樓俊民

摘要：《倍數(shù)和因數(shù)的概念》在北師大版五年級(jí)上冊(cè)的第31-32頁，是第三單元《倍數(shù)與因數(shù)》的起始。它是在學(xué)生學(xué)過整數(shù)的認(rèn)識(shí)，整數(shù)的四則運(yùn)算等知識(shí)的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的。同時(shí)，倍數(shù)與因數(shù)的概念也是以后學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)，公倍數(shù)和公因數(shù)等概念的重要基礎(chǔ)。對(duì)于以何種方式引入因數(shù)與倍數(shù)的概念，不同版本的教材有著不同的安排。

關(guān)鍵詞：倍數(shù);因數(shù);小學(xué)數(shù)學(xué)

一、現(xiàn)行各版本教材的安排

這里選取八套教材：人教版、北師大版、蘇教版、西南師大版、青島版、浙教版。對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)引入的材料可以分成三類：

從表中可以看出，各版本教材有從乘法算式引入的，有從除法算式引入的，也有折中考慮，同時(shí)列出乘法和除法算式來引出因數(shù)與倍數(shù)概念的。這一方面是由于乘除法之間的互逆關(guān)系，無論是乘法算式引入，還是除法算式引入，在本質(zhì)上都是相通的。另一方面也說明專家對(duì)如何引出因數(shù)和倍數(shù)概念并不統(tǒng)一。不論是乘法算式引入，還是除法算式引入，都有不同的利和弊。在取舍時(shí)，出于不同的考量，所以做出不同的安排。

二、下面以北師大版和人教版作為典型對(duì)各自的利弊展開分析

（一）北師大版教材的安排

北師大版是這樣引入因數(shù)和倍數(shù)概念的。首先創(chuàng)設(shè)兩個(gè)班同學(xué)分別排列成兩種隊(duì)形，算一算兩班各有多少人的情境，讓學(xué)生根據(jù)情境寫出乘法算式。

接著，結(jié)合具體的乘法算式，給出倍數(shù)與因數(shù)的意義，也就是由9×4=36，可以判斷出36是9和4的倍數(shù)，9和4是36的因數(shù)。把乘數(shù)與積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系。同時(shí)，借智慧老人的告知學(xué)生“只在自然數(shù)（零除外）范圍內(nèi)研究倍數(shù)和因數(shù)。”

然后，對(duì)給定的兩個(gè)算式，判斷倍數(shù)與因數(shù)，說一說哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)。通過模仿練習(xí)，幫助學(xué)生正確區(qū)分倍數(shù)和因數(shù)，鞏固和掌握倍數(shù)與因數(shù)的概念。

可以看出，北師大版教材沒有從整除的概念出發(fā)，而是采用一個(gè)乘法算式直接引出“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念。相對(duì)于除法而言，乘法更容易為學(xué)生理解，因?yàn)橛贸朔ㄋ闶剑瑢W(xué)生就不必通過a能被b整除，來反推出b是a的因數(shù)，a是b的倍數(shù)，從而大大降低了學(xué)生判斷因數(shù)和倍數(shù)的難度。教學(xué)用書中提到：“在內(nèi)容安排上適當(dāng)降低了知識(shí)難度……沒有出現(xiàn)整除、互質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等數(shù)學(xué)概念”這也能佐證采用乘法算式來揭示倍數(shù)與因數(shù)的概念，是出于降低難度的考慮。

但是從知識(shí)邏輯的角度來看，因數(shù)與倍數(shù)的概念是在整除的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。在整數(shù)除法里，如果整數(shù)a能被整數(shù)b（b≠0）整除，那么a叫作b的倍數(shù)，b叫作a的因數(shù)。也就是說，從邏輯上來講整除是產(chǎn)生因數(shù)與倍數(shù)概念的前提，有了整除，才有了因數(shù)和倍數(shù);離開了整除，因數(shù)和倍數(shù)的概念就好比是空中樓閣，無從談起。所以，倍數(shù)與因數(shù)的概念，本身是與整數(shù)四則運(yùn)算有著密切關(guān)系的。可以利用學(xué)生已有的整除的知識(shí)，構(gòu)建出因數(shù)與倍數(shù)的概念。北師大版教材在揭示因數(shù)和倍數(shù)的概念后，借智慧老人以告知的形式規(guī)定“在非0自然數(shù)的范圍內(nèi)研究倍數(shù)和因數(shù)”，這里總是讓人感到數(shù)學(xué)不夠講道理。

（二）人教版教材的安排

人教版教材由9個(gè)整數(shù)除法算式引入。首先通過觀察，對(duì)算式進(jìn)行分類。在分類的基礎(chǔ)上，概括出其中一類具有“商是整數(shù)而沒有余數(shù)”的共同屬性。

然后，結(jié)合整除算式12÷2=6，給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。如果12÷2=6，那么12是2和6的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。這個(gè)過程，雖然沒有給出整除的定義，但是確實(shí)是由整除的本質(zhì)過渡到因數(shù)和倍數(shù)的概念的。接著，回到第一類的除法算式中判斷倍數(shù)與因數(shù)，說一說誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。讓學(xué)生正確區(qū)分倍數(shù)和因數(shù)，同時(shí)體會(huì)倍數(shù)和因數(shù)相互依存的關(guān)系。

通過對(duì)比，可以看出人教版與北師大版的區(qū)別主要在引入材料上的不同。學(xué)生對(duì)整除是有豐富的經(jīng)驗(yàn)的，在前面整數(shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)積累了大量的整除和有余除法的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)整除的意義已經(jīng)有了比較清楚的認(rèn)識(shí)，判讀一個(gè)數(shù)能否被另一個(gè)數(shù)整除是不困難的，幾倍的概念也已經(jīng)存在于學(xué)生的頭腦中。

對(duì)此，筆者傾向于通過喚醒學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來引入因數(shù)和倍數(shù)，因?yàn)檫@樣更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更有利于因數(shù)與倍數(shù)概念的建立。有根源的知識(shí)，才會(huì)生根發(fā)芽，成為學(xué)生自主建構(gòu)體系的一部分

參考文獻(xiàn)

[1]在比較和發(fā)現(xiàn)中探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)——《倍數(shù)和因數(shù)》教學(xué)新設(shè)計(jì).

[2]適時(shí)滲透靈活嫁接——《倍數(shù)和因數(shù)》教學(xué)及思考.