高紅梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。在課堂教學(xué)中引導(dǎo)和幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念變得直觀，將復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題變得清晰，將規(guī)律探索變得生動(dòng)，將解決問(wèn)題變得豐富。因此，我們應(yīng)該不斷地探究與思考構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的策略，以踐行課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，我們需要通過(guò)有效的教學(xué)方式，幫助學(xué)生在頭腦中一步一步的積累對(duì)概念的認(rèn)知。而建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)數(shù)學(xué)模型支撐概念的形成，是概念教學(xué)中的一種重要的策略。教師應(yīng)注重向?qū)W生提供感性材料，如學(xué)生熟知的生活實(shí)例、實(shí)物等，讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、分析、對(duì)比、抽象出對(duì)象的本質(zhì)，從而形成概念。在形成概念時(shí)我們應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生建立相對(duì)應(yīng)的模型。

例如，在教學(xué)“三角形三條邊的關(guān)系”一節(jié)課時(shí)，一位教師通過(guò)學(xué)生所熟悉的教學(xué)用具，一步一步地幫助學(xué)生建立了數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生理解了“三角形三條邊的關(guān)系”的本質(zhì)：

第一步，通過(guò)操作，初步認(rèn)知。該教師將班級(jí)內(nèi)的學(xué)生進(jìn)行了分組，并為每個(gè)小組的學(xué)生分別準(zhǔn)備了學(xué)具：分別為11厘米、7厘米、6厘米、4厘米的小木棒。規(guī)定可以從這四根小棒中任意選取三根，并讓學(xué)生帶著“通過(guò)拼、圍，你發(fā)現(xiàn)了什么”的問(wèn)題，通過(guò)小組合作，動(dòng)手操作，互動(dòng)交流去觀察、探索和發(fā)現(xiàn)。通過(guò)操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：取到的三根小棒有的能圍成三角形，有的無(wú)法圍成三角形。教師接著引導(dǎo)：“你發(fā)現(xiàn)在能圍成三角形的三根小棒之間有什么規(guī)律？”學(xué)生通過(guò)探究，得出了初步結(jié)論：當(dāng)“兩邊之和大于第三邊”時(shí)就能圍成三角形。

第二步，通過(guò)論證，深入建構(gòu)。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)概念中的規(guī)律，這只是建立數(shù)學(xué)模型的第一步，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去爭(zhēng)辯，只有通過(guò)論證，才能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)更加理解，也才能讓概念變得直觀。鑒于此，該教師又選擇了長(zhǎng)度分別為4厘米、6厘米、11厘米的三根小棒為一組，讓學(xué)生去猜想這一組小棒能否圍成三角形。根據(jù)第一步操作得出的結(jié)論，很多學(xué)生都認(rèn)為可以圍成三角形，因?yàn)椤?+11>4”。同時(shí)，也有很多學(xué)生認(rèn)為不能圍成三角形，因?yàn)椤?+6<11”。到了這里，學(xué)生就產(chǎn)生了疑問(wèn)和爭(zhēng)議，他們都想證明自己的觀點(diǎn)是正確的。這時(shí)，教師就讓學(xué)生放手去操作。在操作的過(guò)程中，認(rèn)為能圍成的學(xué)生邊操作邊開(kāi)始了思考，并把任意的三根小棒拿出來(lái)一邊圍，一邊比較，他們很快發(fā)現(xiàn)了新的規(guī)律：要想圍成三角形必須“三組的兩邊之和都要大于第三邊”，也就是必須“任意兩邊之和大于第三邊”。這時(shí)，學(xué)生已經(jīng)能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并深刻地理解了“任意”的意思，得出了“在三角形中任意兩邊之和都大于第三邊”的概念。這樣，通過(guò)一步一步的引導(dǎo)，學(xué)生逐漸建立了“任意兩邊之和都大于第三邊”的數(shù)學(xué)模型。

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)部分，在計(jì)算教學(xué)中，相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有很多，每種知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)生來(lái)講都具有一定的抽象性。然而，計(jì)算教學(xué)中的很多知識(shí)點(diǎn)之間都是存在著一定聯(lián)系的，在教學(xué)中如果能利用知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系建立起數(shù)學(xué)模型，對(duì)幫助學(xué)生能夠順利地掌握這些知識(shí)點(diǎn)將會(huì)起到很好的效果。

例如，在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)是要讓學(xué)生理解運(yùn)算過(guò)程中的兩個(gè)積都是怎樣得到的，末位數(shù)應(yīng)該怎么去確定位置，為什么要這樣確定位置。在教學(xué)時(shí)，可以寫(xiě)出一個(gè)或者一組例題，讓學(xué)生先嘗試進(jìn)行計(jì)算，然后讓他們說(shuō)一說(shuō)是怎樣算的，為什么這么算，每一步的運(yùn)算依據(jù)是什么。學(xué)生通過(guò)小組交流可以逐漸把算法統(tǒng)一起來(lái)，得出他們自己的結(jié)論。通過(guò)對(duì)比、討論，最終可以讓學(xué)生歸納概括出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法則：第一步，先用乘數(shù)的個(gè)位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的個(gè)位對(duì)齊;第二步，再用乘數(shù)的十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的十位對(duì)齊;第三步，把兩次乘得的數(shù)加起來(lái)。這樣，學(xué)生就概括出了三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算步驟，也就在計(jì)算法則的基礎(chǔ)上構(gòu)建起了關(guān)于計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。

探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)一個(gè)模式。在教學(xué)中，可以從學(xué)生所熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程，進(jìn)而加深他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

例如，一位教師在教學(xué)“乘法分配律”一課時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索過(guò)程，自主構(gòu)建模型。第一步，讓學(xué)生嘗試解決“用不同的方法買8套衣服要多少錢(qián)”的問(wèn)題，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察等式，提問(wèn)學(xué)生：“發(fā)現(xiàn)了什么？”第二步，讓學(xué)生結(jié)合自己的發(fā)現(xiàn)嘗試著寫(xiě)出兩個(gè)不完整的等式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察比較，并提問(wèn)“又發(fā)現(xiàn)了什么？”第三步，讓學(xué)生再舉出一些這樣的例子，引導(dǎo)學(xué)生感受到這樣的例子是寫(xiě)不完的。這時(shí)，可以讓學(xué)生觀察黑板上的許多等式，并提問(wèn)：“這些等式數(shù)據(jù)各不相同，但它們有一點(diǎn)是相同的，是什么呢？”學(xué)生認(rèn)為：“它們都是把左邊的算式先加再乘，右邊則先把兩個(gè)加數(shù)分別乘共同的因數(shù)后再加?！苯處熢僮穯?wèn)：“能講一講相等的道理嗎？”在學(xué)生充分感悟的基礎(chǔ)上，師生再共同用語(yǔ)言來(lái)描述規(guī)律，這樣就引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建了教學(xué)模型，并抽象概括出了用字母表示的模型，即：（a+b）×c=a×c+b×c。

從具體的問(wèn)題抽象、提煉、構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的終結(jié)。建立模型后，教師還應(yīng)將數(shù)學(xué)模型還原到具體的數(shù)學(xué)情境問(wèn)題中，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型得以擴(kuò)充和提升。

例如，在教學(xué) “三位數(shù)乘兩位數(shù)”一節(jié)課時(shí)，在學(xué)生三年級(jí)時(shí)就知道的“單價(jià)×數(shù)量 = 總價(jià)”這一基本模型的基礎(chǔ)上，一位教師安排了兩道例題：1.籃球每個(gè)80元，買3個(gè)多少錢(qián)？2.魚(yú)每千克10元，買4千克要多少錢(qián)？那么，這兩個(gè)問(wèn)題有什么共同點(diǎn)？教學(xué)中要如何建立學(xué)生的模型思想呢？首先，呈現(xiàn)例題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察與思考，并說(shuō)一說(shuō)題中所描述的情境。通過(guò)描述，讓學(xué)生知道這兩道題是關(guān)于總價(jià)的實(shí)際問(wèn)題，并明確這兩道題都是已知每件商品的價(jià)錢(qián)，我們把它叫作單價(jià)，買了多少，我們叫數(shù)量，求一共需要多少錢(qián)，我們把它叫作總價(jià)。建立了這些概念后，讓學(xué)生再看題，找一找題中的數(shù)學(xué)信息，明確第1題中出示的是籃球的單價(jià)是80元，數(shù)量是3個(gè)，也就是求3個(gè)80元是多少。第2題中出示的是魚(yú)的單價(jià)是10元，買了4千克，也就是求4個(gè)10元是多少。因此，都用乘法計(jì)算。通過(guò)計(jì)算后明確單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)之間的關(guān)系是“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，從而建立起了模型，并通過(guò)鞏固應(yīng)用加深了對(duì)模型的理解。在這一單元的后面還有對(duì)“速度×?xí)r間=路程”這一模型建立的學(xué)習(xí)。同時(shí)，在第六單元除數(shù)是兩位數(shù)的除法中則是利用第四單元的乘法模型的變式模型“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)”“總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”“路程÷時(shí)間=速度”“路程÷速度=時(shí)間”來(lái)解決問(wèn)題的。因此，這一模型思想的建立對(duì)后續(xù)這些相關(guān)的學(xué)習(xí)會(huì)起到很大的作用。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）