武錫銅, 周 烽, 王 永

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230026)

0 引 言

大型望遠(yuǎn)鏡光路系統(tǒng)通常包括主鏡、次鏡，為了保證良好的成像質(zhì)量，需要主鏡與次鏡的反射面焦點(diǎn)重合，光軸重合。然而由于重力、振動(dòng)等原因，主鏡和次鏡之間的位姿往往會(huì)發(fā)生改變，從而導(dǎo)致望遠(yuǎn)鏡成像質(zhì)量受到影響，因此需要對(duì)主次鏡之間的位姿進(jìn)行精確的調(diào)整和校正。由于主鏡的尺寸、質(zhì)量遠(yuǎn)大于次鏡，若對(duì)主鏡進(jìn)行調(diào)整，其功耗較大，實(shí)際工程中往往采用次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)來(lái)調(diào)整主次鏡之間的相對(duì)位姿[1]。

而Stewart平臺(tái)因其高精度、高剛度的優(yōu)點(diǎn)，在大型望遠(yuǎn)鏡中作為次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)被廣泛使用[2]。本文所研究的Stewart平臺(tái)控制系統(tǒng)，作為次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)，控制任務(wù)為控制動(dòng)平臺(tái)從當(dāng)前位姿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位姿點(diǎn)，要求運(yùn)動(dòng)過程平穩(wěn)且不超過工作空間，并且能夠快速無(wú)差的穩(wěn)定到目標(biāo)位姿。

1 Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及其反解

1.1 Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文Stewart平臺(tái)為6—UCU構(gòu)型，由上平臺(tái)、下平臺(tái)及6條支腿構(gòu)成，其中上平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)，下平臺(tái)為靜平臺(tái)。上下平臺(tái)與6條支腿之間通過虎克鉸相連，支腿運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)可簡(jiǎn)化為移動(dòng)—轉(zhuǎn)動(dòng)副，通過控制6條支腿的長(zhǎng)度變化，可控制上平臺(tái)的3個(gè)方向的平移和3個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)。

平臺(tái)簡(jiǎn)化模型和坐標(biāo)系如圖1(a)所示，動(dòng)坐標(biāo)系P-X'Y'Z'與靜坐標(biāo)系O-XYZ分別固定在上下平臺(tái)中，P和O點(diǎn)分別為上下平臺(tái)的中心點(diǎn)。Stewart平臺(tái)上下平臺(tái)的鉸鏈中心點(diǎn)分別記為A1A2A3A4A5A6和B1B2B3B4B5B6，外接圓半徑分別為r，R，分布角分別為θ，φ，其具體分布如圖1(b)所示。

圖1 Stewart平臺(tái)簡(jiǎn)化模型及鉸鏈中心分布

1.2 Stewart平臺(tái)位置反解

已知上平臺(tái)和下平臺(tái)之間的位姿關(guān)系，求解對(duì)應(yīng)的各支腿長(zhǎng)度，被稱為Stewart平臺(tái)的位置反解(此處位置的含義為廣義位置)。位置反解是對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)[3]。上平臺(tái)和下平臺(tái)之間的位姿關(guān)系描述可分為位置和姿態(tài)兩部分，記位姿向量u=[xyzαβγ]T，其中,[xyz]T為P點(diǎn)在靜坐標(biāo)系O-XYZ中位置向量，α,β,γ分別為ZYX歐拉角中繞Z軸、繞Y軸、繞X軸旋轉(zhuǎn)角。記Ai(i=1,2,…,6)在動(dòng)坐標(biāo)系P-X'Y'Z'中的位置向量為OAi，Bi(i=1,2,…,6)在靜坐標(biāo)系O-XYZ中的位置向量為OBi，則各支腿長(zhǎng)度為

Li=‖li‖2=‖R·PAi+P-OBi‖2,i=1,2,…,6

(1)

式中R為旋轉(zhuǎn)角分別為α,β,γ時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣。

2 工作空間軌跡規(guī)劃

由于并聯(lián)平臺(tái)特殊的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈構(gòu)型，其工作空間有限[4]，若讓各支腿直接運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算出的目標(biāo)位置處，在運(yùn)動(dòng)的過程中動(dòng)平臺(tái)可能會(huì)超出工作空間,因而必須對(duì)并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行軌跡規(guī)劃?？紤]動(dòng)平臺(tái)從位姿點(diǎn)u1到位姿點(diǎn)u2的軌跡規(guī)劃，由于所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)只需實(shí)現(xiàn)點(diǎn)位控制，對(duì)軌跡形狀不做要求，為求簡(jiǎn)便，取軌跡為6維空間內(nèi)的一條線段。同時(shí)為使運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)，使用梯形速度曲線對(duì)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行規(guī)劃。

按平臺(tái)能否加速到最大速度分為兩種情況，如圖2所示。

1)能夠加速到最大速度時(shí)，速度和加速度曲線如圖2(a)所示，0～t1段為加速段，以amax做均加速運(yùn)動(dòng)；t1～t2段為勻速段，以vmax做勻速運(yùn)動(dòng)；t2～t3段為減速段，以-amax做勻減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)α(t)可計(jì)算為

(2)

2)不能加速到最大速度時(shí)，速度和加速度曲線如圖2(b)所示，0-t4段為加速段，以amax做均加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)α(t)可計(jì)算為

(3)

圖2 兩種情況下速度和加速度曲線

3 關(guān)節(jié)空間建模與辨識(shí)

在對(duì)實(shí)際系統(tǒng)缺乏了解時(shí)，直接進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)往往存在風(fēng)險(xiǎn)和不便。因此，在控制器設(shè)計(jì)之前，首先通過辨識(shí)的手段，得到關(guān)節(jié)空間的信息，即支腿的模型信息。關(guān)節(jié)空間的控制任務(wù)為控制支腿跟蹤由工作空間規(guī)劃軌跡反解得到的位置曲線，由于支腿位置可看作是運(yùn)動(dòng)速度的積分，本節(jié)將對(duì)支腿的速度—電壓關(guān)系進(jìn)行建模和辨識(shí)。

關(guān)節(jié)空間中，由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲桿帶動(dòng)支腿上部運(yùn)動(dòng)，使支腿長(zhǎng)度發(fā)生改變。不考慮負(fù)載力的影響，可將支腿的速度—電壓開環(huán)傳遞函數(shù)近似為[5]

(4)

式中U(s)為輸入電壓，Y(s)為輸出速度，Te為電磁時(shí)間常數(shù)，Tm為機(jī)械時(shí)間常數(shù)，K為等效放大系數(shù)。

為得到式(4)中參數(shù)的具體數(shù)值，使用頻率響應(yīng)法對(duì)支腿進(jìn)行辨識(shí)，其思想為測(cè)量系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)輸入的輸出響應(yīng)，以求得系統(tǒng)模型的待定參數(shù)[5]。

對(duì)關(guān)節(jié)空間進(jìn)行辨識(shí)實(shí)驗(yàn)，以不同頻率的幅值A(chǔ)為6 V的正弦信號(hào)作為系統(tǒng)輸入

u(t)=Asin(ωit)

(5)

式中ωi=2iπ,i=1,2,…,10。設(shè)置采樣周期為1 ms，則h=0.001 s，對(duì)每個(gè)測(cè)試頻率，運(yùn)行6 s，并記錄其中2～4 s的速度值，進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，將相同時(shí)間點(diǎn)處的速度值取平均值，求得各頻率點(diǎn)幅值放大倍數(shù)和相移角度如表1所示。

表1 各頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅值放大倍數(shù)和相移角度

各個(gè)頻率點(diǎn)的Me，φe分別得到對(duì)應(yīng)的z為

z=Me[cos(φe)+jsin(φe)]

(6)

將頻率特性向量z=[z1z2…z10]T，角頻率向量ω=[ω1ω2…ω10]T，開環(huán)傳遞函數(shù)分子階數(shù)nb=0,分母階數(shù)na=2，代入invfreqs(z,ω,nb,na)中，得到關(guān)節(jié)空間開環(huán)傳遞函數(shù)的估計(jì)為

(7)

繪制出實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)與辨識(shí)得到傳遞函數(shù)的頻率特性曲線，如圖3所示。

圖3 實(shí)際系統(tǒng)和辨識(shí)得到傳遞函數(shù)的頻率特性曲線

由圖3可以看出，使用頻率響應(yīng)法能夠較好地辨識(shí)出關(guān)節(jié)空間的支腿速度—電壓開環(huán)傳遞函數(shù)，這一模型信息將會(huì)被用于關(guān)節(jié)空間的控制器設(shè)計(jì)中。

4 關(guān)節(jié)空間控制器設(shè)計(jì)

在高精度位置控制器設(shè)計(jì)中，往往采用位置—速度雙環(huán)控制方案。其中，速度內(nèi)環(huán)控制的主要目的是抑制外部擾動(dòng)，增強(qiáng)魯棒性。通常希望通過內(nèi)環(huán)控制器的校正作用，使得校正后的內(nèi)環(huán)特性盡可能的接近名義模型，這樣在外環(huán)控制器設(shè)計(jì)時(shí)，即可將名義模型視為實(shí)際的控制對(duì)象[6]。

已通過辨識(shí)實(shí)驗(yàn)得到關(guān)節(jié)空間的速度—電壓模型，但由于未建模部分和外部擾動(dòng)的影響，其和真實(shí)系統(tǒng)之間必然存在差距?？紤]所建立模型和實(shí)際對(duì)象的差別，將關(guān)節(jié)空間的速度—電壓關(guān)系用微分方程表示

(8)

式中f'為實(shí)際系統(tǒng)未建模部分和外界擾動(dòng)的總體作用，視為總擾動(dòng)，由式(7)可知a0=9 232，a1=169.25，b=10760。

x=Ax+Bu+E',y=Cx

(9)

構(gòu)造模型輔助的擴(kuò)張線性狀態(tài)觀測(cè)器

z=(A-LC)z+[BL]uc,yc=z

(10)

式中uc=[uy]T為組合輸入，yc=[z1z2z3]T為組合輸出，z1為對(duì)x1的估計(jì)，z2為對(duì)x2的估計(jì)，z3為對(duì)f'的估計(jì)，L=[l1l2l3]T為參數(shù)需要設(shè)計(jì)的觀測(cè)器增益矩陣。

為使z→x，觀測(cè)器特征方程的根應(yīng)均具有負(fù)實(shí)部，為求簡(jiǎn)便，將其均配置在-ω0處，即

λ(s)=|sI-(A-LC)|=(s+ω0)3

(11)

則有

(12)

則模型輔助的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

(13)

選取合適的觀測(cè)器帶寬ω0，即可保證z→x，從而得到系統(tǒng)各狀態(tài)和總擾動(dòng)的估計(jì)。取式(14)中控制律

u=kp(r-z1)-kdz2-(z3-a1z2-a0z1)

(14)

又有z→x，則閉環(huán)系統(tǒng)為

(15)

則輸出y和輸入?yún)⒖夹盘?hào)r之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(16)

對(duì)位置外環(huán)設(shè)計(jì)比例—積分控制器，控制律為

(17)

式中err為位置環(huán)參考信號(hào)r'與當(dāng)前位置y'之差，errI為位置誤差的積分。為加快鎮(zhèn)定速度，在最后穩(wěn)定階段引入積分重置策略，即當(dāng)檢測(cè)到當(dāng)前位置超過目標(biāo)位置時(shí)，直接將errI重置為0，從而減小支腿運(yùn)動(dòng)超調(diào)的距離。

5 實(shí)際控制系統(tǒng)與實(shí)驗(yàn)

Stewart平臺(tái)控制系統(tǒng)的總體框架如圖4所示。

圖4 高精度Stewart平臺(tái)控制系統(tǒng)總體框架

實(shí)際控制系統(tǒng)由上位機(jī)、下位機(jī)、Stewart平臺(tái)組成。采用FPGA+DSP異構(gòu)方案，F(xiàn)PGA和DSP通過外部存儲(chǔ)器接口通信，實(shí)現(xiàn)傳感器信息(增量式編碼器、限位開關(guān))的讀取和控制信號(hào)(PWM信號(hào))的產(chǎn)生[8，9]。接口板實(shí)現(xiàn)差分轉(zhuǎn)單端、電平變換、光耦隔離等功能。驅(qū)動(dòng)板由6對(duì)PWM信號(hào)控制，驅(qū)動(dòng)平臺(tái)按照給定軌跡運(yùn)動(dòng)。

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)性能，進(jìn)行Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)。平臺(tái)具體尺寸為r=90 mm，R=148 mm，θ=110.078 6°，φ=15.7965°。控制周期為1 ms，限制平臺(tái)位姿的位置分量的最大速度和最大加速度幅值為1 mm/s和1 mm/s2，姿態(tài)分量的最大速度和最大加速度幅值為1°/s和1°/s2。

控制Stewart平臺(tái)從中位點(diǎn)[0 0 244.827 3 0 0 0]T運(yùn)動(dòng)到[4 -1 247.827 3 3 -1 -1]T處，記錄0～20 s各時(shí)刻的支腿長(zhǎng)度，并利用高斯—牛頓法求得對(duì)應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)位姿，繪制出位姿變化曲線如圖5所示。

圖5 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)位姿變化曲線

從圖5中可以看出，動(dòng)平臺(tái)按照所規(guī)劃的軌跡運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行平穩(wěn)，且在開始運(yùn)動(dòng)和停止運(yùn)動(dòng)時(shí)均有妥善的過渡過程。其在0～5 s的軌跡跟蹤階段，平臺(tái)位置跟蹤誤差在0.01 mm以下，姿態(tài)角跟蹤誤差在0.005°以下，并且在5.8 s左右，動(dòng)平臺(tái)位姿鎮(zhèn)定。最終平臺(tái)穩(wěn)定在[3.999 89 -0.999 90 247.827 17 2.999 92 -1.000 01 -1.000 02]T，偏差與位置傳感器量化誤差在一量級(jí)，因而可以將其忽略，認(rèn)為平臺(tái)已經(jīng)穩(wěn)定在給定位姿上。

6 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在本文所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)控制下，高精度Stewart平臺(tái)運(yùn)行平穩(wěn)，具有良好的跟蹤精度，并且最終能夠較快的穩(wěn)定到目標(biāo)位姿，取得了理想的控制效果。