蔣留兵， 榮書偉， 車 俐

(1.桂林電子科技大學(xué) 計算機與信息安全學(xué)院,廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 信息與通信學(xué)院,廣西 桂林 541004)

波達方向(direction of arrival，簡稱DOA)估計是陣列信號處理中一個非常重要的研究方向，廣泛應(yīng)用于天線、雷達、通信等領(lǐng)域[1]。以MUSIC[2]和ESPRIT[3]為代表的超分辨DOA估計算法實現(xiàn)簡單，分辨率高，但要求多快拍數(shù)和高信噪比。近年來，壓縮感知信號重建理論的提出促進了DOA估計的發(fā)展[4]。信號重建算法主要包括貪婪追蹤類、凸松弛類[5]和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)類[6]三大類。貪婪追蹤類最經(jīng)典的是匹配追蹤算法[7]，該算法通過不斷完善冗余字典對信號進行稀疏重構(gòu)；文獻[8]提出的L1-SVD算法是最經(jīng)典的凸松弛類算法；信號重建算法中最受歡迎的是稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法，該方法從貝葉斯的觀點出發(fā)，利用信號的稀疏先驗信息對信號進行稀疏重構(gòu)。

以上壓縮感知算法應(yīng)用于處理DOA估計問題，均假定波達方向恰好位于固定的采樣網(wǎng)格點上。為了解決離格DOA估計問題，文獻[9]提出了一種基于離格模型的DOA估計算法，但所要估計的部分波達方向偏離固定的網(wǎng)格；文獻[10]利用線性逼近真實的DOA，并提出一種離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(off-grid direction of arrival estimation using sparse Bayesian inference，簡稱OGSBI)算法，但該算法在估計精度和計算復(fù)雜度方面存在著矛盾；在OGSBI基礎(chǔ)上，文獻[11]提出了一種求根稀疏貝葉斯(root sparse Bayesian learning for off-grid DOA estimation，簡稱OGRSBL)算法，將網(wǎng)格點作為自適應(yīng)參數(shù)，減少了計算量的同時，也保證了估計精度。但這些算法在信噪比較低的情況下估計精度不高，甚至產(chǎn)生錯誤的DOA估計值。

鑒于此，提出了一種基于偽噪聲重采樣技術(shù)[12-13]和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(pseudo-noise resampling OGRSBL，簡稱PR-OGRSBL)算法。在OGRSBL算法的基礎(chǔ)上，引入了偽噪聲重采樣技術(shù)，通過將這兩者相結(jié)合來消除DOA估計產(chǎn)生的異常值。對OGRSBL算法產(chǎn)生的DOA估計值進行局部性能測試，若不能通過測試，則采用偽噪聲重采樣技術(shù)來減小原始噪聲的影響，再次進行局部性能測試，直到所有DOA估計值都通過局部性能測試，得到最終的估計結(jié)果。

1 離格DOA估計模型

假設(shè)有K個窄帶遠場信號源入射到均勻天線陣列上，均勻天線陣列由M個陣元組成，相鄰陣元之間的距離為d，K個信源sk(t),k=1,2,…,K的入射方向為θk,則產(chǎn)生的信號模型[1]

x(t)=As(t)+n(t)，t=1,2,…,T。

(1)

s(2),…,s(T)]，則有

X=AS+N。

(2)

(3)

X=Φ(β)S+N。

(4)

圖1 信號分析示意圖

2 PR-OGRSBL算法

2.1 求根稀疏貝葉斯模型

2.1.1 稀疏貝葉斯公式

(5)

(6)

(7)

(8)

其中ρ>0，通常是很小的正數(shù)。

對于βn，由于在離格模型下網(wǎng)格點間隔r不再是一個常數(shù)，假定βn滿足如下分布：

(9)

2.1.2 貝葉斯推理

后驗分布p(S,δ,α0,β|X)不能精確求解[14]。文獻[15]提出的標(biāo)準(zhǔn)貝葉斯壓縮感知方法可以解決這一問題。S的后驗概率分布為

(10)

其中：

μ(t)=α0ΣΦHx(t)，t=1，2，…，T；

(11)

Σ=(α0ΦHΦ+Λ-1)-1。

(12)

若要計算μ(t)、Σ，需要知道α0、δ和β，計算過程類似于文獻[11]中的方法，此處不再贅述。α0、δ的更新公式為

(13)

(14)

其中，Ξt?μ(t)(μ(t))H。

(15)

其中zi為多項式求解最接近單位圓的根值。

由以上分析可知，μ(t)、Σ與α0、δ互為函數(shù)，需要不斷進行迭代，直到達到收斂條件算法停止。采用文獻[10]提出的收斂條件，即當(dāng)(δi+1-δi)/δi<τ或者達到最大迭代次數(shù)時終止算法。其中：τ為用戶自定義參數(shù)；i為迭代次數(shù)。

OGRSBL算法步驟：

1)對信號超參數(shù)δ和噪聲超參數(shù)α0進行初始化，將均值μ(t)和方差Σ均初始化為0；

2)利用式(11)、(12)求解均值μ(t)和方差Σ；

3)利用式(13)、(14)更新超參數(shù)δ和噪聲參數(shù)α0；

4)判斷是否達到收斂條件((δi+1-δi)/δi<τ或達到最大迭代次數(shù))，若收斂，則終止算法，不收斂，則繼續(xù)步驟5)；

5)根據(jù)式(15)更新Φ(β)，轉(zhuǎn)到步驟2)，更新均值μ(t)和方差Σ。

2.2 基于偽噪聲和求根稀疏貝葉斯模型

在信噪比較低的情況下，通過上述求根稀疏貝葉斯模型對信號的來波方向估計會產(chǎn)生異常值，因此采用偽隨機噪聲重采樣技術(shù)來消除異常值的影響。重采樣方案就是將偽隨機噪聲產(chǎn)生器生成的偽隨機噪聲加入測量數(shù)據(jù)矩陣(4)，即

Y=X+Z。

(16)

其中：Y=[y(1),y(2),…,y(N)]；Z為由高斯隨機發(fā)生器獲得的零均值偽噪聲矩陣，滿足[12]

(17)

局部性能測試條件Η[13]：由DOA估計器產(chǎn)生的空間譜函數(shù)，存在K個譜峰位置位于預(yù)估計扇形角度區(qū)域Θ中。

生成扇形角度區(qū)域Θ的一種方法是由常規(guī)波束形成器[16]生成：

Θ=[θ1L,θ1R]∪[θ2L,θ2R]∪…∪[θKL,θKR]。

其中θkL，θkR，k=1，2，…，K分別是每個子區(qū)間的左右邊界，左右邊界分別是距離第k個峰值左右各下降3 dB對應(yīng)的點。

PR-OGRSBL算法步驟如下：

1)利用測量矩陣X和傳統(tǒng)的OGRSBL算法計算初步的DOA估計值。

2)將局部性能測試應(yīng)用到步驟1)中的DOA估計：

a)若信號的DOA估計值通過局部性能測試，則轉(zhuǎn)至步驟4)；

b)若不能通過局部性能測試，則隨機生成滿足式(17)的L組偽隨機噪聲，分別加入到原始測量矩陣X，進而得到L組新的DOA估計值。

3)對步驟2)產(chǎn)生的L組DOA估計值進行局部性能測試。

4)算法停止。

3 仿真分析

選擇DOA估計器組數(shù)L=40，信噪比SNR分別為-12、-10、-8、-6、-4、-2、0 dB，則不同信噪比下OGRSBL算法、PR Root-MUSIC算法和PR-OGRSBL算法DOA估計的均方根誤差隨信噪比的變化情況如圖2所示。從圖2可看出，由于將偽噪聲重采樣技術(shù)和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，所提算法與經(jīng)典離格模型下的OGRSBL算法、基于網(wǎng)格模型下經(jīng)典的PR Root-MUSIC算法相比，具有更低的均方根誤差，也即具有更高的估計精度。與OGRSBL算法相比，所提算法加入了偽噪聲重采樣技術(shù)，去除了DOA估計的異常值。

圖2 L=40時不同信噪比下算法的RMSE

圖3為信噪比SNR分別為-12、-11、-10、-9、-8 dB，在不同DOA估計器組的情況下，所提算法與PR Root-MUSIC算法均方根誤差的比較，估計器組數(shù)為L=10和L=30時，所提算法均比PR Root-MUSIC算法均方根誤差低，表明采用離格模型下的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法具有更高的估計精度。

圖3 不同估計器組數(shù)下算法的RMSE

圖4為不同信噪比、不同DOA估計器組數(shù)情況下，所提算法DOA估計的均方根誤差RMSE與OGRSBL算法的對比。從圖4可看出，DOA估計器組數(shù)k無論是大還是小，本算法均比OGRSBL算法的性能要好，且隨著DOA估計器組數(shù)的增加，算法的DOA估計性能越高。當(dāng)信噪比大于-2 dB時，所提算法與OGRSBL算法仿真圖像重合，這是因為，在較高信噪比時，所有的DOA估計值均可通過局部性能測試，此時所提算法就簡化為OGRSBL算法。

圖4 不同估計器組數(shù)下算法隨SNR變化的RMSE

4 結(jié)束語

提出了一種基于偽噪聲重采樣和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計算法。通過偽噪聲重采樣技術(shù)構(gòu)造新的數(shù)據(jù)模型，利用求根稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)求解出DOA估計值，采用局部性能測試方法去除異常值，篩選出合適的DOA值。與現(xiàn)有離格模型下的DOA估計算法[10-11,17]不同，該算法在求根稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法的基礎(chǔ)上采用偽噪聲重采樣技術(shù)，降低了原始信號中噪聲的影響，在低信噪比下仍有較高的DOA估計精度。仿真結(jié)果表明，PR-OGRSBL算法要優(yōu)于傳統(tǒng)離格的OGRSBL算法和基于網(wǎng)格的PR Root-MUSIC算法，在低信噪比下具有更高的DOA估計精度。