我曾遇到過(guò)這樣一題：

在半徑為1的圓內(nèi)任作一條弦，則弦的長(zhǎng)度超過(guò)該圓的內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是多少？

這顯然是一個(gè)幾何概率問(wèn)題，我的解法是這樣的：

分析與解

然而，本題的參考答案卻給出了完全不同的解法和結(jié)果：

法三 如圖3，圓內(nèi)弦的位置被弦的中點(diǎn)唯一確定.在圓內(nèi)作一同心圓，其半徑為大圓的一半.則當(dāng)弦的中點(diǎn)落在小圓內(nèi)時(shí)，弦長(zhǎng)才能大于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，

并且參考答案中說(shuō)，這是一個(gè)貝特朗問(wèn)題，答案并不唯一，

這令我疑惑不解！老師告訴我們，概率是隨機(jī)事件本身固有的屬性，不會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)、計(jì)算方法等因素而有所改變，在這個(gè)問(wèn)題中，同一事件的概率，為何會(huì)因?yàn)橛?jì)算的角度不同而得到不同的答案呢？難道是概率本身出了問(wèn)題？

通過(guò)認(rèn)真思考和查閱資料，我終于發(fā)現(xiàn)不是概率出了問(wèn)題，而是“人”出了問(wèn)題.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，問(wèn)題的求解方法可以有多種，但結(jié)果應(yīng)該一致，貝特朗問(wèn)題之所以會(huì)出現(xiàn)不同的答案，是因?yàn)槿藗冇^察隨機(jī)試驗(yàn)的基本結(jié)果的角度不同，同時(shí)對(duì)結(jié)果的等可能性假設(shè)也有不同的理解，

例如我的解法1中，當(dāng)弦的一端A固定后，我所認(rèn)為的等可能結(jié)果是：弦的另一端點(diǎn)P在圓弧上是等可能出現(xiàn)的.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P落在圓周的某段弧上的概率問(wèn)題，結(jié)合解法3，如果也以弧的中點(diǎn)來(lái)考慮問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，弦PA的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以O(shè)A的中點(diǎn)為圓心，半徑為1/2的圓（如圖4，此處證明略）.當(dāng)點(diǎn)P落人劣弧BC內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)M的軌跡為DE.而DE的度數(shù)為2π/3，所以所求的事件概率為

而不等于解法3中的結(jié)果1/4.

也就是說(shuō)，同樣以弦的中點(diǎn)來(lái)考慮問(wèn)題，當(dāng)假定弦的一端固定時(shí)，本題中隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何量為一維的曲線長(zhǎng)度;而若不固定弦的端點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)作弦時(shí)，事件所對(duì)應(yīng)的幾何量則為二維的圖形面積，并且所得的結(jié)果不同，看來(lái)并不是概率出了問(wèn)題，而是我們思考問(wèn)題的角度發(fā)生了變化，是我們的“假設(shè)”出了問(wèn)題.

（趙秋雨，山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)）