龐琳佳,王小鵬,陳松,奚延輝

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安;2.西安近代化學(xué)研究所氟氮化工資源高效開發(fā)與利用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710065,西安)

當(dāng)裝有液體的圓柱形剛性容器底部有一垂直振動(dòng)激勵(lì)時(shí),在自由液面上會(huì)形成非線性表面駐波,這就是法拉第波現(xiàn)象[1]。法拉第波的不穩(wěn)定性問題是當(dāng)今流體力學(xué)中不穩(wěn)定性問題之一,此類波動(dòng)問題具有重要的工程背景和理論意義,法拉第波的條紋、方形、五邊形、六邊形等各種模態(tài)相繼被發(fā)現(xiàn)[2-8]。

法拉第指出,這種表面波的頻率是垂直激勵(lì)頻率的一半,隨后Rayleigh做了一系列相關(guān)實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了法拉第關(guān)于表面波頻率的觀點(diǎn),但未給出數(shù)學(xué)上的解釋[9]。1954年,Benjanmin等從理想流體出發(fā),將邊界條件線性化并考慮了表面張力的影響,得到了描述自由表面運(yùn)動(dòng)的Mathieu方程,并用穩(wěn)定性理論證實(shí)了法拉第的結(jié)論[10]。但是,目前大多數(shù)學(xué)者對法拉第表面波的研究主要集中在頻率小于20 Hz、液面低于5 mm的階段,對于頻率在60 Hz左右、液面較深的法拉第波并未見相關(guān)的報(bào)道。

超細(xì)材料已廣泛應(yīng)用于航空航天、國防軍工、生物工程、機(jī)械、電子等領(lǐng)域。超細(xì)材料的關(guān)鍵指標(biāo)是其在基體中的分散混合均勻性,而傳統(tǒng)超細(xì)材料分散混合技術(shù)通過較大的剪切力、擠壓力或局部空蝕作用打開超細(xì)材料的團(tuán)聚來實(shí)現(xiàn)分散,此過程會(huì)對材料產(chǎn)生較大的應(yīng)力刺激,伴隨較強(qiáng)的生熱過程,因此提出一種新型分散技術(shù)。共振混合是一種新型低頻混合技術(shù)[11-13],通過混合容器外部激勵(lì)使容器內(nèi)混合物產(chǎn)生密度差異和能量梯度,造成混合物大范圍內(nèi)的對流共同作用,達(dá)到分散混合的目的,該方法是一種無漿混合技術(shù),避免了被混物料與槳葉、螺桿等元件的局部強(qiáng)烈剪切和摩擦,大大降低了混合過程的力刺激和熱刺激[14]。

綜上所述,本文主要針對共振混合容器中較高激振頻率、較高液面的法拉第表面波波動(dòng)進(jìn)行研究。以水波波動(dòng)為基礎(chǔ),建立混合容器數(shù)學(xué)模型,探究在各參數(shù)激勵(lì)下混合容器中所激發(fā)的表面波模式及非線性特性關(guān)系。

1 理論分析

1.1 運(yùn)動(dòng)控制方程

本文所研究共振混合容器中的波為水表面波,即在初始擾動(dòng)后,其恢復(fù)力是重力。在共振混合實(shí)驗(yàn)中,底部激振器垂直振動(dòng),通過支架、彈簧組、負(fù)載板等力的傳遞,給混合容器底部施加一個(gè)垂直激勵(lì),機(jī)械能作為輸入能,水波作為輸出能。若混合容器為圓柱形,可將混合容器簡化為數(shù)學(xué)模型,如圖1所示,圖中容器半徑為R,液面高度為h,容器底部受到垂直方向的激振力F=Acos(2w0t)。

圖1 混合容器簡化模型

假設(shè)圓柱形內(nèi)液體無黏且不可壓縮,同時(shí)滿足連續(xù)性方程[15],即

·u=0

(1)

式中:u為空間點(diǎn)(x,y,z)處t時(shí)刻的流體速度。假定流體是無旋的,即有

×u=0

(2)

在柱坐標(biāo)系(r,θ,t)下,以運(yùn)動(dòng)容器為參考系,將自由液面作為平面z=0,于是存在速度勢函數(shù)φ,有u=φ,代入式(1)可得[16]

2φ=0-h

(3)

(4)

式中g(shù)為重力加速度。

對平底流場,假設(shè)底部不可滲透、無黏性,底面上各點(diǎn)線速度為0,可得邊界條件

φz=0;z=-h

(5)

φr=0;r=R

(6)

將式(6)在z=0點(diǎn)泰勒展開,原方程可化為

(7)

邊界條件

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:ε為與驅(qū)動(dòng)振幅有關(guān)的小參量,ε遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。

1.2 表面波非線性解

水波問題是帶有非線性邊界條件的不定邊界問題,通常采用數(shù)學(xué)物理方程中的攝動(dòng)方法,把水波問題的解按照某個(gè)小參量用漸近級(jí)數(shù)展開,一階近似的解即為小振幅波(Airy波)[17]。這個(gè)小參量可設(shè)為波高與波長之比,小振幅波的振幅和速度都是最小量,其壓力由靜水壓力和動(dòng)壓力組成。本文借鑒文獻(xiàn)[18],利用攝動(dòng)展開法,引入慢變時(shí)間尺度τ,令τ=ε2t,將方程的解按照小參量ε做攝動(dòng)展開,對控制方程及式(7)～(11)進(jìn)行求解,得速度勢和自由面位移的表達(dá)式

φ(r,θ,z,t,τ)=εφ1+ε2φ2

(12)

η(r,θ)=εη1+ε2η2

(13)

Ω2=gλmntanh(λmnh)

(14)

式中:φ1、φ2分別為速度勢函數(shù)一階解、二階解;η1、η2分別為自由面位移一階解、二階解;Ω為表面波的自然頻率。

2 共振混合容器中的表面波特性

求得自由面位移波動(dòng)方程后,本文將對不同驅(qū)動(dòng)頻率與不同時(shí)段下混合容器內(nèi)自由液面處表面波模式進(jìn)行數(shù)值模擬分析。

2.1 不同驅(qū)動(dòng)頻率下表面波模式

在某一特定參數(shù)激勵(lì)條件下,混合容器內(nèi)自由液面處會(huì)形成各式各樣的波紋,稱為表面波(m,n)模式。所謂(m,n)模式是指在坐標(biāo)區(qū)域?yàn)?-1,1)內(nèi),沿圓周方向分別有m個(gè)波峰和m個(gè)波谷,即沿直徑方向共有m條通過原點(diǎn)的對角線,沿半徑方向有(n-1)個(gè)波節(jié)環(huán)。

(1)表面波(8,4)模式。混合容器材料為PMMA有機(jī)玻璃,容器直徑為90 mm,高度為100 mm。若混合容器內(nèi)液面高度為7 cm,當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率為36 Hz、加速度為10g時(shí),通過計(jì)算可知混合容器振動(dòng)幅值為1.9 mm,且混合容器內(nèi)自由液面處所激發(fā)的表面波為(8,4)模式,數(shù)值模擬圖如圖2所示。計(jì)算過程采用柱坐標(biāo)系x=rcosθ、y=rsinθ,分別沿半徑方向分布;深色區(qū)域表示在該位置處位移高于自由液面,淺色區(qū)域表示在該位置處位移低于自由液面,并且深色區(qū)域越深表示高出自由液面的差值就越大,淺色區(qū)域越深表示低于自由液面的差值就越大。表面波俯視圖如圖2a所示,在區(qū)間(-1,1)內(nèi),沿圓周方向分別有8個(gè)波峰和8個(gè)波谷,即沿直徑方向共有8條通過原點(diǎn)的對角線,沿半徑方向有3個(gè)波節(jié)環(huán)。由圖2a可知,越靠近激振中心的位置,自由面位移就越大,離激振中心越遠(yuǎn),自由面位移就越小。(8,4)模式下單一相鄰波峰波谷圖如圖2b所示,0位置表示混合容器自由液面處,深色區(qū)域代表表面波的波峰,淺色區(qū)域代表表面波的波谷。

(a)表面波俯視圖 (b)波峰波谷圖圖2 表面波(8,4)模式模擬圖

(2)表面波(7,6)模式。在共振混合容器相同條件下,若驅(qū)動(dòng)頻率為52 Hz、加速度為10g,混合容器內(nèi)的液面高度為7 cm,通過計(jì)算可得混合容器振動(dòng)幅值為0.9 mm,混合容器內(nèi)所激發(fā)的表面波為(7,6)模式?；旌先萜鞅砻娌?7,6)模式數(shù)值模擬圖如圖3所示。沿圓周方向分別有7個(gè)波峰和7個(gè)波谷,沿半徑方向有5個(gè)波節(jié)環(huán)。同一半徑方向上,越靠近激振中心的位置自由面位移越大,遠(yuǎn)離激振中心的位置自由面位移越小。

(a)表面波俯視圖 (b)波峰波谷圖圖3 表面波(7,6)模式模擬圖

對比圖3、圖4可知,通過數(shù)值計(jì)算,在給定的溶液、容器、加速度的條件下,頻率增大所激發(fā)的表面波模式變得相對復(fù)雜。水波中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是縱向和橫向運(yùn)動(dòng)合成的,靠近激振中心振幅最大,說明此處水波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)劇烈,遠(yuǎn)離激振中心振幅逐漸減小,說明水波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)逐漸減弱,這一變化過程體現(xiàn)出水波固有的擴(kuò)散性與衰減性。此外,(7,6)模式所激發(fā)出的波高(相鄰波峰波谷距自由面位移之和)大于(8,4)模式下所激發(fā)出的波高,這是由激振頻率大小引起的。由于自由面表面波函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),因此根據(jù)法拉第表面波函數(shù)的奇異性,在表面波等高線圖的數(shù)值結(jié)果中中間區(qū)域?yàn)榭?即表面波在圓柱容器軸線上振幅為0。

2.2 不同時(shí)段下模式變化圖

為探究不同時(shí)間段內(nèi)表面波的變化情況,對表面波(7,6)模式進(jìn)行研究,通過對時(shí)間段4.163～4.168 ms內(nèi)混合容器內(nèi)表面波進(jìn)行數(shù)值模擬,以此揭示水波的運(yùn)動(dòng)特征。

不同時(shí)段下表面波模式如圖4所示,可知在同一圓周上各位置處振幅大小不同,在同一半徑上各位置處振幅大小也各不相同,各時(shí)間點(diǎn)、各位置處振幅大小不一致。圖4a中近圓心處與遠(yuǎn)離圓心處振幅差值不大,淺色區(qū)域表示該位置處振幅最大,深色區(qū)域表明振幅最小;圖4b中最大振幅處與最小振幅處差值顯著,波紋明顯增加,激振中心不同位置處振幅最大值與最小值交錯(cuò)排列;圖4c中在同一圓周上各位置處振幅大小均相等且在同一半徑上,越靠近激振中心的位置處振幅越大,越遠(yuǎn)離激振中心的位置處振幅越小,顏色均勻分布,波紋分布明顯且排列整齊,表明這一時(shí)刻(7,6)模式被完全激發(fā)出來。隨著時(shí)間的推移,圖4d中同一圓周處振幅大小不一致,振幅最大處與振幅最小處發(fā)生位置互換,顏色開始發(fā)生不均勻現(xiàn)象,右上角淺色區(qū)域表示該位置處振幅最大,右下角深色區(qū)域表示振幅最小,顏色分布與圖4b發(fā)生位置互換。圖4e顏色較圖4d的明顯變淺,且波紋減少,右上角區(qū)域振幅最大,右下角區(qū)域振幅最小,與圖4a發(fā)生了位置互換。

軸向展開圖 表面波俯視圖(a)t=4.163 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(b)t=4.166 2 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(c)t=4.166 52 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(d)t=4.167 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(e)t=4.168 ms圖4 不同時(shí)段下表面波模式

由圖4可知,共振混合容器中法拉第表面波的變化與時(shí)間緊密相關(guān)。在某一時(shí)間段內(nèi),隨著時(shí)間的推移,表面波(7,6)模式在某一時(shí)間點(diǎn)處完全出現(xiàn),隨后逐漸消散,振幅最大處與振幅最小處發(fā)生位置變化,說明在模式完全出現(xiàn)前后,水波波峰、波谷位置不斷變化,且表面條紋圖案也發(fā)生變化。這一過程表明受底部激勵(lì)的混合容器內(nèi)水波質(zhì)點(diǎn)發(fā)生一維方向上的遷移,隨著激勵(lì)振幅大小的變化而不斷變化,揭示了水波運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性。

3 時(shí)空混沌現(xiàn)象

時(shí)空混沌(STC)是指在同時(shí)具有空間和時(shí)間自由度的時(shí)空系統(tǒng)中表現(xiàn)出時(shí)間混沌而空間不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)行為,在參數(shù)強(qiáng)迫的表面波中表現(xiàn)為無序波動(dòng)域與水波條紋共存的現(xiàn)象[19]。與STC相關(guān)現(xiàn)象包括時(shí)空間歇性、時(shí)間平均模式的空間周期性和橫向振幅調(diào)制。本文對短時(shí)間內(nèi)表面波(7,6)模式時(shí)空混沌現(xiàn)象進(jìn)行了研究。

(a)t=0.12 s (b)t=0.15 s

(c)t=0.17 s圖5 時(shí)空混沌現(xiàn)象

時(shí)空混沌現(xiàn)象如圖5所示,由共振混合容器參數(shù)不穩(wěn)定引起的法拉第表面波,在短時(shí)間內(nèi)快速失穩(wěn)導(dǎo)致STC的出現(xiàn)。由圖5可知:時(shí)間從0.12 s到0.17 s的過程中,混合狀態(tài)下條紋區(qū)域會(huì)受到振蕩不穩(wěn)定性的扭曲,混合容器中心產(chǎn)生的奇異點(diǎn)處,表面波波紋較明顯;隨著時(shí)間的推移,從奇異點(diǎn)處開始延伸到容器邊界處的波紋慢慢減少,這說明容器邊界同心圓區(qū)域處開始出現(xiàn)時(shí)空混沌現(xiàn)象,導(dǎo)致數(shù)值仿真結(jié)果中表面波波紋函數(shù)在容器邊界處無法體現(xiàn)。此外,不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)下所對應(yīng)的顏色不同,表示波動(dòng)位移值也在隨著時(shí)間的變化而變化,表明在參數(shù)強(qiáng)迫表面波過程中,體現(xiàn)了強(qiáng)烈的時(shí)空混沌和層流條紋共存的一種狀態(tài)。

4 結(jié) 論

本文對共振混合容器中自由液面處表面波動(dòng)情況進(jìn)行了研究,通過簡化混合容器邊界條件,建立了混合容器模型與數(shù)學(xué)表達(dá)式,通過方程求解并對自由液面處水波進(jìn)行數(shù)值模擬,研究了不同參數(shù)下水波變化與運(yùn)動(dòng)特性,對今后研究混合容器內(nèi)法拉第波對液體混合的影響具有指導(dǎo)意義。

(1)本文基于激振頻率對法拉第表面水波的影響進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)混合容器半徑與液面高度不變的情況下,表面波模式隨著頻率的增大而變得復(fù)雜。自由面表面波函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),因此表面波在圓柱容器軸線上振幅為0,這種現(xiàn)象與數(shù)學(xué)上法拉第表面波波動(dòng)的奇異性一致。

(2)通過對(7,6)模式下不同時(shí)段內(nèi)表面波進(jìn)行探究,表明混合容器中法拉第表面波的波動(dòng)變化與時(shí)間有關(guān)。變化過程中數(shù)值模擬可得:振幅最大處與振幅最小處發(fā)生位置變化,且表面條紋圖案發(fā)生變化,說明混合容器內(nèi)水波質(zhì)點(diǎn)在一維方向上發(fā)生遷移,證明了水波波動(dòng)的不穩(wěn)定性。

(3)通過對(7,6)模式下時(shí)空混沌現(xiàn)象進(jìn)行研究,可得STC現(xiàn)象最開始發(fā)生在容器邊界處,并緩慢向奇異中心點(diǎn)延伸,混合容器參數(shù)不穩(wěn)定性會(huì)引起時(shí)空混沌與表面波條紋共存的現(xiàn)象。