錢德春 呂同林

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題的價(jià)值在于讓學(xué)生感到“有困惑”（產(chǎn)生認(rèn)知沖突）、“有意義”（直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)）。數(shù)學(xué)問題的來源包括生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)問題既可以產(chǎn)生于教師的預(yù)設(shè)，也可以產(chǎn)生于學(xué)生的生成。數(shù)學(xué)問題的表征形式是多樣的，如文字表征、數(shù)式表征、圖表表征、模型表征、實(shí)驗(yàn)表征等，對(duì)同一類型也可以從不同方向進(jìn)行表征。數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式可以分為“自下而上”式和“自上而下”式?；镜臄?shù)學(xué)問題處理方式有學(xué)生自主探究、相互協(xié)作學(xué)習(xí)、教師引導(dǎo)點(diǎn)撥。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題價(jià)值預(yù)設(shè)生成處理

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是數(shù)學(xué)知識(shí)的引發(fā)點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維的驅(qū)動(dòng)器，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題和分析、解決問題，在“問題解決”中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須面對(duì)的問題是：數(shù)學(xué)問題有什么價(jià)值？從哪里來？如何產(chǎn)生？有哪些形式？怎樣表征？怎樣呈現(xiàn)？如何處理？本文對(duì)此談一談筆者的思考。

一、數(shù)學(xué)問題的價(jià)值

許多數(shù)學(xué)課堂比較重視情境引入。這無可厚非。然而情境的作用何在？不少教師不假思索，脫口而出：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣唄。理念決定行為。不少教師逢課必“情境”：或講一個(gè)有趣的故事，或呈現(xiàn)、播放一些吸引學(xué)生眼球的圖片、視頻，或讓學(xué)生做一個(gè)游戲，或讓學(xué)生進(jìn)行操作……有的課堂在情境引入環(huán)節(jié)需要用去四五分鐘時(shí)間，看上去很花哨、喧鬧，可學(xué)生在“興奮”之后卻不知道要干什么。裴光亞先生說：教育價(jià)值是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂。事實(shí)上，情境作用還在于讓學(xué)生感到“有困惑”（產(chǎn)生認(rèn)知沖突）、“有意義”（直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)），從而提出數(shù)學(xué)問題，引發(fā)數(shù)學(xué)思考和探索，促進(jìn)深度建構(gòu)和理解。

（一）“有困惑”——產(chǎn)生認(rèn)知沖突

學(xué)生感到“有困惑”，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，才有學(xué)習(xí)與研究的動(dòng)力。比如，教學(xué)“一元二次方程的認(rèn)識(shí)”時(shí)，不少教師通過實(shí)際問題列出方程x2=2、x（19-2x）=24、x2+（x-1）2=25、5（1+x）2=9.8，然后引導(dǎo)學(xué)生歸納共同特征、給出定義。但是，沒有從學(xué)生的角度思考：方程列出后最關(guān)心什么？有認(rèn)知沖突嗎？為什么要學(xué)這個(gè)內(nèi)容？其實(shí)，這些問題才是學(xué)習(xí)的價(jià)值，也是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。而事實(shí)上，學(xué)生最關(guān)心結(jié)果是多少。方程x2=2直接可以得到x=2（負(fù)值舍去），方程5（1+x）2=9.8可以用開平方法，而方程x（19-2x）=24、x2+（x-1）2=25目前難以直接求解。如果給學(xué)生足夠的自主探究時(shí)間，他們會(huì)將這些方程重新整理，考慮能否轉(zhuǎn)化為學(xué)過的方程。此時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知沖突自然產(chǎn)生，教師順勢提出問題：這是什么方程呢？這時(shí)，給這樣的方程下定義的時(shí)機(jī)就成熟了。

（二）“有意義”——直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)

有些問題直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，更有數(shù)學(xué)意義，更加值得提出。比如，教學(xué)“三角形中位線定理”時(shí)，許多教師設(shè)計(jì)這樣的問題情境：要測量一個(gè)水池不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)A、B之間的距離，在地面上取另一點(diǎn)C，連接AC、BC，取AC、BC的中點(diǎn)D、E（如圖1），量出DE的長，就知道AB的長，你知道這是為什么嗎？讓學(xué)生畫一畫、量一量、猜一猜、想一想。那么，問題來了：怎么想到設(shè)計(jì)這樣的圖形的？為什么要這樣？一定要這樣嗎？基于此，一位教師這樣設(shè)計(jì)：利用幾何畫板畫出△ABC，設(shè)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，作DE∥AB，交邊BC于點(diǎn)E（如圖2），將點(diǎn)D在邊AC上從點(diǎn)C向點(diǎn)A移動(dòng)，在移動(dòng)的過程中，你發(fā)現(xiàn)DE的長度如何變化？（預(yù)設(shè)：從0到AB的長。）在DE從0變到AB長的過程中，你發(fā)現(xiàn)有什么特殊的長度嗎？（預(yù)設(shè)：一定有一個(gè)長度等于12AB。）這是“一般中的特殊”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有研究的價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)問題的來源

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)素材和問題情境的選擇“應(yīng)該盡量與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系”。

（一）數(shù)學(xué)問題來源于生活現(xiàn)實(shí)

現(xiàn)實(shí)世界是數(shù)學(xué)的源頭活水。一方面，數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象和概括，另一方面，數(shù)學(xué)原理和模型又可以從現(xiàn)實(shí)中找到原型。初中學(xué)生的思維正處于從直觀感性向抽象理性轉(zhuǎn)變的階段，他們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界充滿了好奇，對(duì)身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象探索興趣濃厚。如果教學(xué)中能夠借助生活現(xiàn)實(shí)引入數(shù)學(xué)模型，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的認(rèn)識(shí)、感悟會(huì)更加深刻、持久。

比如，教學(xué)“零指數(shù)冪存在性”時(shí)，選取細(xì)胞分裂的實(shí)例，探討細(xì)胞分裂3次、2次、1次后數(shù)量表示規(guī)律，然后追問：沒有分裂時(shí)，細(xì)胞個(gè)數(shù)如何表示？學(xué)生自然會(huì)回答是“1”。接著，讓學(xué)生在數(shù)軸上尋找20表示的點(diǎn)的位置。通過實(shí)際情境和實(shí)踐操作，學(xué)生充分感受到了“零指數(shù)冪”的現(xiàn)實(shí)意義。

再如，教學(xué)“有理數(shù)乘法運(yùn)算法則”時(shí)，利用“水庫水位升降”的生活現(xiàn)實(shí)，讓學(xué)生自主列式，并分析因數(shù)與積之間的符號(hào)、絕對(duì)值關(guān)系。通過現(xiàn)實(shí)意義感悟符號(hào)法則，促進(jìn)了有理數(shù)乘法法則的有效建構(gòu)。

當(dāng)然，素材的選擇要注意適切性。例如，利用“跳水運(yùn)動(dòng)員入水時(shí)身體與水面的關(guān)系”作為“直線垂直”的例子，由于該情境近似于“線面垂直”問題，所以用于“直線垂直”教學(xué)并不妥當(dāng)。

（二）數(shù)學(xué)問題來源于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

從數(shù)學(xué)內(nèi)部現(xiàn)象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生展開思考和探索，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、產(chǎn)生新知識(shí)，本質(zhì)上是一種創(chuàng)新、創(chuàng)造和發(fā)明。數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)都來自數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾，正是對(duì)這些矛盾的探索與解決，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。弗賴登塔爾倡導(dǎo)“縱向數(shù)學(xué)化”，就是讓數(shù)學(xué)知識(shí)層層推進(jìn)，思維逐級(jí)攀升;讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長和內(nèi)化，思考靈動(dòng)而深刻。抓住數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾和聯(lián)系展開數(shù)學(xué)教學(xué)，不失為一種行之有效的教學(xué)策略。

比如，教學(xué)“零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”時(shí)，可以提出問題：前面研究同底數(shù)冪的除法性質(zhì)am÷an=am-n時(shí)限定了m>n，但是現(xiàn)實(shí)中m可以小于或等于n。當(dāng)m≤n時(shí)，運(yùn)用此法會(huì)出現(xiàn)什么情況？（預(yù)設(shè)：指數(shù)出現(xiàn)了0和負(fù)整數(shù)。）如果用乘方的定義解釋，a3表示3個(gè)a相乘，那么，a0是不是表示0個(gè)a相乘？a-1是不是表示-1個(gè)a相乘？當(dāng)m≤n時(shí)，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算可否進(jìn)行？怎樣計(jì)算？一連串從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部產(chǎn)生的問題，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望。

（三）數(shù)學(xué)問題來源于其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)

許多數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的提出源于其他學(xué)科面臨的挑戰(zhàn)。比如，微積分概念的提出與理論的突破，一個(gè)重要原因是解決運(yùn)動(dòng)中即時(shí)速度的問題;而物體的重心、物體相互作用的引力等的研究，都提出了新的數(shù)學(xué)問題。

因此，通過其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)提出數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種策略。比如，根據(jù)運(yùn)動(dòng)、壓強(qiáng)等物理現(xiàn)象提出函數(shù)問題。學(xué)生經(jīng)歷由物理現(xiàn)象抽象數(shù)學(xué)問題的過程，可以觸摸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，堅(jiān)定數(shù)學(xué)探究的信念。

三、數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)問題既可以產(chǎn)生于教師的預(yù)設(shè)，也可以產(chǎn)生于學(xué)生的生成。

（一）數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生于教師的預(yù)設(shè)

教師預(yù)設(shè)的問題直接關(guān)系到教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，影響到學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。比如，教學(xué)“可化為一元一次方程的分式方程”時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)是“理解分式方程以及增根的意義，會(huì)將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，知道解分式方程時(shí)產(chǎn)生增根的原因”，認(rèn)知基礎(chǔ)是“一元一次方程”。教師可以預(yù)設(shè)這樣的解方程問題：（1）2x-54+x3=12;（2）3x2-1+1=x-1x+1;（3）xx-1+1=1x-1。這三個(gè)方程都含有分母，都可以通過直接去分母解決。但是，這三個(gè)方程又各有意圖：方程（1）是一元一次方程，學(xué)生利用已有知識(shí)可以直接解決;方程（2）和（3）都是分母含有字母的方程，學(xué)生同樣去分母，解方程（2）得x=-12后不會(huì)發(fā)現(xiàn)“異?！?，解方程（3）得x=1后會(huì)發(fā)現(xiàn)分母為0，即方程無意義了。學(xué)生的問題由此產(chǎn)生：怎么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？進(jìn)而探討原因，說明這樣的方程與已學(xué)的方程不同，必須給出定義并進(jìn)行研究。學(xué)生問題的產(chǎn)生正是源于教師精心的預(yù)設(shè)。

（二）數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生于學(xué)生的生成

課堂上生成的問題最鮮活、最靈動(dòng)、最具有針對(duì)性，教學(xué)的亮點(diǎn)就在于鮮活、靈動(dòng)、精彩的生成。課堂上生成的問題主要源于學(xué)生理解的不到位甚至錯(cuò)誤、思考的跳躍等。不同的學(xué)生，生活背景、認(rèn)知的習(xí)慣以及看待問題的角度等方面具有個(gè)性特質(zhì)，但是，無論共性問題還是個(gè)性問題，都具有一定的研究價(jià)值，具有批判性思維的特征，有必要引導(dǎo)學(xué)生探討，從而去偽存真、優(yōu)化創(chuàng)新，獲得更深刻的認(rèn)識(shí)、更透徹的理解。比如，教學(xué)“反比例函數(shù)的性質(zhì)”，在研究性質(zhì)“當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y都隨x的增大而減小”時(shí)，學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)的經(jīng)驗(yàn)“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大”，提出質(zhì)疑：這里為何要強(qiáng)調(diào)“在每一個(gè)象限內(nèi)”？這正是新知識(shí)內(nèi)化和生成的關(guān)鍵點(diǎn)。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)問題的兩種產(chǎn)生方式不可能截然分割：有時(shí)學(xué)生的生成源于教師巧妙的預(yù)設(shè)，有時(shí)教師的預(yù)設(shè)源于學(xué)生以往的生成。值得一提的是，學(xué)生生成的問題有些是暫時(shí)無法說清楚的，讓學(xué)生有所感悟就行了，不必糾纏于此（這就是裴光亞先生所說的“從不嚴(yán)格到嚴(yán)格，奔著嚴(yán)格而去”）;學(xué)習(xí)過程中的生成和內(nèi)化才是課堂教學(xué)的關(guān)鍵。

四、數(shù)學(xué)問題的形式

關(guān)于數(shù)學(xué)問題的形式，這里從問題的表征形式和呈現(xiàn)形式兩個(gè)方面闡述。

（一）數(shù)學(xué)問題的表征形式

問題表征是“問題”在人腦中的重新“編碼”，它既是對(duì)問題理解的過程，也是對(duì)問題理解的結(jié)果。準(zhǔn)確、合理、全面地對(duì)問題進(jìn)行表征，是尋找問題解決策略的前提。數(shù)學(xué)問題的表征形式是多樣的，如文字表征、數(shù)式表征、圖表表征、模型表征、實(shí)驗(yàn)表征等，對(duì)同一類型也可以從不同方向進(jìn)行表征。

比如，求點(diǎn)P（-1，-2）到直線y=-43x+4的距離。這個(gè)問題中的“距離”是關(guān)鍵詞，由對(duì)“距離”的不同表征可以得到相應(yīng)的解題思路。由“距離”想到“垂直”，進(jìn)而想到“直角三角形”，再想到“勾股定理”“三角函數(shù)”“直角三角形相似”;由“距離”想到“高”，進(jìn)而想到“三角形的面積”……這些都可以是解決策略的源頭。

再如，已知A、B、C、O為平面內(nèi)四點(diǎn)，且AO=BO=CO，∠BOC=110°，求∠BAC的度數(shù)。如果只從表面上看問題，由線段相等求角的度數(shù)，那么，過程比較復(fù)雜，還容易漏解。換一種表征方式，將“AO=BO=CO”轉(zhuǎn)換為“點(diǎn)A、B、C在以O(shè)為圓心、AO長為半徑的圓上”，則可知A、B、C三點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)A可能在優(yōu)弧BC上（如圖3），也可能在劣弧BC上（如圖4），問題迎刃而解。

數(shù)學(xué)問題的有效表征是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。教學(xué)中，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試問題的多種表征，為解決問題尋找策略與思路。比如，將當(dāng)前問題用相關(guān)的定義、基本事實(shí)、定理、公式表征，同一對(duì)象（或問題）用不同語言表征;將當(dāng)前問題用等價(jià)的其他問題表征，將當(dāng)前問題用相近或相鄰的問題表征……

（二）數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式

數(shù)學(xué)問題可以有多種呈現(xiàn)形式。從呈現(xiàn)的順序與結(jié)構(gòu)來看，可以分為“自下而上”式和“自上而下”式。所謂“自下而上”式，就是從基本問題出發(fā)，基于學(xué)生已有的認(rèn)知，通過設(shè)計(jì)“問題鏈”、搭建“腳手架”等方式，不斷啟發(fā)學(xué)生逐步生成知識(shí)、積累方法、升級(jí)思維，最終解決“更高級(jí)”“終結(jié)性”的問題。所謂“自上而下”式，就是直接拋出思維含量較大的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過分析、分解問題，最終將問題“后退”至認(rèn)知所能抵達(dá)之處。

比如，教學(xué)“零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”時(shí)，可以分兩步進(jìn)行。教學(xué)“零指數(shù)冪”時(shí)，可以采用“自下而上”式：設(shè)計(jì)感知a0=1的必要性、合理性以及多元表征等教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步鋪墊，慢慢引導(dǎo)，進(jìn)而得出“a0=1（其中a≠0）”的“規(guī)定”。教學(xué)“負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”時(shí)，由于學(xué)生已有學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪”的經(jīng)驗(yàn)，可以采用“自上而下”式：直接拋出問題，讓學(xué)生自主尋找解決問題的路徑，進(jìn)而理解“a-n=1an（其中a≠0）”的“規(guī)定”。這樣既能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)同類問題解決策略的掌握，又能激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望。

“自下而上”式和“自上而下”式不僅可以作為數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，也是數(shù)學(xué)定理、公式和解題教學(xué)的策略。比如，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，從基本問題出發(fā)，充分鋪墊，逐步拓展、提升，直至所要講解的綜合問題，就是“自下而上”式;直接呈現(xiàn)一個(gè)“大”問題，然后逐步“后退”到基本問題，直至學(xué)生頓悟之處，就是“自上而下”式。至于采用哪種呈現(xiàn)形式，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力、思維方式和個(gè)性特征來確定，還要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)階段來確定。

五、數(shù)學(xué)問題的處理

教學(xué)中，如何處理數(shù)學(xué)問題可謂見仁見智，沒有一種放之四海而皆準(zhǔn)的范式，既取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)、教材、學(xué)生和教學(xué)的理解，也需要根據(jù)問題的形式、難度，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、思維能力區(qū)別對(duì)待。但是，無論如何處理，都應(yīng)該有一些基本原則和基本路徑可以遵循?；镜臄?shù)學(xué)問題處理方式有學(xué)生自主探究、相互協(xié)作學(xué)習(xí)、教師引導(dǎo)點(diǎn)撥。

（一）學(xué)生自主探究

對(duì)于學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)、遷移能力可以獨(dú)立完成的問題，可以讓他們自主探究。比如，教學(xué)“矩形、菱形、正方形”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)研究了平行四邊形，掌握了平行四邊形的研究內(nèi)容（平行四邊形的對(duì)稱性以及邊、角和對(duì)角線）、研究路徑（平行四邊形的判定——從數(shù)量關(guān)系到位置關(guān)系;平行四邊形的性質(zhì)——從位置關(guān)系到數(shù)量關(guān)系），教師可以放手讓學(xué)生類比平行四邊形的研究，自主展開矩形、菱形、正方形的研究。另外，新知學(xué)完后的鞏固性任務(wù)也可以讓學(xué)生自主探究。

（二）相互協(xié)作學(xué)習(xí)

協(xié)作學(xué)習(xí)是一種學(xué)生通過小組或團(tuán)隊(duì)的形式學(xué)習(xí)的策略。學(xué)生可以將探索、發(fā)現(xiàn)的信息與小組或團(tuán)隊(duì)內(nèi)的成員分享、交流。用好協(xié)作學(xué)習(xí)策略，有利于增強(qiáng)學(xué)生的思辨能力、表達(dá)能力和溝通能力。

問題出現(xiàn)后，可以在學(xué)生獨(dú)立思考，有了結(jié)論時(shí)，組織學(xué)生討論、交流。比如，教學(xué)“乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2”時(shí)，提出這樣一個(gè)問題：改變（a+b）2中a、b前的符號(hào)會(huì)有哪些情況？它們分別如何計(jì)算？這是一個(gè)開放性問題，改變符號(hào)后得到的式子會(huì)有不同，每個(gè)式子計(jì)算的方式會(huì)有不同，由此可以比較哪種方式更簡潔。學(xué)生獨(dú)立思考這些問題并有了自己的想法后，教師可以組織學(xué)生小組協(xié)作、討論交流，了解自己與他人思路的異同，達(dá)到取長補(bǔ)短的目的;同時(shí)，還能碰撞出思維的火花，讓學(xué)生思維的廣度和深度得到進(jìn)一步發(fā)展。

對(duì)于一些不能獨(dú)立進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)操作和綜合實(shí)踐活動(dòng)，也應(yīng)該采用協(xié)作學(xué)習(xí)的方式。比如，教學(xué)完“平行投影和中心投影”后，開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：測量學(xué)校廣場旗桿的高度。這是一個(gè)實(shí)地測量的實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)，它要求學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)、選擇、優(yōu)化方案，需要小組成員通力協(xié)作，進(jìn)行測量與計(jì)算，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

當(dāng)然，協(xié)作交流并不意味著放棄獨(dú)立思考。恰恰相反，協(xié)作交流中學(xué)生的獨(dú)立思考尤為重要。如果問題提出后直接讓學(xué)生討論、交流，就很難產(chǎn)生思維的碰撞與提升，還會(huì)使課堂成為“學(xué)優(yōu)生”的“一言堂”，這樣的協(xié)作學(xué)習(xí)是虛假的、低效的。

（三）教師引導(dǎo)點(diǎn)撥

教師是“學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”，要明確自身的角色，不能越位也不能缺位，“該出手時(shí)就出手”。當(dāng)然，教師引導(dǎo)不能代替學(xué)生思考，而應(yīng)指出思考方向，搭建思維“腳手架”。

教師應(yīng)該在學(xué)生遇到困難時(shí)給予引導(dǎo)，在學(xué)生跑偏方向時(shí)給予糾正，在學(xué)生認(rèn)識(shí)膚淺時(shí)給予點(diǎn)撥。比如，教學(xué)“反比例函數(shù)”時(shí)，盡管學(xué)生學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)”，知道從定義、圖像、性質(zhì)和應(yīng)用四個(gè)方面進(jìn)行研究，但是由于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)有較大的區(qū)別，在作出y=6x的圖像之前，教師可以做一些引導(dǎo)：xy=6>0，故x、y同號(hào)，相應(yīng)的點(diǎn)只能在第一、三象限;xy=6≠0，則x≠0、y≠0，則圖像上的點(diǎn)不能在坐標(biāo)軸上;|x|無限增大時(shí)，|y|無限接近于0，則圖像上的點(diǎn)無限接近坐標(biāo)軸……這樣的引導(dǎo)讓學(xué)生的探究有方向、有路徑。

當(dāng)新知生成或問題解決后，學(xué)生頭腦中的知識(shí)可能處于“碎片化”狀態(tài)，理解也可能停留在淺層次。這時(shí)，學(xué)生需要教師的點(diǎn)撥。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)了“探索全等三角形的條件”后，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理建構(gòu)，然后提問：一般三角形全等的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，為什么沒有“SSA”？對(duì)此，教師通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生深入探究：如圖5，已知線段a、b及角α，畫△ABC，使∠B=α，BC=a，AC=b。在畫出∠B=α，BC=a后，以C為圓心、b為半徑畫弧，該弧與∠B的一邊BM的公共點(diǎn)就是點(diǎn)A，而公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)由b的大小確定：如圖6，作CH⊥BM于點(diǎn)H，當(dāng)CH<b<a時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)A1、A2，符合條件的三角形有△A1BC和△A2BC兩個(gè)。這兩個(gè)三角形滿足“SSA”，但不全等。通過教師引導(dǎo)下的探究，學(xué)生對(duì)問題的理解更加透徹，認(rèn)識(shí)得到了升華。

再如，解決一道題目后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生思考：問題解決用到了哪些知識(shí)？有哪些思路、策略？滲透了哪些思想方法？問題從哪里來？還可以往哪里去（即有何變式）？……通過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生的思維會(huì)更加深刻。

參考文獻(xiàn)：

[1] 錢德春.基于問題驅(qū)動(dòng)與價(jià)值引領(lǐng)的課堂教學(xué)——滬科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”觀課有感[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2017（3）.