摘要：余弦定理是高中數(shù)學(xué)重要定理之一，它是新高中課程標(biāo)準(zhǔn)幾何與代數(shù)這條主線上的必修內(nèi)容，教師在教學(xué)過程中應(yīng)讓學(xué)生了解定理的發(fā)生以及形成過程，探索多種不同的推導(dǎo)證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生理解各種方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，關(guān)鍵是要能夠利用余弦定理去解決實際問題，使學(xué)生能夠在運(yùn)用定理解決問題中獲得成功體驗，從而加深對知識的理解和記憶。

關(guān)鍵詞：余弦定理；教學(xué)過程；反思

隨著新一輪高中課程改革的推進(jìn)，2014年教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，當(dāng)前教師越來越重視學(xué)生的核心素養(yǎng)的發(fā)展。2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》強(qiáng)調(diào)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)課程目標(biāo)提到育人的高度，這說明數(shù)學(xué)素養(yǎng)已成為當(dāng)代每個公民必備的素養(yǎng)。余弦定理是繼正弦定理之后的又一個準(zhǔn)確量化三角形邊角關(guān)系的重要定理，同時它也能夠為我們后續(xù)解三角形，解決復(fù)雜工程測量問題提供重要工具，筆者通過聽了同行老師的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)教師要不斷打破傳統(tǒng)的授課方式，按照新課標(biāo)理念授課，激發(fā)課堂活力，同時要合理地利用多媒體輔助教學(xué)，是設(shè)計一堂好課的要求，以下是筆者就此次聽課的感受與大家分享，以便今后能更好地指導(dǎo)和改進(jìn)一線教師的教學(xué)設(shè)計。

一、反思學(xué)情

雖然處于本階段的學(xué)生是已具備了一定的知識儲備，是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量運(yùn)算及正弦定理的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本節(jié)課的，但相對來說本課的內(nèi)容思維量過大，而該階段學(xué)生在空間想象能力和邏輯分析能力方面不夠強(qiáng)，主動探究意識欠缺，使學(xué)生在探索余弦定理推導(dǎo)方法的過程中有很大的難度，這也是我在聽課前對老師怎樣解決這個難點所關(guān)注的焦點，但通過聽課筆者發(fā)現(xiàn)，授課教師并沒有很好的把握住這一階段學(xué)生的思維水平，直接將正弦定理作為推導(dǎo)余弦定理的入手點，這對聽課學(xué)生來說是很難把握的，所以學(xué)情的掌握和分析才是備課成功的關(guān)鍵，必須要在基于學(xué)生已有的認(rèn)知水平，設(shè)置符合他們思維水平能夠達(dá)到的最近發(fā)展區(qū)的問題。

二、反思教學(xué)過程

基于筆者對本次授課教師的實際觀察和分析，回現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)過程如下：

師：同學(xué)們，上節(jié)課我們剛學(xué)過正弦定理，請同學(xué)們跟老師一起回憶一下正弦定理的知識

生：在任意三角形中，都存在有如下恒等式關(guān)系（教師板書）

師：看來大家對上節(jié)課學(xué)的知識掌握的不錯，那正弦定理主要解決什么數(shù)學(xué)問題呢？

生：兩類解三角形問題

一類是已知兩邊和任意一邊所對的角，求另一邊和另兩個角

另一類是已知兩角和任意一角所對的邊，求另一角和另外兩條邊

師：很好，看來大家對這部分知識掌握的很扎實，那么我們現(xiàn)在來看這樣一個問題：若已知一個三角形的任意兩邊及其夾角，那又該如何求解另一邊和另外兩個角呢？

若已知邊a，b及角C，求邊c ？（請同學(xué)們思考一下）

生：可以用之前學(xué)過的知識點向量求解

師：不錯，有同學(xué)已經(jīng)在積極動腦思考，那老師提示一下，是否可以用上節(jié)課學(xué)過的的正弦定理求解？

生：不知道，沒有想過，可以嘗試求解看，應(yīng)該是可以的

師：若是能求解出來，那也算是正弦定理的另一種應(yīng)用

師、生：那我們一起來求解一下（教師、學(xué)生共同探討）

師：這是利用的上節(jié)課所學(xué)知識正弦定理所推導(dǎo)出來的，同學(xué)們覺得能理解嗎？

生：老師，感覺有點復(fù)雜，推導(dǎo)過程較難，不是很容易理解，還有就是你的語速太快了，有的地方思路完全沒跟上，如果是自己來推導(dǎo)一般不會想到這種方法

師：原來是這樣呀！我還以為以你們的基礎(chǔ)應(yīng)該對這種方法是不難理解的，應(yīng)該是能夠聯(lián)想到的，那你們能用語言總結(jié)一下這個式子嗎？

生：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與其夾角的余弦的積的兩倍

師：很棒，看來我們班同學(xué)們的總結(jié)能力還是很不錯的，我補(bǔ)充一下，一定是夾角與余弦的積的兩倍，要注意描述清楚，語言表述要精練、準(zhǔn)確，這也是我們這節(jié)課要學(xué)的新知識點

余弦定理，它也是解三角形的一個重要定理，那我們再用你們提到的向量法推導(dǎo)看看兩種方法結(jié)果是否一致？

若已知邊a，b及角C，求邊c ？

（請同學(xué)們思考一下用向量法求解，自主探究）

師：請同學(xué)們思考一下，在鈍角三角形中成立，那再銳角三角形中是否也成立呢？

生：（遲疑了幾分鐘，大部分學(xué)生）成立的

師：希望你們下課之后能夠再在銳角三角形中去驗證一下，數(shù)學(xué)是要用事實說話的，不能憑直覺。好，同學(xué)們，今天的課后作業(yè)是課后習(xí)題第1、2題，補(bǔ)充課外作業(yè)是回去再思考還有沒有其他推導(dǎo)余弦定理的方法？下節(jié)課我們來補(bǔ)充一下

生：好的

通過對以上教學(xué)過程的回顧，筆者認(rèn)為以下兩個方面是在進(jìn)行本節(jié)課教學(xué)設(shè)計時需要考慮的。

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境注重聯(lián)系生活實際

一個良好的情境引入就形同給學(xué)生搭建認(rèn)知知識的腳手架，它能夠很好地吸引學(xué)生注意力，促使學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，引起他們主動探索知識的欲望。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是與學(xué)生的日常生活密切相關(guān)的，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的心理發(fā)展順序和思維認(rèn)知規(guī)律的情境，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生的生活環(huán)境密切相關(guān)的情境問題，是一個教師充分挖掘教材本質(zhì)的關(guān)鍵和主體，也是一個教師備一堂好課的。從上面的教學(xué)過程來看，我認(rèn)為教學(xué)過程中問題情境的引入并不是很成功，授課只依據(jù)教材設(shè)計，采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)情境作為知識切入點，而沒有從學(xué)生比較熟悉的生活情境中去思考著手點。教師備課時需注意的是當(dāng)前教學(xué)不僅僅是只在于要讓學(xué)生掌握必備知識與技能，更要能發(fā)展他們熱愛數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度、價值觀，形成學(xué)學(xué)生關(guān)鍵的品格和必備能力，從而發(fā)展自身的核心素養(yǎng)。這樣的課堂設(shè)計若是對基礎(chǔ)較差的學(xué)生，無疑是會挫傷他們的學(xué)習(xí)積極性，也沒有讓學(xué)生明白為什么要學(xué)余弦定理，學(xué)習(xí)這個知識的目的是什么？只會更讓學(xué)生會感覺到有些無所適從和茫然，單純是為了解題嗎？我想并非如此吧，數(shù)學(xué)應(yīng)該是要能夠為人類解決實際問題的。

（二）多種方法并舉效果顯著

不同的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容需要不同的教學(xué)方法，不同層次的學(xué)生需要不同的教學(xué)方法，但是在余弦定理的推導(dǎo)、證明過程中，筆者認(rèn)為多種方法并舉授課效果好，因為這是高一的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不同的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和認(rèn)知能力的學(xué)生需要的方法不同，有的學(xué)生擅長幾何法，有的擅長向量法，甚至有的擅長坐標(biāo)法和正弦定理推導(dǎo)法，所以應(yīng)該在教學(xué)設(shè)計過程中，把問題設(shè)置成一系列問題串，充分發(fā)揮學(xué)生所長去解決數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，引導(dǎo)學(xué)生去探究推導(dǎo)余弦定理的各種不同的方法，并且認(rèn)識到各種不同的方法的區(qū)別與聯(lián)系，最終選擇最簡單易懂的方法，既能拓寬學(xué)生的發(fā)散思維，又能訓(xùn)練學(xué)生的輻合思維。

三、核心素養(yǎng)為教學(xué)提出新要求

隨著高中新課程改革的推進(jìn)，《普通新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)已成為適應(yīng)未來社會發(fā)展和個人終身發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力，這是學(xué)生面對未來世界發(fā)展和自身發(fā)展面臨的挑戰(zhàn)，那如何將核心素養(yǎng)的理念用來引領(lǐng)教學(xué)，這是當(dāng)前課堂教學(xué)改革的主要任務(wù)。目前滿堂灌的教學(xué)方式，已不再適應(yīng)新時代高中新課標(biāo)的理念，它既違背了知識的內(nèi)在發(fā)生規(guī)律，又違背了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，不可能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此必須要改變目前的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，落實核心素養(yǎng)必須要以學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的變革為保證。

解讀高中新課標(biāo)，核心素養(yǎng)要求教師要分層次化教學(xué)，滿足不同學(xué)生的差異化需求；核心素養(yǎng)要求教師要整體化教學(xué)，實現(xiàn)知識間的橫向聯(lián)系；核心素養(yǎng)要求教師要進(jìn)行主題化教學(xué)，讓學(xué)生掌握知識與知識間的橫向聯(lián)系還不夠，必須要能貫通知識間的縱向聯(lián)系；核心素養(yǎng)要求教師要問題驅(qū)動教學(xué)，實現(xiàn)知識間的橫縱聯(lián)系；核心素養(yǎng)要求教師要情景化設(shè)計教學(xué)，實現(xiàn)由學(xué)習(xí)走向生活，真實的生活情境在以核心素養(yǎng)為本的教學(xué)過程中有著重要的價值，當(dāng)前教師越發(fā)地重視從核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計。

回歸本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計來說，授課教師并未考慮到本節(jié)課的知識點對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用，而本節(jié)課的余弦定理這一知識點若是認(rèn)真加以分析，用心設(shè)計，其中所包含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是很多的，通過將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，可以設(shè)計數(shù)學(xué)實驗，這其中設(shè)計包含有從特殊到一半的歸納推理，這個過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)，又能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)實驗中分類討論的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，整個過程也很符合當(dāng)前高中階段學(xué)生的發(fā)展情況，學(xué)生抽象思維得到培養(yǎng)，素養(yǎng)得到很大的提升，信息技術(shù)很好地支撐數(shù)學(xué)教學(xué)活動，這正是當(dāng)前授課教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時所應(yīng)該思考和努力追求的目標(biāo)，也希望其他一線教師也能夠有所啟發(fā)，使自己的教學(xué)設(shè)計越來越貼近時代發(fā)展的要求和理念。

四、情感是激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的關(guān)鍵

情感、態(tài)度、價值觀是新課標(biāo)理念的三維目標(biāo)之一，作為年輕教師（特別是新手教師）的我們擁有著很大的精神財富----擁有激情，我們要以自己最好狀態(tài)展現(xiàn)給學(xué)生，要把自己所有精力和熱情都投入到學(xué)生中去，只有用自己的學(xué)識和滿腔的激情才能去最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，只有自己熱愛數(shù)學(xué)，潛心專研數(shù)學(xué)，才能對數(shù)學(xué)富有飽滿的熱情，這些才能夠潛移默化地不斷影響學(xué)生，一個連自己都不熱愛數(shù)學(xué)的老師又何以教授出熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生呢？教師要對學(xué)生充滿耐心和熱情，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于諄諄引導(dǎo)，對學(xué)生的課堂提問要積極反饋，對學(xué)生的課堂回答要鼓勵評價，不能惡語嘲諷謾罵，這些都能夠幫助教師激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，而且教師在教學(xué)過程中，要注重對學(xué)生思維訓(xùn)練的培養(yǎng)，包括發(fā)散思維和收斂思維，給學(xué)生主動探究、自我思考的空間，營造一個和諧，民主、平等的課堂學(xué)習(xí)氣氛，幫助學(xué)生能夠輕松愉快的學(xué)習(xí)。

五、結(jié)論

在最新頒布的高中新課標(biāo)的理念指引下，必須要視核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)，為當(dāng)前的中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要注入新的數(shù)學(xué)文化，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，設(shè)計符合課堂數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的生活情境，提倡問題驅(qū)動式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠養(yǎng)成在現(xiàn)實生活中主動地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，提出數(shù)學(xué)問題，分析問題、解決數(shù)學(xué)問題的四能習(xí)慣，這也是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思維訓(xùn)練，還是學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力培養(yǎng)途徑，讓學(xué)生最終能夠?qū)W會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，通過“三會”表現(xiàn)出來，實現(xiàn)素養(yǎng)育人的目的。

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作者簡介：廖天飛（1995.7—），女，云南省昭通人，重慶市沙坪壩區(qū)重慶師范大學(xué)大學(xué)城校區(qū)，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）碩士生。

（重慶師范大學(xué) 重慶市沙坪虎溪校區(qū) 401331）