茅 晨 高 翔 徐國政 宋愛國

（1.南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院，南京，210023；2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京，210096）

引 言

傳感器的感知和反饋是機器人智能化的重要手段之一[1]。六維腕力傳感器安裝于機器人手腕和手爪之間，用于檢測機器人手在作業(yè)時與所處外界環(huán)境的作用力/力矩的大小及方向[2-4]。由于結(jié)構(gòu)設(shè)計的原因，六維腕力傳感器存在維間耦合的問題，需要采用合適的解耦算法來消除維間耦合，提高傳感器的測量精度。常用的解耦算法有基于最小二乘求解標(biāo)定矩陣[5]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法[6]等。前者容易產(chǎn)生病態(tài)矩陣，會導(dǎo)致解耦精度降低甚至導(dǎo)致解耦結(jié)果錯誤[7]；后者容易產(chǎn)生局部極小值從而導(dǎo)致過學(xué)習(xí)的情況[8]。

支持向量回歸機（Support vector regression,SVR）是在統(tǒng)計學(xué)理論和最優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種機器學(xué)習(xí)方法，能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化，得到全局最優(yōu)解，同時避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中局部最小值、過擬合的問題[9]。SVR主要應(yīng)用在模式識別、回歸估計、概率密度函數(shù)估計等方面[10-11]。對六維腕力傳感器進行解耦，即是利用標(biāo)定的輸入輸出樣本數(shù)據(jù)對傳感器的輸出特性進行回歸估計的過程。因此，本文提出了基于多輸出支持向量回歸機（Multi-output support vector regression,MSVR）的六維腕力傳感器的解耦算法，并將其應(yīng)用到實驗室研制的六維腕力傳感器上。實驗結(jié)果表明，該算法穩(wěn)定可靠，能顯著提高傳感器的測量精度。

1 六維腕力傳感器的維間耦合及靜態(tài)標(biāo)定

1.1 耦合模型及解耦

理想的六維腕力傳感器，每一方向輸出通道的電壓值僅取決于該方向作用力/力矩的大小，與其余五方向作用力/力矩大小無關(guān)。但實際上受傳感器的一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計、機械加工精度、應(yīng)變片橫向效應(yīng)等因素影響[12]，幾乎作用到傳感器上的每一維力/力矩分量都會對傳感器的各路輸出信號產(chǎn)生影響，這就是維間耦合[13]。維間耦合模型如圖1所示。

圖 1 中，F(xiàn)=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，Mx，My，Mz)T為傳感器的 6個力/力矩分量輸入，U=(UFx，UFy，UFz，UMx，UMy，UMz)T為6路電壓分量輸出。由維間耦合模型可知，每一路的輸出電壓值同時受6個方向的力/力矩分量影響。必須對傳感器進行解耦，減少維間耦合對測量精度的影響。

圖1 維間耦合模型Fig.1 Model of interdimensional coupling

1.2 靜態(tài)標(biāo)定裝置與方法

傳感器的標(biāo)定分為靜態(tài)標(biāo)定與動態(tài)標(biāo)定[14]。動態(tài)標(biāo)定主要用于檢驗傳感器動態(tài)靈敏度、頻率響應(yīng)等動態(tài)特性，靜態(tài)標(biāo)定主要用于測試傳感器靜態(tài)靈敏度、非線性、靜態(tài)耦合等指標(biāo)。本文研究的是多維腕力傳感器的靜態(tài)耦合，因此采用砝碼重錘式靜態(tài)標(biāo)定方法。其標(biāo)定裝置為本實驗室自行研制的如圖2所示的加載實驗臺[15]。

圖2 力/力矩加載實驗臺示意圖Fig.2 Schematic diagram of force/torque loading test bench

六維腕力傳感器固定在分度盤上，傳力軸穿過傳感器的中軸線。標(biāo)定實驗中力/力矩的加載方式采用拉力方式，通過調(diào)節(jié)左右滑桿的上下位置，將砝碼的垂直重力轉(zhuǎn)換為水平拉力。利用加載實驗臺，對六維腕力傳感器分別施加三維空間6個線性獨立的標(biāo)準(zhǔn)力/力矩分量。實驗室研制的六維腕力傳感器的滿量程范圍為：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z方向為-100～100 N；Mx，My，Mz方向為-30～30 N·m。力方向每隔20 N作為一個測量點，Mx，My方向每隔2 N·m、Mz方向每隔1.6 N·m作為一個測量點，各方向載荷從零開始加載至滿量程，再逐步卸載至零。每個方向重復(fù)標(biāo)定3次，記錄下標(biāo)定數(shù)據(jù)。

在每一次標(biāo)定中，F(xiàn)x，F(xiàn)y，F(xiàn)z方向分別有24個測量點，Mx，My方向分別有64個測量點，Mz方向共有76個測量點，每個測量點包含6路電壓輸出值和六維力/力矩輸入值，這些測量點共同組成一組數(shù)據(jù)。選擇其中兩組作為解耦算法的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集；第3組為測試數(shù)據(jù)集，用來進行誤差分析。

2 基于多輸出支持向量回歸機的解耦算法

2.1 MSVR模型

六維腕力傳感器屬于多輸入多輸出系統(tǒng)，基于此特性結(jié)合1.1節(jié)提出的維間耦合模型，構(gòu)建了多輸出支持向量回歸機模型，如圖3所示。其中x，y分別為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的輸入和輸出，m和n分別為輸入輸出的維度。該模型將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集空間按照輸出維度分割為n個子空間，每個子空間由m維輸入和1維輸出構(gòu)成，然后為每個子空間構(gòu)建1個SVR，用以回歸估計對應(yīng)子空間的輸出特性。應(yīng)用到六維腕力傳感器，6路電壓分量對應(yīng)模型中的輸入x，六維力/力矩分量對應(yīng)輸出，將這6個子空間的SVR組合即為傳感器的全量程輸出特性。

圖3 多輸出支持向量回歸機模型Fig.3 Model of multi-output support vector regression

2.2 MSVR算法

MSVR算法是通過對樣本數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練進而得出輸入輸出關(guān)系，實現(xiàn)對輸出的預(yù)測。對于訓(xùn)練集T={(x1,y1)...(xl,yl)}∈(X×Y)l，其中xi∈X=Rm為輸入，yi∈Y=Rn為輸出，fk(x)為回歸函數(shù)，i=1,2,…,l為訓(xùn)練樣本數(shù)，k=1,2,…,n，m，n為輸入及輸出變量的維數(shù)。采用ε-帶損失函數(shù)[16]：c(x,y,f(x))=|y-f(x)|ε=max{0,|y-f(x)|-ε}，MSVR要解決的原始最優(yōu)化問題為

式中：ε=θ-γ為訓(xùn)練時的精度；θ為測試時的精度；γ為損失間隔；C為懲罰參數(shù)；ξ,ξ*為間隔松弛變量

引入Lagrange函數(shù)[17]，其相應(yīng)的Wolfe對偶問題為

3 算法實現(xiàn)及誤差分析

為了測試本文提出的基于MSVR算法的性能，以實驗室研制的六維腕力傳感器的標(biāo)定數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，分別用傳統(tǒng)的基于最小二乘求解標(biāo)定矩陣的解耦算法以及MSVR算法進行解耦，并對結(jié)果進行誤差分析和比較。兩種算法均在MATLAB平臺下實現(xiàn)。

3.1 基于最小二乘求解標(biāo)定矩陣的解耦算法實現(xiàn)及結(jié)果

任何加載到傳感器上的作用力都能夠分解為三維空間坐標(biāo)系中的3個力分量Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z和3個力矩分量Mx，My，Mz，在傳感器的載荷范圍內(nèi)主方向的力/力矩輸入與電壓輸出之間是線性關(guān)系，且輸出電壓可以進行線性疊加，則輸入輸出可表示為

式中：F為6×l力分量矩陣（l為訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本數(shù)）；U為6×l電壓向量矩陣；H為6×6常數(shù)矩陣。

由求解矩陣方程最小二乘估計量的方法求得常數(shù)矩陣

在對傳感器進行解耦時，自變量為傳感器輸出的6個電壓向量，而作用在傳感器上的六維力/力矩分量是未知的，其關(guān)系式可表示為

聯(lián)列式（4，6）可求得

式中C即為標(biāo)定矩陣，又叫解耦矩陣，是一個6×6的矩陣。求解標(biāo)定矩陣C的過程實際上就是多元函數(shù)最小二乘擬合的過程。為了獲得較為準(zhǔn)確的標(biāo)定矩陣，要求標(biāo)定的測量點數(shù)要遠大于六維力/力矩傳感器的維數(shù)。

根據(jù)標(biāo)定得到的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，利用MATLAB編程，得到標(biāo)定矩陣C為

3.2 MSVR算法實現(xiàn)及結(jié)果

基于MSVR解耦算法的實現(xiàn)步驟如下：

（1）根據(jù)1.2節(jié)的標(biāo)定結(jié)果，得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集，將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集進行校零和歸一化預(yù)處理；

（2）按照輸出維度將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集拆分成6個子空間，對每個子空間進行參數(shù)尋優(yōu)，根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和得到的最佳參數(shù)C，g，依據(jù)MSVR算法建立回歸模型；

（3）利用回歸模型對測試數(shù)據(jù)集進行輸出預(yù)測。

各子空間的回歸模型及算法評估如表1所示。

表1 回歸模型及算法評估Tab.1 Regression model and algorithm evaluation

3.3 誤差分析與比較

傳感器的精度指標(biāo)通常用綜合誤差（或Ⅰ類誤差）和耦合誤差（或Ⅱ類誤差）[19]來表示

式中：yi(F.S)表示i方向可施加力（或力矩）的滿量程值；ei(max)表示i方向?qū)嶋H施加的標(biāo)準(zhǔn)力（或力矩）值與預(yù)測得到的力（或力矩）值之差的最大值；yij(max)表示當(dāng)j方向施加力（或扭矩）值，其他5個方向無力（或扭矩）作用時，i方向預(yù)測得到的最大力（或扭矩）值。Ⅰ類誤差是反映傳感器線性度好壞的指標(biāo)，Ⅱ類誤差是反映傳感器各維度間耦合情況的指標(biāo)。

對第3組測試數(shù)據(jù)集，分別計算其在未解耦情況下、基于最小二乘求解標(biāo)定矩陣的解耦算法下（法1解耦）、以及本文提出的基于MSVR的解耦算法下（法2解耦）的兩類誤差，具體結(jié)果見表2。

為保證論文的嚴(yán)謹性，本文利用虛擬樣機技術(shù)對樣機模型進行虛擬標(biāo)定[20]，獲得更多仿真數(shù)據(jù)在兩種解耦算法下的精度對比，使實驗結(jié)果更具有說服力。具體步驟如下[15]：（1）根據(jù)實際傳感器參數(shù)尺寸，在ANSYS軟件下建立三維模型；（2）對模型進行網(wǎng)格劃分，劃分后的模型共有296 328個節(jié)點，200 381個單元；（3）按照彈性體的固定方式，對傳感器設(shè)置固定約束；（4）對傳感器施加滿量程范圍內(nèi)的、同實際標(biāo)定過程中相同的等間距力/力矩加載，以實現(xiàn)實際場景的遍歷，根據(jù)ANSYS的靜力學(xué)分析得出各方向應(yīng)變ε大?。唬?）根據(jù)式(11)計算各路電壓分量大小。

式中：K=2.1為應(yīng)變片的靈敏系數(shù)；E=12 V為應(yīng)變電橋的供電電壓。由此得到虛擬標(biāo)定數(shù)據(jù)集，計算在上述3種情況下的兩類誤差，如表3所示。

表2 傳感器未解偶時以及解耦后的精度對比（測試數(shù)據(jù)集）Tab.2 Precision comparison before and after decoupling（testing dataset） %

表3 傳感器未解偶時以及解耦后的精度對比（虛擬標(biāo)定數(shù)據(jù)集）Tab.3 Precision comparison before and after decoupling（virtual calibration dataset） %

分析表2，3可知，由于實驗室研制的六維腕力傳感器對于主方向有著較好的線性度，在未解偶的情況下，傳感器的Ⅰ類誤差就比較小，解耦算法很難在此基礎(chǔ)上進一步提高精度，兩種解耦算法解耦后的Ⅰ類誤差都在0.7%以內(nèi)，因此兩種解耦算法對Ⅰ類誤差的影響不大。

未解耦時，雖然各方向的Ⅰ類誤差很小，但Ⅱ類誤差很大，說明維間耦合很大，傳感器已不能正常工作。經(jīng)兩種解耦算法解耦后，各方向的Ⅱ類誤差有著顯著減少，兩種解耦算法都能減小維間耦合的干擾。但是從表2，3的數(shù)據(jù)可以看出，基于最小二乘求解標(biāo)定矩陣的解耦算法對Fz方向的解耦效果很不理想，解耦后耦合誤差依然在9%以上；對其他5個方向的力/力矩解耦效果也一般，耦合誤差在0.8%～4%之間浮動。基于MSVR的解耦算法的解耦效果比較穩(wěn)定，對各個方向的解耦結(jié)果較均衡，解耦后耦合誤差控制在2.5%以內(nèi)。

同時，基于最小二乘求解標(biāo)定矩陣的解耦算法是建立在矩陣方程式求解的基礎(chǔ)上，如果在傳感器標(biāo)定實驗過程中數(shù)據(jù)存在粗大誤差，或者傳感器的電壓輸出值域空間維數(shù)大于施加的力/力矩空間維數(shù)時，計算式（7）中的H可能會接近共線性，進而導(dǎo)致HTH成為病態(tài)矩陣，造成(HTH)-1中元素取值的極度膨脹，最終影響標(biāo)定矩陣C的穩(wěn)健性和精確度。而基于MSVR的解耦算法求解過程中設(shè)有間隔松弛變量ξ，ξ*，能有效剔除數(shù)據(jù)中的粗大誤差。

綜上所述，基于MSVR的解耦算法解耦效果較好且較為穩(wěn)定，能有效抑制維間耦合的干擾，具有較高的解耦精度。

4 結(jié)束語

本文研究了基于MSVR的解耦算法。以實驗室研制的六維腕力傳感器為例進行標(biāo)定并獲得標(biāo)定數(shù)據(jù)，應(yīng)用傳統(tǒng)解耦算法以及MSVR算法對其進行解耦計算。結(jié)果表明，基于MSVR的解耦算法可以避免病態(tài)矩陣的產(chǎn)生，具有高可靠性和高解耦精度，可以推廣應(yīng)用到各種維度的傳感器的解耦上。該解耦算法已經(jīng)應(yīng)用到多種實際工程案例中，例如安裝在肌電假手腕部用于感知外界作用力的三維力傳感器、具有力反饋功能的遠程遙操作手控器、實驗艙機械臂六維腕力傳感器、人服系統(tǒng)作業(yè)能力多維力/力矩綜合測試系統(tǒng)等，均取得了很好的解耦效果，滿足實際工程精度要求。