鄭義富

【摘要】數(shù)學(xué)是一門需要敏銳感覺的學(xué)科。數(shù)學(xué)理解要憑借數(shù)感，要從感覺上把握數(shù)學(xué)現(xiàn)象。培養(yǎng)學(xué)生形成“數(shù)感”應(yīng)作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)主要目標(biāo)。教者對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識視閾，決定學(xué)生可能理解的程度以及數(shù)感發(fā)展的深度、廣度及敏銳性。在“乘法的初步認(rèn)識”教學(xué)中應(yīng)“注重縱橫關(guān)聯(lián)，發(fā)展數(shù)感的廣度；夯實(shí)思維基礎(chǔ)，發(fā)展數(shù)感的深度；順應(yīng)認(rèn)知心理，發(fā)展數(shù)感的悅納度。”

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；乘法教學(xué)；數(shù)感

我們通常認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門講求邏輯嚴(yán)密的學(xué)科。但是小平邦彥，這位菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)、日本文化勛章得主的當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家，認(rèn)為“雖然數(shù)學(xué)要遵循邏輯，但數(shù)學(xué)在本質(zhì)上與邏輯不同”。他篤定，數(shù)學(xué)是一門需要敏銳感覺的學(xué)問。數(shù)學(xué)理解要憑借數(shù)感，要從感覺上把握數(shù)學(xué)現(xiàn)象?！罢鐦犯胁缓玫娜藷o法理解音樂，數(shù)感不好的人同樣無法理解數(shù)學(xué)?！边@和我們一直以來對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本認(rèn)識不同。

以往，我們傾向于“只要通過努力教學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯，再通過反復(fù)地練習(xí)，學(xué)生就會(huì)掌握數(shù)學(xué)?！比绻麑W(xué)生學(xué)習(xí)成績不理想，我們就會(huì)懷疑自己的教學(xué)方式方法是否有效，并企望通過改進(jìn)教學(xué)以及加大練習(xí)強(qiáng)度來促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提升。但是，如果數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更依靠“數(shù)感”而不是學(xué)科知識體系內(nèi)在的邏輯，那么，我們的教學(xué)重心就要調(diào)整了。相信贊同小平邦彥的數(shù)學(xué)老師應(yīng)該不少。我們在教學(xué)中也的的確確有過這樣的“閃念”，只不過礙于可能會(huì)給學(xué)生“貼標(biāo)簽”，所以不愿“直視”問題。小平邦彥甚至深信那些在數(shù)學(xué)上有所成就的人都是因?yàn)椤皵?shù)感”得到了良好的發(fā)展。他認(rèn)為“數(shù)學(xué)家對于數(shù)感并不自知，數(shù)感應(yīng)該是人類進(jìn)化過程尚未被開發(fā)的感覺?！睆倪@一點(diǎn)來講，數(shù)感的重要性就不僅僅是學(xué)好數(shù)學(xué)了，而是關(guān)系到人類自身的進(jìn)步，關(guān)乎人腦的開發(fā)與進(jìn)化。在小學(xué)階段，教師建立起對數(shù)感的正確認(rèn)識必然有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，繼而培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中該如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)感？本文試圖以“乘法的初步認(rèn)識”為例，闡述筆者對于數(shù)感發(fā)展的認(rèn)識，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、發(fā)展數(shù)感是計(jì)算教學(xué)的主要目標(biāo)

“數(shù)感”一詞在“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中被解讀為“關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟”英國教育家茱莉亞·安吉來瑞指出，“數(shù)感指的是一個(gè)人對數(shù)字和運(yùn)算的一般理解力，以及靈活應(yīng)用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數(shù)學(xué)判斷，并開發(fā)出應(yīng)用數(shù)字和運(yùn)算法則的有效策略。”由此可見，相對于其他知識板塊，與數(shù)感關(guān)聯(lián)最為緊密的應(yīng)是計(jì)算教學(xué)部分。數(shù)感的發(fā)展與運(yùn)算能力的提升是相互促進(jìn)的：一方面，運(yùn)算能力的發(fā)展標(biāo)志著數(shù)感的增強(qiáng)；另一方面，數(shù)感的形成是計(jì)算教學(xué)的基礎(chǔ)，發(fā)展數(shù)感必然會(huì)促進(jìn)運(yùn)算能力的提升。數(shù)感的培養(yǎng)與發(fā)展毫無疑問是計(jì)算教學(xué)的主要目標(biāo)。有學(xué)者甚至認(rèn)為，包括小學(xué)階段在內(nèi)的初等教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)都不是為了片面地講授數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識，而是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)思考能力和數(shù)感。21世紀(jì)的生活所必須的技能和理解力之一就是對數(shù)字模式和數(shù)字關(guān)系的辨認(rèn)，這些模式和關(guān)系是數(shù)字運(yùn)算的重點(diǎn)。目前，已有多個(gè)國家基于這一認(rèn)識開展數(shù)學(xué)課程改革。在全球課程改革中，美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評估標(biāo)準(zhǔn)和全澳學(xué)校聲明最為典型，它們都是把培養(yǎng)學(xué)生形成“數(shù)感”作為學(xué)校課程教學(xué)主要目標(biāo)。認(rèn)為“數(shù)感”意味著計(jì)算策略中的“靈活性”和“創(chuàng)造性”。

二、“乘法的認(rèn)識”教學(xué)中發(fā)展數(shù)感的基本策略

1.延展“乘法”認(rèn)識視閾

教者對教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識視閾，決定學(xué)生可能理解的程度以及數(shù)感發(fā)展的深度、廣度及敏銳性。過去我們經(jīng)常說“要想給學(xué)生一碗水，教師必須要有一桶水”。以單純的知識教學(xué)和能力發(fā)展的角度來看，這一描述并不為過。在“乘法的認(rèn)識”教學(xué)活動(dòng)開展前，教者有必要下下功夫，盡可能地延展自己對此內(nèi)容的認(rèn)識視閾。那么，打開視野之后再去審視“乘法”，可以看到哪些層面呢？

①“乘法”是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算”。這是我們最為基本的一個(gè)認(rèn)識。這一“說法”至少傳遞了幾個(gè)信息：一是，乘法實(shí)際上就是一種特殊的加法；二是，乘法是一種簡便運(yùn)算的形式；三是，多個(gè)相同加數(shù)求和就可以用乘法計(jì)算。在這種對乘法的“感知”中，乘法可以理解為加法計(jì)算的一種特定模型，或者說是加法的一種快捷計(jì)算方式?？梢宰鳛榉磸?fù)做加法的一個(gè)簡短的縮寫形式。也可以理解為一種自動(dòng)化的計(jì)算程序，其“效率”就如使用算盤等計(jì)算工具一樣。由此拓展開來，乘法在自然數(shù)域、整數(shù)域、有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域乃至虛數(shù)域都被賦予了不同的運(yùn)算意義。

②“乘法”用來表示一個(gè)數(shù)量多次“復(fù)制”的結(jié)果。這一理解已經(jīng)突破了“加結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識，將有助于學(xué)生理解“倍”的概念。

③“乘法”是矩形面積的求積方式。這種理解可以幫助學(xué)生建立乘法結(jié)構(gòu)的直觀表象。有研究表明，乘法就是為了矩形面積求積而“誕生”，并非是“加法”直接“升華”。

④“乘法”就是因變量與幾個(gè)自變量的正比關(guān)系。這是代數(shù)思維的認(rèn)識，對中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)有一定幫助。

⑤“乘法”是一種概率問題的解答模式。如“乘法原理”類問題、“搭配”問題、“排列組合”問題等。

⑥從哲學(xué)角度解析，“乘法”是加法的量變導(dǎo)致的質(zhì)變結(jié)果。

2.注重縱橫關(guān)聯(lián)，發(fā)展數(shù)感的廣度

《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程》一書中轉(zhuǎn)述了格里爾等學(xué)者的教學(xué)主張。認(rèn)為“算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到不同情境。教師應(yīng)該聚集在如何有組織地布置不同類型的文字題，兒童經(jīng)過真正的解題，建構(gòu)與發(fā)展有意義的運(yùn)算與解題策略，逐步建構(gòu)運(yùn)算意義。筆者認(rèn)為，“關(guān)聯(lián)”可能是數(shù)感強(qiáng)弱最為關(guān)鍵的體現(xiàn)了?！瓣P(guān)聯(lián)”既包括橫向的，即多種應(yīng)用情境的互相關(guān)聯(lián)。也包括縱向的，即新舊知識的關(guān)聯(lián)。關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)、角度越開放，說明發(fā)散思維能力就越強(qiáng)。

①建立新舊知識的關(guān)聯(lián)。茱莉亞.安吉來瑞試圖辨別出數(shù)感的典型特征，她強(qiáng)調(diào)“學(xué)生具有數(shù)感的典型特征是他們能對所遇到的數(shù)字模式和計(jì)算過程做出歸納，并能把新知識和已有知識相聯(lián)系。”在“乘法的初步認(rèn)識”教學(xué)中，很多老師會(huì)不自覺地忽視了加法的計(jì)算過程，認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)不需要具體的“計(jì)算”了。如“5+5+5”，加法的計(jì)算過程一般為：先算前兩個(gè)“5”相加得到“10”，再和第三個(gè)“5”相加得到15。切莫因?yàn)椤岸鄶?shù)”學(xué)生能夠“脫口而出”就忽略了這一“連續(xù)加”的思考過程。在認(rèn)識“乘法”的初始階段，非常有必要讓學(xué)生思考并且要準(zhǔn)確表達(dá)這一過程，以期后續(xù)對乘法進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”，并形成新概念的“凝聚”。鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》一書中這樣闡釋：所謂“凝聚”，籠統(tǒng)地說，就是由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化。就心理表征而言，是由一個(gè)包含多個(gè)運(yùn)作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對象。

②建立多樣化的現(xiàn)實(shí)情境關(guān)聯(lián)。教學(xué)中還要設(shè)置多樣化情境，以期建立多種情境之間的關(guān)聯(lián)，豐富學(xué)生的乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)。那么，乘法有哪些現(xiàn)實(shí)的情境模型呢？

格里爾區(qū)分了應(yīng)用整數(shù)乘法的四種主要情境：等組；倍數(shù)比較（比率系數(shù)）；矩形隊(duì)列；笛卡爾積。上述每種情境都可以用特定的方式對學(xué)生進(jìn)行提問，在某種程度上，它們分別指向重復(fù)集合、多一對應(yīng)、多行多列以及交叉對應(yīng)。與此類似，劉加霞在《作為模型的乘法——對數(shù)學(xué)概念多元表征的思考》一文中，借鑒福賴登塔爾、格里爾等人的研究，也概括了乘法的幾種現(xiàn)實(shí)情境模型，包括：等量組聚集、矩形模型、映射模型、配對模型、倍數(shù)模型以及其他幾種現(xiàn)實(shí)模型。以下為筆者根據(jù)該文進(jìn)行的分類并舉例。

A.等量組聚集。即我們通常所說的“相同數(shù)連續(xù)加”或“求幾個(gè)幾的和”。這一類現(xiàn)實(shí)情境比比皆是。但在情境創(chuàng)設(shè)時(shí)要突出“聚集”，不能生硬地“求和”，盡可能避免無具體情境的枯燥的算式，如“3+3+3+3+3”，這不會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生任何有益的思考，即使能熟練計(jì)算也意義不大。但，下面這樣的例子就會(huì)促進(jìn)學(xué)動(dòng)腦筋去“構(gòu)造畫面”，也就是在頭腦里“演”一變。教師也可以借助“圖示”或課件演示。如“每個(gè)學(xué)習(xí)小組有5名小朋友，當(dāng)一組中的同學(xué)全部完成學(xué)習(xí)任務(wù)后會(huì)端正坐好?，F(xiàn)在有1組小朋友完成了任務(wù)，接著另1組完成任務(wù)，最后又兩組完成了，那么已經(jīng)完成任務(wù)的各個(gè)小組共有多少小朋友？

B.矩形模型。如“計(jì)算寬4厘米、長5厘米的長方形面積”。可以結(jié)合“格子圖”直觀演示。即4排小正方形，每排5個(gè)，每個(gè)1平方厘米。這個(gè)長方形面積就是5×4=20（平方厘米）。

C.映射模型。一般是“多一映射”。如，一只貓有4只爪子，5只貓有多少只爪子？列算式為5×4=20（只）。

D.配對模型。如“有4件上衣，5件褲子，能搭配多少套衣服？”5×4=20（套）。

F.倍數(shù)模型。如“小明今年5歲，哥哥的年齡是小明的4倍，哥哥今年幾歲？”5×4=20（歲）。

G.其他幾種現(xiàn)實(shí)模型。包括：速度——時(shí)間模型；單價(jià)——數(shù)量模型；工時(shí)——工效模型；密度——體積模型等。如“一本書5元，4本這樣的書共多少元？”列算式5×4=20（元）。這就是單價(jià)——數(shù)量模型。

上面的例子中，雖然計(jì)算形式相同，但其蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)意義大不相同。教學(xué)中，可以通過設(shè)置不同的現(xiàn)實(shí)情境，呈現(xiàn)“乘法”的多元化表征，促進(jìn)其對乘法意義的理解，發(fā)展數(shù)感的廣度。

③夯實(shí)思維基礎(chǔ)，發(fā)展數(shù)感的深度。乘法的表征是多元的，乘法的現(xiàn)實(shí)模型又是多樣的，那么教學(xué)中是否需要面面俱到平均發(fā)力呢？很顯然不可以。必須要緊緊圍繞基礎(chǔ)核心的思維模型，借助最為直觀的表征形式發(fā)展數(shù)感的深度，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解更加透徹更為深刻。在“乘法的認(rèn)識”教學(xué)過程中，要找準(zhǔn)切入點(diǎn)進(jìn)行深挖深耕，努力使學(xué)生建立起對乘法本質(zhì)的直接領(lǐng)悟和洞察能力。

④等量組聚集模型是乘法的基礎(chǔ)模型

乘法從本質(zhì)上講并不是特殊加法的簡化形式。從加法到乘法不僅僅是計(jì)算形式的變化，更重要的是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化。有研究者認(rèn)為，小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的高層次認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是最重要的結(jié)構(gòu)。對乘法的認(rèn)識顯然不能只停留在記住一個(gè)形式化的定義。

因此，我們就要在“定義化”的基礎(chǔ)上強(qiáng)化“思維路徑”。這一思維路徑應(yīng)該是那種簡單易懂且具有基礎(chǔ)性的。那么，哪一種思維模型才是乘法的基礎(chǔ)性模型呢？努涅斯和布萊恩特認(rèn)為，學(xué)生遇到的最簡單的乘法形式可能是這樣一種情況，即包含了兩個(gè)集合之間的多一對應(yīng)關(guān)系（如1輛車有4個(gè)輪子），這種對應(yīng)關(guān)系與比率或比率系數(shù)有關(guān)，這是乘法思維的基礎(chǔ)而不是加法思維基礎(chǔ)。與“重復(fù)加”進(jìn)行比較，這一思維更加復(fù)雜。閆云梅等學(xué)者在《小學(xué)階段乘法的不同現(xiàn)實(shí)模型分析與教學(xué)建議》一文中對人教版教材中乘法不同模型進(jìn)行了梳理，發(fā)現(xiàn)“一步乘法的現(xiàn)實(shí)情境問題共計(jì)307個(gè)，其中等量組聚集模型問題有148個(gè)，占總數(shù)的48.2%，印證了等量組的聚集模型是基礎(chǔ)的乘法模型，是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的第一個(gè)模型，也是學(xué)生接觸最多的模型?！惫P者進(jìn)一步提出建議，應(yīng)“突出等量組聚集模型在乘法概念建構(gòu)中的基礎(chǔ)作用”，并“通過多種表征方式相互轉(zhuǎn)換，如動(dòng)作表征、語言表征、圖形表征、符號表征等，實(shí)現(xiàn)對等量組聚集模型的一般化認(rèn)知，達(dá)到對乘法概念的初步理解。”再者，對等組的數(shù)字結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)化還有一個(gè)重要作用，就是促使學(xué)生試著選擇對什么“數(shù)字”進(jìn)行疊加。這有利于培養(yǎng)解決問題所必須的靈活性，并在后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)進(jìn)行與舊知之間主動(dòng)的“關(guān)聯(lián)”。比如，在學(xué)習(xí)乘法交換律時(shí)，這些等組的例子，或者多行多列的圖表，會(huì)讓學(xué)生們產(chǎn)生“會(huì)心的一笑”。

⑤強(qiáng)化“矩形面積”模型的直觀特性

費(fèi)斯賓等人的研究主張：“每一種算術(shù)基本運(yùn)算，一般都結(jié)合著一個(gè)隱藏的、潛意識的、原始的直觀模式，當(dāng)解一個(gè)含有兩項(xiàng)數(shù)值資料的應(yīng)用問題時(shí)，對運(yùn)算的選擇并非直接發(fā)生，而是通過一個(gè)中介模式（原始直觀模式）來發(fā)生，且這個(gè)模式會(huì)對選擇過程加以一些限制。

“多行多列”或“矩形面積”的模式應(yīng)該就是乘法的原始直觀模式。一般情況下，乘法的“幾何解釋”往往使得學(xué)生感覺到容易理解。但老師們可能存在一個(gè)誤區(qū)，“矩形面積計(jì)算”與“乘法的算術(shù)表達(dá)”在數(shù)學(xué)史上誰先誰后？事實(shí)上，“將兩個(gè)數(shù)的乘積解釋為一個(gè)矩形的面積具有悠久的歷史。直到笛卡爾時(shí)代，這都是理解數(shù)的乘法的唯一方式。只是在1600年左右，笛卡爾提出乘法也可以作為一個(gè)獨(dú)立于幾何的抽象概念，乘法才開始純粹地作為數(shù)與數(shù)之間的一個(gè)運(yùn)算被廣泛接受。矩形模型具有形象、直觀的特點(diǎn)，不但為學(xué)生理解等量組的聚集模型提供了直觀表象，而且還可以進(jìn)一步推廣用來理解分?jǐn)?shù)乘法的算理。在學(xué)生初步認(rèn)識乘法時(shí)，教師就可以通過圖形排列的方式的變化，為正式建立矩形模型奠定基礎(chǔ)。將乘法與矩形面積進(jìn)行關(guān)聯(lián)，對于發(fā)展學(xué)生數(shù)感意義深遠(yuǎn)。比如在后續(xù)接觸到乘法分配律時(shí)將會(huì)感受到先前的“滲透”之功用。

三、順應(yīng)認(rèn)知心理，發(fā)展數(shù)感的悅納度

1.關(guān)注數(shù)學(xué)文化的滲透，涵養(yǎng)學(xué)生文化底蘊(yùn)

每一處數(shù)學(xué)知識都不是冰冷生硬的，都會(huì)留有歷史的溫度?！俺朔ā边@部分內(nèi)容中的關(guān)鍵材料“九九乘法表”就承載著無數(shù)古代圣哲先賢的“智慧”。據(jù)史料，“九九歌”遠(yuǎn)在春秋戰(zhàn)國時(shí)期即被廣泛使用，最初的九九歌是從“九九八十一”開始到“二二得四”共36句。這是“小九九”，還有81句的“大九九”。一直到現(xiàn)在，人們在生活中也經(jīng)常會(huì)以“小九九”這個(gè)詞表示某人的“謀略”或“心機(jī)”，這就是一種文化的烙印。隨著學(xué)習(xí)的深入，教師還可以幫助學(xué)生進(jìn)一步涵養(yǎng)多元數(shù)學(xué)文化觀。例如，可以和學(xué)生一起了解“中國算盤中的乘法、埃及連續(xù)加倍運(yùn)算的乘法、俄羅斯古老的乘法算法、格子乘法、納皮爾乘法”等。

2.注重材料的趣味性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)思考，并非是絞盡腦汁的思考，而是憑借數(shù)感享受數(shù)學(xué)的樂趣（小平邦彥）。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一個(gè)間接但很普遍的原因就是學(xué)生沒有感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣。因此，教師必須要“絞盡腦汁”增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。但是，這里所強(qiáng)調(diào)的“趣味”不能簡單的等同于游戲活動(dòng)等“有形”的趣味化，相比之下，我們更要挖掘數(shù)學(xué)材料本身的“趣味”。比如，在認(rèn)識“×”號的時(shí)候，與其冗長地介紹乘號的來歷，講一些歷史故事等，不如賦予“乘號”以“新意”，并找到一定的關(guān)聯(lián)?；诖?，不妨把“×”看作“滾動(dòng)著的加號”。在教學(xué)素材的選擇上也是如此，近年來各種版本的教材都比較注重“趣味性”，如以“螞蟻?zhàn)霾佟睘閱栴}情境，借助直觀模型“點(diǎn)子圖”理解乘法算理，就比較直觀生動(dòng)、易于理解。

當(dāng)然，對于數(shù)感的培養(yǎng)除了要關(guān)注以上幾個(gè)特性，還應(yīng)注意發(fā)展數(shù)感的精細(xì)性，鼓勵(lì)學(xué)生源自直覺的表達(dá)，發(fā)展數(shù)感的敏銳性等等。只是在小學(xué)階段“乘法”教學(xué)活動(dòng)中要有一個(gè)輕重緩急的區(qū)分才好。

綜上，筆者舉隅“乘法”，梳理了對數(shù)感的認(rèn)識和理解，并對發(fā)展數(shù)感提出一些實(shí)操建議。雖然筆者極力呼吁中小學(xué)教師們要重視學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)，甚至認(rèn)為“數(shù)感”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之核心。然而，也多少有一些擔(dān)憂，就是我們往往會(huì)“矯枉過正”，重視了數(shù)感卻又忽視了邏輯！毫無疑問，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)感與邏輯一定要“并駕齊驅(qū)”。鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》一書中，已經(jīng)為我們指明了這一點(diǎn)。他說，我們的確應(yīng)該通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生數(shù)感。然而，作為問題的另一方面，我們應(yīng)該清楚地看到數(shù)感的局限性。這表明了數(shù)學(xué)思維的思辨性質(zhì)。應(yīng)該明確肯定的是，在數(shù)學(xué)直覺與邏輯思辨之間存在著相互促進(jìn)、相互依賴的辯證關(guān)系。這或許就像一枚硬幣的兩個(gè)面，抹平了任何一面，就不再是“幣”了。

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