彭向陽
我是余弦,我不滿,很是不滿.
本來三角函數(shù)家族里,我們正弦、余弦和正切是一脈同胞——都源白角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)的比值sin α=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x(其中r=√x2+y2)——地位相同,各有特色,互補(bǔ)共進(jìn),各司其職.然而在一個數(shù)學(xué)老師手里,我卻完全被埋沒了,這個數(shù)學(xué)老師專寵正弦,將我余弦拋諸腦后,還告誡學(xué)生,只要掌握了正弦和正弦函數(shù)的性質(zhì),余弦都可以轉(zhuǎn)化為正弦來處理.他的根據(jù)就是那個可恨的誘導(dǎo)公式:sin(x+π/2)=cosx.
用圖象變換來解釋就是:將它正弦函數(shù)的圖象向左邊平移號個單位,就得到我余弦函數(shù)的圖象,在這個公式的掩蓋下,我余弦沒有出頭之日,只能躲在正弦的陰影里,你說我能不怨恨嗎?既生它正弦,義何必生我余弦?
首先,從性質(zhì)上講,讓我成為正弦的附庸,置于可有可無的境地:
記住正弦函數(shù)的這些性質(zhì),求解余弦函數(shù)的性質(zhì)時,只要將對應(yīng)的區(qū)間、直線或者點(diǎn)向左邊平移π/2即可.
其次,在化簡求函數(shù)解析式時,有的老師竟然強(qiáng)調(diào)全部化為正弦的形式,將我擱在被人遺忘的角落里.例如:
至此,學(xué)生都遵照那個“嫌棄”我余弦的數(shù)學(xué)老師的教導(dǎo),化為正弦,得到f(x)=sin(2x+π/3),再來解決下面的問題,我真的生氣了,難道化為我余弦來解答就不能解決問題?不信請看:
(1)最小正周期為2π/2=兀.
這是2017年北京高考試題,用我余弦來解,也很簡單,很快捷吧!再如:
(1)求f(x)的值.
(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
這可是2017年浙江省高考題,用我余弦來解答也一樣方便快捷吧!
于是我將自己的怨恨寫信給這個老師,沒過幾天就收到了他的回信:親愛的余弦(函數(shù)):
我要向你說聲對不起,不是我“嫌棄”你,也不是我“拋棄”你.與其讓學(xué)生死記硬背你,倒不如類比聯(lián)想記憶你——緊扣你同“正弦”的形同特點(diǎn)——只需平移關(guān)系,這樣學(xué)生對你的印象不是削弱了,反而更加強(qiáng)了,感覺你更生動,更形象,更有活力了.其實數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程也是一個類比聯(lián)想的過程,抓住知識點(diǎn)或數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián),就綱舉目張,一通百通,舉一反三.在三角函數(shù)大家庭里,你們?nèi)值埽窍嗷ヂ?lián)系、血肉相連的,這一點(diǎn)從你們的定義和同角三角函數(shù)之間的關(guān)系也可以看出來,已知你們中的一個就可以求出另外兩個,特別是你與正弦,更是唇齒相依的關(guān)系——如果唇亡,則一定齒寒,在許多實際問題的解答中也是需要你們相互配合,緊密相扣的.我舉個例子吧.
如圖1,某廣場中間有一塊扇形狀綠地OAB,其中O為扇形所在圓的圓心,半徑為1,∠AOB=π/2.廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路:在AB上選一點(diǎn)C,過C修建與OB平行的小路CD,與OA平行的小路CE.問C點(diǎn)應(yīng)選在何處,才能使得修建的道路CD與CE的總長最大,并說明理由.
解 如圖1,將扇形放入平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)∠AOC=α,(OE=r,則C( cos α,sin α),E(rcosπ/3,rsinπ/3),即E(1/2r,√3/2r).
于是有√3/2r=sin α,所以r=2sinα/√3.
于是CD+CE=r+ cos α-1/2r=1/2r+COS α=sinα/√3+cosα=2/√3sin(a+π/3).
由于0<α<π/3,所以π/3<α+α/3<2π/3,當(dāng)a+π/3=π/2,即α=π/6時,也就是C為AB的中點(diǎn)時,修建的道路CD與CE的總長最大,為2√3/3.
你看,這個例題中離開了你余弦,能夠解答嗎?至少解答很不容易吧.所以每個數(shù)學(xué)概念都是數(shù)學(xué)大廈的一塊基石,在人類構(gòu)筑現(xiàn)代文明社會時都不可或缺.
我看后,滿臉慚愧,再也沒有抱怨了,我也是數(shù)學(xué)大家庭中重要的一員,我要和正弦一起,和數(shù)學(xué)大家庭中的每一位成員一起,和睦相處,為數(shù)學(xué)作出自己的貢獻(xiàn).