李紅

青年問禪師：“我覺得我在這個世界上是多余的，沒有人需要我.”

禪師說：“就像你所學(xué)的數(shù)學(xué)，無論怎樣復(fù)雜艱深的函數(shù)，都有適合的圖象對應(yīng).你只是還沒找到那個圖象而已.”

青年沉思一番，提筆寫下了狄利克雷函數(shù)的描述.

狄利克雷函數(shù)可以簡單地表示為分段函數(shù)的形式：D（x）={1，x為有理數(shù)，0，x為無理數(shù).在中學(xué)范圍內(nèi)，我們可以理解的基本性質(zhì)有：（1）定義域為整個實數(shù)域R;（2）值域為{0，1};（3）函數(shù)為偶函數(shù);（4）無法畫出函數(shù)圖象，但是它的函數(shù)圖象客觀存在;（5）以任意正有理數(shù)為其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函數(shù)的簡介

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展過程中的標志性事件之一.狄利克雷（1805- 1859），德國數(shù)學(xué)家，他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人，很多小學(xué)生熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫真，狄利克雷函數(shù)圖象是客觀存在，但卻無法畫出的.

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，不僅給了我們一個無法畫出函數(shù)圖象的反例，而且極大地推動了函數(shù)概念的發(fā)展，使人們對函數(shù)的認識超越了1718年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利提出的函數(shù)解析式定義的階段.在1837年，狄利克雷認識到怎樣去建立兩個量x與y之間的函數(shù)解析式是無關(guān)緊要的，關(guān)鍵是建立它們之間的對應(yīng)，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù).”這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值x，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.

同樣，周期性是函數(shù)的另一個重要性質(zhì).具有周期性的函數(shù)，我們更關(guān)心函數(shù)的最小正周期.那么，具有周期性的函數(shù)是不是都有最小正周期呢？答案是否定的，狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但是沒有最小正周期，因為不存在最小正有理數(shù).

二、狄利克雷函數(shù)的應(yīng)用所以，周期T=3，故a20=a2= √3.

點評 該問題以狄利克雷函數(shù)為背景，將周期性和數(shù)列性質(zhì)進行有機整合，有韻味有變化，看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜卻并不復(fù)雜.

例 2

已知函數(shù) f（x）={ 1，x，為有理數(shù)，0，x、為無理數(shù)，出下列四個命題：

①函數(shù)f（x）是偶函數(shù);

②函數(shù)f（x）是周期函數(shù);

③存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點（xi，f（xi））（i=l，2，3）為頂點的三角形是等邊三角形;

④存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點的三角形是等腰直角三角形.

其中，所有真命題的序號是_____（填上你認為正確的所有命題的序號）.

解析 ①若x為有理數(shù)，則 -x也為有理數(shù)，所以f（x）=f（x）=1;

若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，所以f（x）=f（-x）=0.

綜上有f（x）=f（-x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，①正確.

②若x為有理數(shù)，則x+3也為有理數(shù)，于是f（x+3）=f（x）=1;若x為無理數(shù)，則x+3也為無理數(shù)，則f（x+3）=f（x）=0，故3為函數(shù)的一個周期，即f（x）是周期函數(shù)，故②正確（易知，任何一個芷有理數(shù)都是它的周期）.

③設(shè)三個點（x1，0），（x2，1）（x3，0），且x1=x3= 2x2，x3-x2=√3/3，令x2=0，x1=-√3/3，x3=√3/3，合題意，③正確.

④假設(shè)存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB在x軸上，點C在直線y=1上，故斜邊AB=2，且點A，B的橫坐標是無理數(shù)，則斜邊AB的中點橫坐標也是無理數(shù)，C的橫坐標是無理數(shù)，縱坐標只能為0，不符合題意;若斜邊AB在直線y=l上，點C在x軸上，故斜邊AB=2，且點A，B的橫坐標是有理數(shù)，則斜邊AB的中點橫坐標也是有理數(shù)，C的橫坐標是有理數(shù)，縱坐標只能為1，不符合題意，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯誤.

故正確答案為①②③.

點評 要解決好這個問題，我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中，結(jié)合狄利克雷函數(shù)性質(zhì)進行了構(gòu)造處理，或許數(shù)形結(jié)合效果會更好，不妨試試看.

文章到此應(yīng)該結(jié)束了，但我仍然有意猶未盡的感覺，忽然想到了狄利克雷的一則軼聞.

狄利克雷一生只癡迷于數(shù)學(xué)事業(yè)，對于個人和家庭都是漫不經(jīng)心的.當(dāng)他的第一個孩子出生時，向岳父寫的信中只寫上了一個式子：2+1=3.

你懂的.

鞏固練習(xí)

1.（福建卷）設(shè)函數(shù)D（x）={1，x，為有理數(shù)，0，x為無理數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.D（x）的值域為{O，1}

B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù)

D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

2.f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2 +nx+p，a，b，c，m，n，p為非零常數(shù)，其中b2- 4ac=a2，設(shè)d（x）={x，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù) 關(guān)于x的方程f（d（g（x）））=0的解最多有___個.

參考答案

1.C. 2.4.