李 婷，肖世國(guó), 2

(1.西南交通大學(xué)地質(zhì)工程系，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

懸臂式抗滑樁是一種常見的邊坡支擋結(jié)構(gòu)，在樁前土體開挖后，為防止樁間土體塌落，樁間通常設(shè)置混凝土擋土板。土拱效應(yīng)廣泛存在于抗滑樁與土體相互作用中[1]，對(duì)樁間擋土板受力影響顯著。許多學(xué)者對(duì)樁間水平土拱效應(yīng)進(jìn)行了研究，賈海莉等[2]、周德培等[3]提出應(yīng)以樁間靜力平衡條件、跨中截面前緣點(diǎn)的強(qiáng)度條件和拱腳三角形受壓區(qū)的截面強(qiáng)度條件共同控制，推導(dǎo)得出合理樁間距計(jì)算公式。有學(xué)者在此基礎(chǔ)上采用考慮中間主應(yīng)力的統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行樁間距研究[4-5]。這些研究均假定土拱軸線為拋物線，且主要以平面應(yīng)變問題簡(jiǎn)化分析，未考慮土拱效應(yīng)沿抗滑樁深度方向變化的問題。以往曾有研究認(rèn)為土拱拱體沿深度方向變化難以精確確定[6-7]。王振強(qiáng)[8]則通過數(shù)值模擬得出土拱矢高沿深度方向變化規(guī)律，但并未給出理論分析結(jié)果。

樁間不同深度處的土拱效應(yīng)，對(duì)相應(yīng)位置的樁間擋土板上的壓力荷載會(huì)產(chǎn)生重要影響。樁間擋土板上的土壓力主要由水平土拱范圍內(nèi)自由土體(潛在塌落土體)產(chǎn)生。因此，土拱拱軸線的確定對(duì)分析擋土板上土壓力尤為關(guān)鍵。LIANG等[9]研究表明土拱軸線應(yīng)是土體中最大主壓應(yīng)力跡線；HANDY[10]、SHUBHRA等[11]、PAIK等[12]分別提出拱型為近似懸鏈線、拋物線形及圓弧形拱軸線；某些現(xiàn)行規(guī)范[13]則設(shè)定樁間土拱為一等腰直角三角形；李邵軍等[14]基于土力學(xué)和彈性力學(xué)，導(dǎo)出了樁間土拱的不同形態(tài)。實(shí)際上，土拱效應(yīng)是反映應(yīng)力偏轉(zhuǎn)的一種現(xiàn)象，其形狀并非假定的拋物線、圓弧形、等腰三角形等。另外，樁間土拱效應(yīng)的產(chǎn)生與樁間局部土體的屈服也有密切關(guān)系，因此在分析土拱形狀時(shí)還應(yīng)合理引入土體的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

樁間擋土板的受力計(jì)算應(yīng)以全面合理分析樁間土拱效應(yīng)為前提。目前，樁間擋土板后局部坡體壓力計(jì)算方法尚不完善。現(xiàn)行鐵路規(guī)范規(guī)定[15]，樁間擋土板土壓力按庫(kù)侖土壓力計(jì)算，但未明確如何考慮土拱效應(yīng)，建議可根據(jù)樁間巖土體的穩(wěn)定情況，取全部或部分土壓力進(jìn)行計(jì)算。葉曉明[16]、劉力生等[17]、張四平等[18]基于土拱效應(yīng)，采用水平層分析法推導(dǎo)了一種求解樁間擋板主動(dòng)土壓力的方法，但均未考慮土拱矢高沿深度方向變化特征，且在同一深度處沿水平布樁方向的土壓力近似按均布處理，與實(shí)際工程不符。張波等[19]、姚裕春等[20]將樁間擋土板視為簡(jiǎn)支于樁上的簡(jiǎn)支梁，這與實(shí)際三維板體的受力特征也存在差異。

有鑒于此，本文基于彈性力學(xué)解析確定樁后土體應(yīng)力場(chǎng)及土拱形狀，并充分考慮中間主應(yīng)力的影響，引入Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則[21]確定水平土拱矢高沿深度方向變化規(guī)律，進(jìn)而提出樁間擋土板橫向和豎向荷載分布模式，建立擋土板的三維簡(jiǎn)支板受力分析模型，并給出計(jì)算分析方法。

1 分析模型

常見抗滑樁截面形狀為矩形和圓形，為方便討論問題，本文以矩形截面抗滑樁為例進(jìn)行分析。

1.1 基本假定

(1)樁后土體是均質(zhì)體，水平土拱主要在樁后土體中形成。

(2)抗滑樁的樁后局部滑坡推力q為水平方向，若其與水平方向成一角度則可投影到水平方向，且滑坡推力沿深度方向呈三角形分布。

(3)樁后坡體為半無限體，相鄰兩樁間土體中任意點(diǎn)的附加應(yīng)力僅受該兩根樁提供的作用力影響，其他樁體影響忽略不計(jì)。

(4)土拱前側(cè)的自由土體與拱體間的力學(xué)邊界為自由邊界，土拱后側(cè)土體不傳力至該自由土體，拱后土體的剩余下滑力由土拱完全傳遞至抗滑樁上。

1.2 基于大主應(yīng)力的土拱形狀

1.2.1土體中大主應(yīng)力解析

根據(jù)上述假定，對(duì)于樁間距為2L，懸臂段樁長(zhǎng)為h1，樁寬為2b的兩根抗滑樁A、B，以地表以下任意深度z處的水平截面為研究對(duì)象，按平面問題考慮，建立分析模型[14]如圖1所示。樁對(duì)土體的局部反作用力q=2LEz/(bh12)，其中E為設(shè)樁處樁后滑坡推力(沿樁受荷段豎向按三角形分布)。

圖1 樁后土體應(yīng)力場(chǎng)分析模型Fig.1 Analysis model for stress field of soil mass in the upslope area of stabilizing piles

根據(jù)彈性力學(xué)的Boussinesq理論[14, 21]，可推得樁后土體在樁體反力荷載q作用下，A、B兩樁間任意點(diǎn)p的附加應(yīng)力表達(dá)式。

A樁在p點(diǎn)的附加應(yīng)力為：

(1)

B樁在p點(diǎn)的附加應(yīng)力為：

(2)

式中，

(3)

根據(jù)疊加原理，并考慮土體自重的影響，可求得樁后土體在深度z處水平截面上任一點(diǎn)的應(yīng)力為：

(4)

進(jìn)而根據(jù)式(5)得到土體中任一點(diǎn)處的大主應(yīng)力。

(5)

1.2.2大主應(yīng)力拱形狀

土拱軸線應(yīng)是土體中最大主壓應(yīng)力跡線，因此可取樁間土體大主應(yīng)力等值線的極大值點(diǎn)為土拱拱軸線頂點(diǎn)。根據(jù)式(5)，在抗滑樁間距、樁截面寬度及受荷段長(zhǎng)度等參數(shù)已知的情況下，可以計(jì)算確定樁后土體大主應(yīng)力等值線。具體可通過MTLAB電算實(shí)現(xiàn)，其示例結(jié)果如圖2所示(L=3 m，b=1 m，h1=8 m，z=3 m，E=471.5 kN/m)。

圖2 樁后土體大主應(yīng)力等值線分布示例Fig.2 Contours of major principal stress of the soil in the upslope area of piles

對(duì)于該示例，樁間土體大主應(yīng)力等值線的極大值分布(即土拱前緣)如圖3所示?？梢?，土拱形狀呈中間凸起而兩側(cè)略微凹陷的曲線。土拱線與x軸相交形成的不規(guī)則區(qū)域即為土拱前側(cè)自由土體區(qū)域。該區(qū)域面積小于等腰三角形面積，這說明從工程應(yīng)用角度而言，文獻(xiàn)[13]近似采用等腰三角形是偏于安全的。

圖3 樁間土體大主應(yīng)力等值線的極大值分布Fig.3 Maximum major principal stress trajactory of the soil between adjacent two stabilizing piles in the example

1.3 土拱矢高沿深度變化模式

考慮到樁后土拱問題屬于三維問題，這里引入含中間主應(yīng)力的Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則研究土拱效應(yīng)沿深度方向變化規(guī)律。Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則屈服函數(shù)為[21]：

(6)

式中，I1——應(yīng)力張量第一不變量；

α、k——僅與內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c有關(guān)的試驗(yàn)常數(shù)；

J2——應(yīng)力偏量第二不變量。

由于抗滑樁樁間臨空土體(擋土板施作前)在距樁頂一定深度內(nèi)存在拉力區(qū)，形成豎直拉裂縫，裂縫深度z0取為：

(7)

式中，Ka——主動(dòng)土壓力系數(shù)，Ka=tan2(45°-φ/2)。

這樣，根據(jù)對(duì)稱性，以抗滑樁中間位置(即矢高存在位置，x=0 m)為對(duì)象進(jìn)行討論，對(duì)于圖2所示的示例，屈服函數(shù)曲線沿深度變化如圖4所示。其中，樁頂?shù)絲0深度范圍內(nèi)為豎直拉裂縫區(qū)，在z0以下各深度處，根據(jù)式(1)～(6)可確定土體中屈服函數(shù)極大值點(diǎn)的位置，將這些點(diǎn)連接起來的跡線即可視為土拱矢高所在位置，以偏保守分析。從而得到土拱矢高沿深度方向變化規(guī)律如圖5所示?？梢?，沿著抗滑樁深度向下，樁間水平土拱矢高先保持不變，后呈非線性減小至零，表明土拱效應(yīng)在受荷段底端消失。

圖4 沿深度變化的屈服函數(shù)曲線Fig.4 Yield function curve varied with depth to the pile top in the example

圖5 水平土拱矢高豎向變化曲線Fig.5 Height of horizontal soil arching effect varied with depth to the pile top in the example

1.4 樁間擋土板上的荷載

樁間擋土板主要承擔(dān)土拱前塌落土體自重產(chǎn)生的側(cè)壓力。基于前述的局部塌落拱的土拱效應(yīng)分析，樁間擋土板后土壓力E′可按拱前自由土體產(chǎn)生的靜止土壓力計(jì)算，即：

E′=K0W

(8)

式中：K0——靜止土壓力系數(shù)，K0=μ/(1-μ)，μ為泊松比；

W——拱前塌落土體的自重/kN，W=γV，其中V為拱前塌落土體的體積，γ為土體天然重度。

根據(jù)圖3和圖5所示結(jié)果，可將土拱平面形狀簡(jiǎn)化為等腰三角形，土拱矢高沿深度則呈折線型變化。這樣，沿水平布樁方向(橫向)的擋土板上土壓力荷載即近似為等腰三角形分布；由于折線型土拱范圍內(nèi)自由土體自重產(chǎn)生土壓力是關(guān)于深度的函數(shù)，故為簡(jiǎn)化分析問題，沿抗滑樁深度方向(豎向)荷載可近似按三角形分布模式處理。于是，沿深度方向各擋土板上坡體壓力q(x,z)一般分布模式如圖6所示，即橫向?yàn)榈妊切?、豎向?yàn)槿切畏植迹浔磉_(dá)式為：

(9)

式中：a——擋土板寬度/m；

h1——各擋土板總高度(即為樁體受荷段高度)/m；

q′——最下面擋土板底邊中軸線處坡體壓力/ kPa。

圖6 樁間擋土板上坡體壓力分布模式Fig.6 Distribution mode of earth pressure on all retaining plates between adjacent two piles

根據(jù)靜力平衡條件，有：

?q(x,z)dxdz=E′

(10)

這樣，對(duì)于上下布設(shè)的任一塊擋土板，其上荷載可根據(jù)其豎向位置通過圖6模式線性內(nèi)插確定。

1.5 擋土板受力與變形計(jì)算

考慮到實(shí)際樁-板及板-板撘接方式，在按照上述方法確定出任一塊擋土板上的壓力荷載后，可將其視為左右兩邊簡(jiǎn)支(與樁撘接)、上下兩邊自由的簡(jiǎn)支板，從而可采用單三角級(jí)數(shù)法求解。

首先，將板體撓度函數(shù)ω(x,z)分離變量展開為：

(11)

其次，將橫向荷載q(x,z)展開成單三角級(jí)數(shù)：

(12)

式中，

(13)

然后，將式(11)、(12)代入板體撓曲控制微分方程(14)，可得到一個(gè)常系數(shù)四階線性常微分方程。

D▽2▽2ω=q(x,z)

(14)

式中，D為板的抗彎剛度，表達(dá)式為：

(15)

式中：E——板的彈性模量/GPa；

V——板的泊松比；

t——板的厚度/m。

最后，求解方程(14)得到撓度函數(shù)的解答式：

(16)

對(duì)于任一塊板，自由邊界條件滿足：

(17)

將式(16)代入式(17)中即可求得待定參數(shù)Am，Bm，Cm，Dm，進(jìn)而得到撓度函數(shù)的解答。

進(jìn)而將撓度函數(shù)代入式(18)～(21)可以計(jì)算得到矩形簡(jiǎn)支板的彎矩Mx、Mz和橫向剪力Qx、Qz，其中下標(biāo)x、z指垂直于x和z軸的平面。

(18)

(19)

(20)

(21)

2 工程實(shí)例

2.1 土拱矢高豎向變化規(guī)律

某基巖上覆土體的開挖邊坡采用懸臂式抗滑樁支擋，樁后巖土體和樁體的主要物理力學(xué)參數(shù)如表1所示。樁體材料為C30 混凝土，樁截面尺寸為2 m×3 m，樁間凈距4 m，樁全長(zhǎng)為16 m，懸臂段長(zhǎng)度為8 m。采用前述理論分析方法和FLAC3D數(shù)值模擬分別計(jì)算樁后土拱矢高沿深度方向變化范圍。數(shù)值模型如圖7所示。抗滑樁采用實(shí)體單元，土體采用理想彈塑性本構(gòu)模型和Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，模型共有101 973個(gè)節(jié)點(diǎn)，357 707個(gè)實(shí)體單元。

表1 實(shí)例邊坡主要物理力學(xué)參數(shù)

圖7 實(shí)例數(shù)值模擬計(jì)算模型Fig.7 Numerical simulation model

前述理論方法和數(shù)值模擬計(jì)算得到樁后水平土拱矢高豎向變化規(guī)律如圖8所示?？梢姡瑑煞N方法計(jì)算結(jié)果盡管存在一定誤差，但兩者總體變化趨勢(shì)較為吻合。沿抗滑樁深度向下，土拱拱矢逐漸減小，至受荷段底端減小至零，表明土拱效應(yīng)從上至下逐漸減弱。

圖8 實(shí)例水平土拱矢高沿豎向變化曲線計(jì)算結(jié)果Fig.8 Calculation results of height of horizontal soil arching effect varied with depth to the pile top in the practical example

2.2 板體內(nèi)力

對(duì)于2.1節(jié)所述實(shí)例，在樁間設(shè)置混凝土擋土板支擋土體，板體材料為C20混凝土，彈性模量為25.5 GPa，泊松比為0.2，單塊板高度為1 m，厚度為0.2 m。用傳遞系數(shù)法計(jì)算得到在設(shè)計(jì)安全系數(shù)為1.30時(shí)樁后的坡體設(shè)計(jì)推力為E=471.50 kN/m。

按前述理論方法計(jì)算得到拱前塌落土楔體體積V=23.70 m3，擋土板后側(cè)局部土壓力E′=279.66 kN，擋土板底邊中軸線處壓力荷載q=34.96 kPa。再將其它相關(guān)參數(shù)代入式(11)～(21)中，通過MATLAB編程計(jì)算，得到各塊板體最大彎矩計(jì)算結(jié)果如表2所示。表中同時(shí)給出了規(guī)范方法[15]計(jì)算結(jié)果?？梢姡疚乃惴ê鸵?guī)范方法計(jì)算結(jié)果相近，略小于規(guī)范方法計(jì)算結(jié)果，最大誤差不超過3%。

表2 實(shí)例板體最大彎矩計(jì)算值 (kN·m)

3 結(jié)論

(1)根據(jù)彈性力學(xué)理論和應(yīng)力疊加方法，推導(dǎo)出樁后土體任意點(diǎn)的大主應(yīng)力表達(dá)式，可得到樁后土體的大應(yīng)力等值線，通過其極大值分布圖得出土拱在水面上分布形態(tài)為中間凸起而兩側(cè)略微凹陷的曲線，該曲線與兩樁連線形成的區(qū)域面積小于傳統(tǒng)近似采用的等腰三角形面積。

(2)引入Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則考慮中間主應(yīng)力對(duì)土拱效應(yīng)的影響，得到土拱矢高隨著深度呈非線性減小變化規(guī)律，在接近滑面處，樁間土拱效應(yīng)幾乎消失。

(3)通過樁間局部塌落拱的土拱效應(yīng)分析，得到樁間擋土板上土壓力的空間分布模式，即在同一深度處擋土板上土壓力沿橫向呈等腰三角形分布，沿深度方向，在全部擋土板范圍內(nèi)(樁受荷段范圍)整體呈三角形分布。從而可按兩側(cè)樁位處簡(jiǎn)支、上下兩邊自由的三維板體模型分析擋土板受力與變形，給出了相應(yīng)的計(jì)算公式。