孟瑩 張昆

人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)內(nèi)容，教科書通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察猜想等一系列活動(dòng)，進(jìn)而得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。在此類教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師利用輔助線能幫助學(xué)生更好地理解“三角形內(nèi)角和是180°”。但由于學(xué)生可以從圖形中直接看到輔助線，因此這個(gè)過(guò)程中只鍛煉了學(xué)生的觀察能力，沒(méi)有鍛煉他們發(fā)現(xiàn)輔助線的探究能力與邏輯思維能力。學(xué)生只有經(jīng)由這兩種能力的鍛煉，才能準(zhǔn)確把握該知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)內(nèi)涵。因此，教科書上的這種教學(xué)方式如果教師把握得不好，就會(huì)演變成現(xiàn)象上的教學(xué)，而不是思維上的教學(xué)，更不是本質(zhì)上的教學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（? 011年版）》指出，教師應(yīng)該摒棄灌輸式的教學(xué)模式，運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)方法，才能達(dá)到用教材教而不是教教材的目的，也才能夠幫助學(xué)生更好地理解教科書上的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題的本質(zhì)。在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，教師有時(shí)不知如何從現(xiàn)象教學(xué)過(guò)渡到思維品質(zhì)教學(xué)。筆者以“三角形內(nèi)角和定理”教學(xué)為例，詳細(xì)闡述如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和探究能力。

關(guān)于“三角形內(nèi)角和定理”內(nèi)容，在人教版四年級(jí)和八年級(jí)的數(shù)學(xué)教科書中都有所涉及。對(duì)于四年級(jí)學(xué)生而言，他們的心智和技能還不夠成熟，主要以具體形象思維為主，所以教科書采用度量和剪拼的方法，得出“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)概念。但是通過(guò)度量和剪拼，采用操作、觀察與實(shí)驗(yàn)的方式，得到的結(jié)論只是近似的。因?yàn)樵跍y(cè)量和剪拼中都極有可能出現(xiàn)誤差，而且這種方法只是一種驗(yàn)證，不是精確的數(shù)學(xué)證明。所以，學(xué)生只從現(xiàn)象上發(fā)生認(rèn)識(shí)，并不能讓人信服。然而這種教學(xué)方式對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，卻是極易理解的。

八年級(jí)教科書再一次提及了“三角形的內(nèi)角和定理”這一內(nèi)容。由于八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)掌握了平行線的性質(zhì)與判定定理等平面幾何知識(shí)，對(duì)于公理化的推理論證在感性上也有一定的認(rèn)識(shí)與認(rèn)同，并且初具抽象邏輯思維，就可以通過(guò)推理、探究的方式證明三角形的內(nèi)角和是180°。八年級(jí)教科書給出了兩種證明方法。

第一種方法如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線l，使l∥BC，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出三角形的內(nèi)角和等于180°;第二種方法如圖? 所示，延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線l，使AB，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“兩直線平行，同位角相等”得出三角形的內(nèi)角和等于180°。

這兩種教學(xué)方式都存有弊端。從表面上看，這是兩種不同的證明方法，但是從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，都是“無(wú)中生有”地畫出一條輔助線，是通過(guò)操作與觀察將這條輔助線輕松地告知學(xué)生，而不是學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，這就極大地?fù)p傷了它的教學(xué)價(jià)值。這種教學(xué)方法從整體上來(lái)說(shuō)是合乎邏輯的，但會(huì)導(dǎo)致學(xué)生只“知其然而不知其所以然”，即只知道這條輔助線對(duì)證明三角形內(nèi)角和定理很有用，卻不能理解這條輔助線的真正含義。這就走了“灌輸式教學(xué)”的老路子。這種“灌輸式教學(xué)”的影響是消極的。當(dāng)學(xué)生再次面對(duì)這種類型的題目時(shí)，由于他們對(duì)此類題目已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，可能很快可以解決。可是如果將題目進(jìn)行變式，那么這時(shí)由于學(xué)生的思維已經(jīng)受到了限制，他們便無(wú)法解決變式的題目。

綜上所述，作為一名教師，如果無(wú)法合理運(yùn)用教科書所提供的教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生就只能一味地進(jìn)行接受學(xué)習(xí)，這在一定程度上束縛了學(xué)生的手腳，限制了學(xué)生的思維空間，學(xué)生可能就會(huì)感受不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

筆者按照教科書的指引，對(duì)于證明“三角形內(nèi)角和是180°”所用到的這條輔助線產(chǎn)生了思考，從特殊的直角三角形入手，設(shè)計(jì)了如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

師：直角三角尺分有30°和45°兩種（如圖3和圖4所示），那么有哪位同學(xué)可以告訴老師，直角三角尺三個(gè)內(nèi)角的和是多少度呢？

生1：圖3中三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和為∠A+∠B+∠C=180°;同樣的，圖4中三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和也為∠A+∠B+∠C=180°。

師：很好！那么我們來(lái)思考一下，如圖5所示，任意直角三角形的內(nèi)角和也是180°嗎？

師：生7的這種方法將本節(jié)課的創(chuàng)新部分和教科書上的證明方法緊密結(jié)合，順理成章地證明了一般三角形的內(nèi)角和也是180°。但是需要說(shuō)明的是，圖11雖然是一個(gè)一般三角形，但是由于我們將△ABC的邊AB做了一次特殊的平移，也就意味著這個(gè)一般三角形也被我們特殊化了。

師：根據(jù)以上從特殊的直角三角形到一般三角形的分析，我們證明了任意三角形的內(nèi)角和都等于180°。

師：同學(xué)們的這些想法都間接地說(shuō)明了我們的教學(xué)過(guò)程是如何從現(xiàn)象過(guò)渡到思維品質(zhì)的。當(dāng)然，我們最初還是需要從現(xiàn)象入手，通過(guò)觀察比較，逐步深入到本質(zhì)。

現(xiàn)象是進(jìn)入本質(zhì)的向?qū)?。正是思維的作用，現(xiàn)象與本質(zhì)的聯(lián)系才更為明顯地表現(xiàn)出來(lái)。如果思維在教學(xué)過(guò)程中不起任何作用，那么現(xiàn)象還是現(xiàn)象，我們也就無(wú)法挖掘一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)與內(nèi)涵。

對(duì)于以上教學(xué)設(shè)計(jì)，教師首先從直角三角尺出發(fā)，一步步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“三角形的內(nèi)角和是否等于180°”的問(wèn)題產(chǎn)生興趣，鼓勵(lì)學(xué)生從興趣入手。然后教師再稍加引導(dǎo)，通過(guò)畫輔助線的方法求出任意直角三角形的內(nèi)角和都等于180°。同時(shí)，這條輔助線也為后續(xù)證明一般三角形的內(nèi)角和也是180°奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生通過(guò)這條輔助線，自然而然地想到：要想證明三角形的內(nèi)角和是180°，可以在三角形的內(nèi)部或者外部作一條垂線，構(gòu)造出直角三角形，那么所有問(wèn)題都可以迎刃而解了。這種教學(xué)設(shè)計(jì)和教科書中的教學(xué)設(shè)計(jì)相比，優(yōu)點(diǎn)在于教師是從思維上進(jìn)行教學(xué)，而不是從觀察上進(jìn)行教學(xué)。這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和探究能力，還踐行了奧蘇貝爾所提出的先行組織者概念。如果我們將以上教學(xué)設(shè)計(jì)分為幾個(gè)小節(jié)，那么每個(gè)小節(jié)都成為下一個(gè)小節(jié)的引導(dǎo)性材料，這樣學(xué)生的思維才具有連貫性，同時(shí)也便于下一小節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的開(kāi)展。

弗賴登塔爾說(shuō)，數(shù)學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中，走過(guò)漫長(zhǎng)而曲折的道路，它不斷修正自己的進(jìn)程，避開(kāi)過(guò)彎路，繞過(guò)死胡同，重新明確前進(jìn)的方向[1]。本文所闡述的教學(xué)設(shè)計(jì)也是如此。如果學(xué)生沒(méi)有思路證明一般三角形的內(nèi)角和是否為180°，教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生從特殊直角三角形入手，開(kāi)辟一條從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾牡缆?，學(xué)生就會(huì)運(yùn)用先前學(xué)習(xí)或者證明過(guò)的知識(shí)作為基礎(chǔ)，主動(dòng)構(gòu)建已獲得的知識(shí)和即將掌握的知識(shí)之間的橋梁，牢牢地將這些知識(shí)捆綁在一起。這樣不僅有利于學(xué)生鞏固先前的知識(shí)，更有利于他們掌握未知的知識(shí)。

教學(xué)不能僅僅只滿足于教師教一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生會(huì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更重要的是教師要向?qū)W生傳授解決這種題型的方法。“授之以魚(yú)不如授之以漁”，學(xué)生一旦掌握了這種解題方法，以后遇到這一類型的題目便可以一通百通了。這不僅體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，而且還發(fā)揮了教師作為學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者的作用。

這種教學(xué)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是運(yùn)用化歸的思想方法解決問(wèn)題?；瘹w不僅是一種重要的解題方法，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。運(yùn)用化歸的思想方法解決問(wèn)題，我們可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)我們對(duì)一道題目無(wú)從下手時(shí)，可以將這個(gè)問(wèn)題劃分為幾個(gè)部分，每個(gè)部分都設(shè)一個(gè)中途點(diǎn)作為聯(lián)系上下部分的紐帶。學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法想到下一步該如何進(jìn)行，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生向中途點(diǎn)進(jìn)行靠攏，稍加提示，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的答案，而不是一味地將答案捧給學(xué)生。

以本課的教學(xué)來(lái)說(shuō)，在上課開(kāi)始之前教師拋出“直角三角尺的三個(gè)內(nèi)角和是多少度”的問(wèn)題，這時(shí)學(xué)生就可以根據(jù)已經(jīng)獲得的經(jīng)驗(yàn)得出直角三角尺的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。這個(gè)結(jié)論可以作為第一個(gè)中途點(diǎn)，緊接著就可以引出后續(xù)的一系列問(wèn)題了。

教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，這種精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)不是一件容易的事，這就形成了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的最近發(fā)展區(qū)策略。筆者認(rèn)為，這種思想方法也應(yīng)該廣泛應(yīng)用于高考解題方法教學(xué)中。大多數(shù)學(xué)生對(duì)高考數(shù)學(xué)壓軸題（試卷中最后一個(gè)大題）都有膽怯心理，甚至不敢嘗試去做。對(duì)于這種壓軸題，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用化歸的思想方法，將題目分成幾個(gè)小部分，化整為零，從而一步步地接近答案。“千里馬常有，而伯樂(lè)不常有”，作為一名新時(shí)代的教師，我們要牢牢把握最近發(fā)展區(qū)策略的關(guān)鍵點(diǎn)，堅(jiān)信每個(gè)學(xué)生都有自我發(fā)展的可能，及時(shí)給學(xué)生提供自主探究、自我思考的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中的潛能。

張乃達(dá)在其著作《數(shù)學(xué)思維教育學(xué)》一書中曾提出，特殊化可以幫助我們尋求一般問(wèn)題的解法。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，特殊化起著揭示信息的作用。我們可以通過(guò)對(duì)特例的考查，進(jìn)行歸納，提出猜想，再利用特例來(lái)驗(yàn)證或否定猜想，進(jìn)而證明或修正結(jié)論。這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中常見(jiàn)的程序。這說(shuō)明，特殊化是數(shù)學(xué)中的實(shí)驗(yàn)手段，它在數(shù)學(xué)中起著類似實(shí)驗(yàn)在物理、化學(xué)等學(xué)科中的作用。一般化過(guò)程是發(fā)散的思維過(guò)程，一般化的途徑與結(jié)果都是不確定的。所有這些都使一般化方法具有創(chuàng)造性，同時(shí)又成為進(jìn)行創(chuàng)造性思維訓(xùn)練的重要手段。華羅庚教授也說(shuō)過(guò)，這是一般的研究方法，先足夠的退到我們?nèi)菀卓辞鍐?wèn)題的地方去，看透了，鉆深了，然后再上去[3]。在經(jīng)歷了從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾慕虒W(xué)過(guò)程之后，學(xué)生就理解了三角形內(nèi)角和定理這一概念性教學(xué)的本質(zhì)。這樣教師和學(xué)生都能更好地吃透教材，在充分理解教材向我們傳達(dá)的思想之后，又能更進(jìn)一步拓展這個(gè)知識(shí)的內(nèi)涵，相當(dāng)于對(duì)教材進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)。

參考文獻(xiàn)：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[? ] 張昆，張雨晴.運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略示例——透過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的視點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，? 018（3）：4-8.

[3]張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990.