(tǒng)的動態(tài)模型為

圖1 通信拓撲圖Fig.1 Communication topology

作為虛擬領(lǐng)導者的期望軌跡為yd=0.5 sint.設(shè)計的性能函數(shù)為μ(t)=0.97e?0.3t+0.03.數(shù)值仿真程序中設(shè)計參數(shù)的值分別設(shè)置為ci,1=ci,2=80,σi,1=σi,2=0.001,pi,1=pi,2=10,τi,2=0.02,δmin=0.999,δmax=1,kb1=kb2=2,=8,mi=0.6,?i=1.5.初始值設(shè)置為:xi,1(0)=[0.2,0.3,0.3,0.4],xi,2(0)=[1.0,?1.5,1.2,?0.6],=0,zi,2(0)=0.1.

圖2 參考信號yd 和輸出信號yiFig.2 Reference signal yd and output yi

圖3 具有指定性能的跟蹤誤差Fig.3 Tracking errors with prescribed performance

圖4 不具有指定性能的跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors without prescribed performance

圖5 控制信號uiFig.5 Control signal ui

圖6 u1, u2的事件觸發(fā)時間間隔Fig.6 Time interval of event-triggered for u1, u2

圖7 u3, u4的事件觸發(fā)時間間隔Fig.7 Time interval of event-triggered for u3, u4

圖2～7 為仿真結(jié)果,圖2 表示虛擬領(lǐng)導者的期望軌跡yd和每個跟隨者的輸出信號yi的響應(yīng)曲線,由圖可以看出各跟隨者在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)了對期望軌跡的跟蹤,表明本文提出的控制算法快速實現(xiàn)了多智能體的一致性跟蹤.圖3 和圖4 分別表示具有指定性能的跟蹤誤差和不具有指定性能的跟蹤誤差,雖然跟蹤誤差均能快速收斂于以原點為中心的有界鄰域內(nèi),但通過對比可得,在不具有指定性能的條件下,穩(wěn)態(tài)誤差接近0.03,而具有指定性能時穩(wěn)態(tài)誤差小于0.003,因此通過指定性能變換可以顯著減小多智能體一致性跟蹤控制的穩(wěn)態(tài)誤差.控制器輸入ui由圖5 表示,控制器輸入的數(shù)值除了在起始階段的瞬間有較大的波動,在其余時間均小于7,表明該控制器性能良好,能耗較低.圖6 和圖7 是ui的事件觸發(fā)時間間隔和事件觸發(fā)次數(shù),橫坐標為事件觸發(fā)時間,縱坐標為事件觸發(fā)的時間間隔.控制器u1,u2,u3,u4在40 s 內(nèi)的事件觸發(fā)次數(shù)分別為1 400,399,1 055,386,表明事件觸發(fā)控制器具有減少控制信號更新次數(shù)和降低控制成本的優(yōu)點,且沒有發(fā)生奇諾現(xiàn)象.

4 結(jié)論

本文研究了一類具有全狀態(tài)約束的非嚴格反饋多智能體一致性跟蹤問題.在控制算法設(shè)計過程中考慮了指定性能,獲得了期望的穩(wěn)態(tài)誤差.此外,還設(shè)計了一個固定閾值的事件觸發(fā)機制,降低了智能體之間的通訊成本和計算壓力.本文給出了控制算法的詳細推導過程和穩(wěn)定性證明過程.最后通過仿真結(jié)果驗證了本文所設(shè)計的控制算法的有效性.在未來的研究中,我們將考慮更為復雜的應(yīng)用環(huán)境,提高多智能體系統(tǒng)的抗干擾能力.