程梓潔

【摘 要】極限是高等數(shù)學(xué)中一種基礎(chǔ)且比較重要的知識(shí)，本文主要針對(duì)高等數(shù)學(xué)中極限思想的研究。由于對(duì)極限思想概念難以把握和理解，特提出從了解內(nèi)涵，熟悉方法，掌握其描述三個(gè)層次來(lái)理解極限思想并解決有關(guān)高等數(shù)學(xué)中的極限思想問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】極限思想;辯證思維;高等數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）28-0010-02

1? ?引言

高等數(shù)學(xué)中的極限思想是一種基本概念，在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中占有極其重要的地位。極限思想為高等數(shù)學(xué)理論方面的學(xué)習(xí)和研究以及應(yīng)用實(shí)踐創(chuàng)造的拓寬作出了進(jìn)一步的深化，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的理論方面的掌握，便于學(xué)生解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。極限思想有著不同于初等數(shù)學(xué)中的知識(shí)特征，同時(shí)其也是對(duì)高等數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用方面研究的主要方法。在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有許多的重要概念都是通過(guò)極限思想定義而成的。從高等數(shù)學(xué)中連續(xù)的思想到導(dǎo)數(shù)的概念，從積分論中一元函數(shù)的積分到重積分以及曲面積分全部都是由極限思想定義而成的[1]。高等數(shù)學(xué)中的極限思想不僅是一個(gè)簡(jiǎn)單且易掌握的數(shù)學(xué)概念，它同時(shí)也是一種對(duì)客觀世界數(shù)量變化處理的新思維、新方法。

作為學(xué)生，在小學(xué)到初高中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容被稱為初等數(shù)學(xué)，又稱為常量數(shù)學(xué)。在初等數(shù)學(xué)時(shí)期，從公元前五世紀(jì)到公元十七世紀(jì)，延續(xù)了兩千多年，初等數(shù)學(xué)的結(jié)束是由于高等數(shù)學(xué)逐漸產(chǎn)生。在初高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生接觸的都是常量計(jì)算，所以學(xué)生容易產(chǎn)生一種定式思維，而高等數(shù)學(xué)則是以一種運(yùn)動(dòng)的、變化的思想來(lái)解決和處理問(wèn)題，極限思想就是處理這種問(wèn)題最為有效且便捷的方法。因此，高等數(shù)學(xué)中極限思想的掌握直接影響著數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)與發(fā)展。

2? ?正確了解無(wú)限的內(nèi)涵

極限思想是由于人類在社會(huì)實(shí)踐中大腦因思考活動(dòng)而抽象思維出的一種特殊的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代。如中國(guó)古代劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀的圖形研究基礎(chǔ)上的一種原始的“不斷靠近”的極限思想的應(yīng)用;古希臘人發(fā)現(xiàn)的窮竭法同樣也是蘊(yùn)含了這種極限思想[2]。變量與常量、無(wú)限與有限的思想就是極限思想所揭示的奧秘所在，并且借此證明了他們兩者的對(duì)立且統(tǒng)一的關(guān)系，這兩者是唯物辯證法中的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的精妙應(yīng)用。其中“無(wú)限”與“有限”的概念雖然其本質(zhì)是不同的，但是二者又有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，“無(wú)限”是大腦中抽象思維的概念，存在于大腦里?！坝邢蕖笔强陀^實(shí)際存在的千變?nèi)f化的事物的“量”的映射，符合客觀實(shí)際規(guī)律，“無(wú)限”屬于整體，按公理，整體大于局部思維[3]。

如在高等數(shù)學(xué)中數(shù)列的極限收斂定義：設(shè){Xn}為一個(gè)無(wú)窮實(shí)數(shù)數(shù)列的集合。如果存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意正數(shù)ε（不論其多么小），都N>0，使不等式|Xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{Xn}的極限，或稱數(shù)列{Xn}收斂于a。記作或。該定義中使用到了“無(wú)限”思想的內(nèi)涵：自然數(shù)N的無(wú)限大，數(shù)列{Xn}趨近于a，這也就是“無(wú)限”數(shù)列的關(guān)鍵。

3? ?熟悉辯證的思維方式

辯證思維是指從事物不斷變化發(fā)展的角度開(kāi)始逐漸認(rèn)識(shí)事物的思維方式，這種思維方式通常情況下被認(rèn)為是與邏輯思維相互作用的一種思維方式。在極限思想發(fā)展的整個(gè)過(guò)程中，就充分體現(xiàn)了變與不變的辯證思維方法。事物的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，而靜止則是相對(duì)的，這是物質(zhì)世界的普遍發(fā)展規(guī)律[4]。如函數(shù)y=2x中，x是該函數(shù)的自變量，y是因變量，y隨x的變化而變化，“2”則是該函數(shù)中的常量，這一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)中就體現(xiàn)了“變與不變”的關(guān)系。在極限中，當(dāng)n的不斷增大，Xn無(wú)限趨近于a，n越大精確度就越高，那么只有當(dāng)n無(wú)窮大時(shí)才等于a。這一極限的思想就將約似與精確兩個(gè)相互對(duì)立的基本概念轉(zhuǎn)化成了一體，這一過(guò)程就充分地體現(xiàn)了約似與精確兩者的對(duì)立與統(tǒng)一。

掌握辯證的思維方式是一段漫長(zhǎng)而又艱難的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生剛踏入大學(xué)校園時(shí)對(duì)一切認(rèn)知都是感到新穎的，剛剛學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的極限思想切忌操之過(guò)急，揠苗助長(zhǎng)，導(dǎo)致事半功倍。在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，逐步掌握辯證的思維方式是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，這一逐步提升的過(guò)程將對(duì)學(xué)生無(wú)論是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)或是其他學(xué)科都有極為重要的意義。

4? ?掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)無(wú)限的描述

無(wú)限與有限是相輔相成的，相依而存的。如在極限收斂的定義中，如果存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意正數(shù)ε，都

N>0，使不等式|Xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{Xn}的極限，或稱數(shù)列{Xn}收斂于a。記作或。這是高等數(shù)學(xué)中的ε語(yǔ)言，定義中的ε是任意變化的，但是從結(jié)題的最后結(jié)果來(lái)看ε又是固定的，有限的，這就體現(xiàn)了“變與不變”的辯證思想方式，“ε語(yǔ)言”的巧妙運(yùn)用把極限思想體現(xiàn)得淋漓盡致[5]。通過(guò)理解這種極限思想，學(xué)會(huì)用有限來(lái)描述無(wú)限概念，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要作用，這是掌握極限概念的關(guān)鍵因素。高等數(shù)學(xué)中的極限語(yǔ)言并不是那么難以掌握，作為學(xué)生要學(xué)會(huì)在理解的基礎(chǔ)上掌握，在掌握的條件下靈活運(yùn)用，從而解決生活和學(xué)習(xí)中的困難與問(wèn)題。有一些數(shù)學(xué)概念用文字語(yǔ)言描述并不那么難以理解，但是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述卻有些晦澀難懂，如極限的定義就是如此。其實(shí)，在不斷學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)逐步體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)極限語(yǔ)言的重要性，必要性，準(zhǔn)確性，靈活性，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力更上一個(gè)臺(tái)階。

5? ?結(jié)束語(yǔ)

因生活中的實(shí)際需要進(jìn)而產(chǎn)生了數(shù)學(xué)概念，所以，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)重視從實(shí)際的角度抽象出數(shù)學(xué)概念思想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣愛(ài)好。極限思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重難點(diǎn)，貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)體系中，要想恰當(dāng)?shù)睦斫夂驼莆詹⑹炀氝\(yùn)用極限思想不是一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程，要循序漸進(jìn)的逐步提升。通過(guò)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步準(zhǔn)確掌握極限思想，并且能夠靈活地將這種思想運(yùn)用到除高等數(shù)學(xué)以外的其他科目的學(xué)習(xí)中去。掌握辯證的思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在“變與不變”中體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙與神奇之處。運(yùn)用簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述復(fù)雜的數(shù)學(xué)思路，這是解決數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵所在，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精妙。

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1988.

[2]沈燮昌.邵品琮.數(shù)學(xué)分析縱橫談[M].北京：北京大學(xué)出版社，1991.

[3]劉玉鏈.數(shù)學(xué)分析講義[M].高等教育出版社，1984.

[4]王麗麗.高等數(shù)學(xué)中極限思想的淺析[J].淮南職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（3）.

[5]陳剛，米平治.關(guān)于高等數(shù)學(xué)中極限思想的研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2001（3）.