吳凱，王琛，王長(zhǎng)鵬

(1.濟(jì)南市勘察測(cè)繪研究院，山東 濟(jì)南 250013； 2.濟(jì)南市國(guó)土資源局，山東 濟(jì)南 250013)

1 引 言

地理信息系統(tǒng)的應(yīng)用涉及空間數(shù)據(jù)多尺度表達(dá)的時(shí)候，主要采用地圖綜合的方法；以及大比例數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為小比例尺等情況，自動(dòng)綜合是必不可少的，也是生產(chǎn)小比例尺地圖最直接最有效的方法。空間事物可以從空間變量、幾何形態(tài)、物體屬性等幾個(gè)方面認(rèn)識(shí)。根據(jù)地圖信息論的觀點(diǎn)，點(diǎn)群是傳遞點(diǎn)狀分布所含地理信息的重要載體[1]。地圖上的點(diǎn)群目標(biāo)有很多，比如呈點(diǎn)狀分布的水體或島嶼群、居民點(diǎn)以及各種呈點(diǎn)狀分布的專題要素等。在地圖空間中，點(diǎn)群的群體特征是表達(dá)區(qū)域地理景觀的重要知識(shí)，它們的結(jié)構(gòu)特征是地理知識(shí)、空間知識(shí)傳播的基礎(chǔ)，因此，點(diǎn)群的群體特征是地圖自動(dòng)綜合必須考慮的最基本條件之一[2～7]。

地圖代數(shù)是通過對(duì)空間內(nèi)柵格點(diǎn)集進(jìn)行變換和運(yùn)算來解決地理信息的圖形符號(hào)可視化以及空間分析的新型理論和方法。在范圍上，涉及圖形與圖像，從方法工具而言，既采用了精確的模型方法與工具，又采用了一些統(tǒng)計(jì)的、模糊的模型方法與工具。距離變換是在確定特性的尺度下對(duì)全空間的度量，是對(duì)空間量度性質(zhì)的總體和全部的把握[8]。本文采用地圖代數(shù)柵格途徑，研究基于距離變換的點(diǎn)群密度識(shí)別，在空間點(diǎn)群研究中使用地圖代數(shù)距離變換方法，可將距離與空間度量的尺度聯(lián)系起來，而非僅限于基于數(shù)學(xué)平面的研究，并討論其在熱點(diǎn)分析中的應(yīng)用。

2 基本原理

2.1 距離變換及其特性分析

距離在空間分析中是一個(gè)非常廣義的概念。它不只是單一的代表兩點(diǎn)間的直線長(zhǎng)度，而是被賦予了空間概念下更加豐富的內(nèi)容。距離變換是將包含實(shí)體特征和空間背景的二值圖像轉(zhuǎn)變成距離圖像的變換，即對(duì)二值圖像，將前景中的像素的值轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到達(dá)最近的背景點(diǎn)的距離。在變換后的距離圖像中，每一個(gè)像素值表示該像素到離其最近的一個(gè)實(shí)體像素的距離，具體表現(xiàn)為每個(gè)實(shí)體的距離波不斷向外空間擴(kuò)張，直到與鄰近實(shí)體的距離波相遇。

距離變換是計(jì)算并標(biāo)識(shí)空間點(diǎn)(對(duì)參照體)距離的變換或過程。距離變換是在確定特性的尺度下對(duì)全空間的度量。外距變換度量實(shí)體圖形外的空間，內(nèi)距變換度量實(shí)體圖形本身空間。它是對(duì)空間實(shí)體量度性質(zhì)的總體和全局的把握[9]。

距離變換特性有：

(1)各空間點(diǎn)距離數(shù)值上的唯一性。

各個(gè)空間點(diǎn)到唯一實(shí)體點(diǎn)的距離的平方是正確的；

各個(gè)空間點(diǎn)到唯一實(shí)體點(diǎn)的距離正確且唯一的；

當(dāng)空間中有n個(gè)實(shí)體點(diǎn)時(shí)，任一個(gè)空間點(diǎn)將在變換中得到它與最近實(shí)體點(diǎn)的距離(平方)；而當(dāng)有2個(gè)、3個(gè)或是若干個(gè)實(shí)體點(diǎn)到該空間點(diǎn)均為這個(gè)最小距離時(shí)，則該點(diǎn)即成為距此2點(diǎn)、3點(diǎn)或是若干點(diǎn)的等距點(diǎn)。

(2)平移不變性

指原點(diǎn)群中的點(diǎn)，由于它們是由實(shí)體以及相互之間關(guān)系決定的，理論上與坐標(biāo)系關(guān)系不大。平移是不變的，具有平移不變性。

(3)局部更動(dòng)性

當(dāng)增加或減少新的實(shí)體點(diǎn)集時(shí)，只與更動(dòng)“周圍”的實(shí)體及其空間有關(guān)，這個(gè)“周圍”是：對(duì)更動(dòng)點(diǎn)集的點(diǎn)位產(chǎn)生更動(dòng)距離數(shù)值的實(shí)體以及面向更動(dòng)點(diǎn)集一方的空間，這是距離變換的動(dòng)態(tài)特性。

2.2 點(diǎn)群分布密度

根據(jù)對(duì)點(diǎn)群空間分布特征的現(xiàn)有研究，可將點(diǎn)群空間分布特征的描述指標(biāo)歸納為：點(diǎn)數(shù)、分布密度、分布中心、分布范圍、點(diǎn)群分布模式、分布軸線等。

分布密度描述點(diǎn)的空間分布，是較常用的點(diǎn)群模式空間分布描述方法。點(diǎn)群分布密度，一般是指單位面積上包含的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)越少，密度越少；點(diǎn)數(shù)越大，密度則越大。

理論意義上，點(diǎn)群分布密度是指單位分布區(qū)域內(nèi)所含分布對(duì)象的數(shù)量，是兩個(gè)比率尺度數(shù)據(jù)的比值，因此在計(jì)算分布密度時(shí)，需要考慮兩個(gè)計(jì)量問題，一是對(duì)分布對(duì)象(即分子)的計(jì)量，二是對(duì)分布區(qū)域(即分母)的計(jì)量。其分子為分布對(duì)象的計(jì)量，分母為分布區(qū)域的計(jì)量。一般對(duì)于分子的計(jì)量[10]有這樣幾種可能：①對(duì)分布對(duì)象發(fā)生頻數(shù)的計(jì)量結(jié)果；②對(duì)分布對(duì)象某種屬性的計(jì)算結(jié)果。在點(diǎn)群研究中，一般以面狀區(qū)域的面積作為分母進(jìn)行分布密度的計(jì)算。由于分布的類型不同，分布密度的計(jì)量也會(huì)有一定的差異。

從分布密度中可以獲得點(diǎn)群分布稀疏程度的信息，比如通過對(duì)某一城市內(nèi)不同區(qū)域的商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)的分布密度進(jìn)行考察，可以判斷出哪些區(qū)域是該城市的商業(yè)中心。此外，對(duì)同一區(qū)域不同時(shí)間段內(nèi)的點(diǎn)群分布密度進(jìn)行對(duì)比研究，可以掌握點(diǎn)群空間對(duì)象的分布變化以及不同的分布機(jī)制。

3 基于距離變換的點(diǎn)密度圖生成

3.1 方法原理

點(diǎn)群密度圖可以通過密度值來顯示點(diǎn)的聚集情況，比如實(shí)際研究中可以通過制作人口密度圖來反映城市人口分布的聚集情況，或根據(jù)污染源數(shù)據(jù)繪制的密度圖來進(jìn)行城市污染分布情況的分析等。但這種傳統(tǒng)的密度圖求取，主要是基于點(diǎn)數(shù)據(jù)屬性而生成的，沒有考慮點(diǎn)群中點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離關(guān)系。

本文便提出運(yùn)用地圖代數(shù)距離變換的思想，在距離尺度上計(jì)算點(diǎn)群密度分布圖，其思路為，給定的研究區(qū)域?yàn)檫吔绲臇鸥駡D層，給定一個(gè)距離R為實(shí)體點(diǎn)的影響范圍，在R確定的影響范圍內(nèi)，隨著距該實(shí)體點(diǎn)距離的增加，該區(qū)域受實(shí)體點(diǎn)的影響力逐漸減小，直至為0(R確定的范圍邊界上)。其計(jì)算公式為：

其中，P(i，j)為第i行j列柵格所在位置的權(quán)重，即影響力數(shù)值；i，j為柵格行列號(hào)(i=0，1，…m；j=0，1，…n；其中m，n分別為行列號(hào)的最大值)；h為點(diǎn)群中的點(diǎn)號(hào)；dij為研究區(qū)邊界內(nèi)第i行j列柵格到實(shí)體點(diǎn)的距離。在R確定的影響范圍外，區(qū)域受實(shí)體點(diǎn)的影響為0，對(duì)點(diǎn)群中的所有點(diǎn)均進(jìn)行此計(jì)算，累加求和即可得到點(diǎn)群的分布密度圖，此時(shí)，不考慮點(diǎn)群屬性差異，實(shí)現(xiàn)原理如圖1所示。

圖1 點(diǎn)密度圖生成示意圖

點(diǎn)狀空間目標(biāo)的空間分布模式通?？梢苑譃榫鶆蚍植?、隨機(jī)分布和集群分布3種類型。本文運(yùn)用距離變換的方法對(duì)這3種常規(guī)的點(diǎn)群分布情況就行密度圖求取，其中隨機(jī)分布模式數(shù)據(jù)為隨機(jī)函數(shù)生成。

在ArcGIS中通過VBA編程具體實(shí)現(xiàn)對(duì)空間點(diǎn)群的點(diǎn)密度求取，首先指定一個(gè)研究區(qū)域?yàn)檫吔绫尘埃_定生成密度圖柵格圖層的范圍；然后指定半徑R進(jìn)行密度計(jì)算。運(yùn)用距離變換的方法對(duì)該3種常規(guī)的點(diǎn)群分布情況就行密度圖求取，得到空間點(diǎn)群分布的密度圖如圖2所示。

圖2 基于距離變換的點(diǎn)密度圖

3.2 與ArcGIS中的密度圖對(duì)比實(shí)驗(yàn)

ArcGIS中的密度制圖功能主要是根據(jù)輸入的已知點(diǎn)要素的數(shù)值及其分布，來計(jì)算整個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)分布狀況，從而產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)的表面。它主要是基于點(diǎn)數(shù)據(jù)生成的，以每個(gè)待計(jì)算格網(wǎng)點(diǎn)為中心，進(jìn)行環(huán)形區(qū)域的搜尋，進(jìn)而來計(jì)算每個(gè)格網(wǎng)點(diǎn)的密度值。密度制圖從本質(zhì)上來講，就是一個(gè)通過離散采樣點(diǎn)進(jìn)行表面內(nèi)插的過程，根據(jù)所使用內(nèi)插原理的不同，可以分為核函數(shù)密度制圖(Kernel)和簡(jiǎn)單密度制圖(Simple)。

本文以密度圖為主要研究對(duì)象，對(duì)同一空間點(diǎn)群數(shù)據(jù)(圖3(a)所示)，分別使用ArcGIS簡(jiǎn)單密度制圖和核密度制圖功能生成點(diǎn)群的簡(jiǎn)單密度圖(圖3(b)所示)、不考慮屬性的核密度圖(圖3(c)所示)以及基于距離變換的點(diǎn)群分布密度圖(圖3(d)所示)。

圖3 密度圖對(duì)比分析

對(duì)于ArcGIS中簡(jiǎn)單密度制圖，其原理為：落在搜尋區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)或線有同樣的權(quán)重，對(duì)其進(jìn)行求和的基礎(chǔ)上，用其統(tǒng)計(jì)總數(shù)除以搜索區(qū)域的大小，從而得到每個(gè)點(diǎn)的密度值；在核函數(shù)密度制圖中，不同的是落入搜索區(qū)內(nèi)的點(diǎn)具有不同的權(quán)重，靠近格網(wǎng)搜尋區(qū)域中心的點(diǎn)會(huì)被賦予較大的權(quán)重，隨著其與格網(wǎng)中心距離的增加權(quán)重降低，核密度圖的計(jì)算結(jié)果分布較平滑。本文是用距離變換圖來模擬受實(shí)體點(diǎn)影響的變換程度，通過對(duì)距離變換圖進(jìn)行運(yùn)算得到密度圖，用實(shí)際的影響范圍來研究點(diǎn)群的分布密度。

3.3 密度曲線

對(duì)用距離變換思想生成的點(diǎn)密度圖，進(jìn)行空間填充曲線采樣，得到點(diǎn)群空間分布密度曲線。利用空間填充曲線思想，對(duì)生成密度圖(DEM數(shù)據(jù))進(jìn)行重采樣，重新劃分單元格，用曲線填充空間；然后對(duì)曲線和作為屬性值的密度值生成平滑曲線(或曲線散點(diǎn)圖)，進(jìn)而得到二維坐標(biāo)平面的曲線圖，即點(diǎn)群空間分布密度曲線圖。

柵格數(shù)據(jù)重采樣是空間分析中處理柵格分辨率匹配問題經(jīng)常用到的方法。進(jìn)行特定問題分析時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到柵格大小不同的問題，或是分辨率不同的情況，為了便于分析的進(jìn)行，需要對(duì)柵格的大小進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在此對(duì)柵格數(shù)據(jù)進(jìn)行重采樣，就是改變柵格的分辨率問題進(jìn)行柵格的轉(zhuǎn)化。柵格數(shù)據(jù)重采樣方法主要包括3種，最鄰近、雙線性和三次卷積采樣方法。不同的重采樣方法，其計(jì)算速度和精度有所不同，雖然不同方法得到的柵格值不同，但在合理的誤差范圍。因本文考慮的是整體的分布狀況問題在點(diǎn)群密度曲線研究中對(duì)重采樣的精度要求不高，選取最鄰近重采樣方法?？梢允褂肁rcGIS中的柵格數(shù)據(jù)重采樣工具也可使用MATLAB軟件讀取。兩種方法生成的密度曲線圖走勢(shì)相同，僅不同方法所得值不同而已。

密度曲線能反映點(diǎn)群模式的不同分布細(xì)節(jié)特征，包含常規(guī)的3種模式，3種點(diǎn)群分布的空間分布軸線分別表示如圖4所示。均勻分布點(diǎn)群的密度曲線，不同段填充線上值的變化趨勢(shì)較均一，同段曲線上不考慮邊界的部分，其數(shù)值大致相等，變差?。浑S機(jī)分布點(diǎn)群的分布軸線，變化趨勢(shì)無規(guī)律，同段填充線上密度數(shù)值變化較大；集聚分布點(diǎn)群的密度曲線，由于集中分布，點(diǎn)群外圍密度值較小，表現(xiàn)在曲線上無太大變化，僅就集中分布區(qū)域變化明顯。

圖4 不同分布模式點(diǎn)群密度圖及密度曲線

(1)對(duì)于同一幅圖(生成的密度圖)，不同方式的填充曲線，即曲線順序不同，會(huì)得到不同密度空間分布曲線，曲線填充方式對(duì)點(diǎn)群密度曲線生成是有影響的，以隨機(jī)點(diǎn)群分布模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，不同順序得到的密度曲線圖如圖5所示。

圖5不同填充曲線順序生成的密度曲線

對(duì)上述兩種曲線填充方式而言，重采樣后柵格內(nèi)的密度值是確定的，只因填充曲線走勢(shì)不同而使得部分密度曲線呈相反方向展示，對(duì)整體研究無影響，在點(diǎn)群空間分布研究中統(tǒng)一填充曲線方式即可。

(2)空間填充曲線格子大小的影響，同一密度圖，不同尺度大小的填充格子，得到的密度曲線不同，均能表達(dá)總體空間分布模式。并且可以通過控制格子大小，來度量空間分布模式的細(xì)節(jié)層次或尺度；以點(diǎn)群均勻分布模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，對(duì)生成的點(diǎn)密度圖運(yùn)用不同尺度大小的填充格子進(jìn)行曲線填充，得到不同尺度下的密度曲線。本文基于距離變換生成的點(diǎn)群密度圖，柵格分辨率為1 000，即為1000×1000個(gè)柵格。對(duì)該柵格數(shù)據(jù)進(jìn)行重采樣后，運(yùn)用空間曲線填充，對(duì)空間填充曲線經(jīng)過的柵格進(jìn)行排列，在此基礎(chǔ)上通過密度曲線展示密度值的變化情況，圖6分別表示5×5、10×10、20×20柵格分辨率填充格子情況下生成的密度曲線。

圖6 不同填充尺度下生成的密度曲線

由圖6可知，對(duì)同一點(diǎn)密度圖(柵格數(shù)據(jù))，以不同尺度大小的填充格子進(jìn)行重采樣后，得到的點(diǎn)群密度曲線均能表達(dá)總體空間分布模式。只是隨著格子數(shù)目的增加，表示得更詳細(xì)。含有更細(xì)節(jié)的信息。在特定研究中，可以通過控制填充格子的大小，來度量空間分布模式的細(xì)節(jié)層次。大尺度情況下，可以減少填充格子數(shù)目(重采樣分辨率)，方便運(yùn)算。在較精細(xì)尺度下，可以通過增加填充格子的數(shù)目來展示細(xì)節(jié)信息。

(3)在生成點(diǎn)群空間分布密度曲線圖后，即可對(duì)地圖綜合前后的點(diǎn)群數(shù)據(jù)均進(jìn)行上述處理，均生成密度曲線，進(jìn)行曲線擬合程度的判斷，判斷曲線吻合程度。由于不同尺度大小的填充格子進(jìn)行重采樣得到的空間曲線，密度值的量級(jí)相同，但空間填充位置的量級(jí)不同，為了便于這種不同量級(jí)的曲線能夠進(jìn)行比較，可以將曲線數(shù)據(jù)按比例縮放，進(jìn)行曲線標(biāo)準(zhǔn)化，比如統(tǒng)一映射到[0，1]區(qū)間上或使之落入一個(gè)特定區(qū)間，其中圖幅大小無影響。對(duì)得到的點(diǎn)群空間分布密度曲線進(jìn)行判斷，通過判斷曲線的吻合度，可作為評(píng)價(jià)點(diǎn)群目標(biāo)地圖綜合效果的指標(biāo)。

4 在熱點(diǎn)識(shí)別中的應(yīng)用

運(yùn)用本文提出的方法，對(duì)空間點(diǎn)群生成密度分布圖，通過識(shí)別灰度圖的峰值來識(shí)別熱點(diǎn)分布狀況。

首先對(duì)點(diǎn)群生成密度圖，因?yàn)橹苯訉?duì)密度灰度圖提取最大值或次大值不方便，所以在密度圖上生成密度等值線，通過對(duì)等密度線的控制可以分級(jí)提取熱點(diǎn)區(qū)域如圖7所示。

圖7 熱點(diǎn)區(qū)域提取

根據(jù)實(shí)際研究需要確定等值線的間距，對(duì)區(qū)域內(nèi)的不同數(shù)值的等密度線進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，生成如圖8所示的等密度線數(shù)值與個(gè)數(shù)的變化關(guān)系示意圖，其中縱坐標(biāo)N為不含重疊區(qū)的等值線個(gè)數(shù)，橫坐標(biāo)H為等密度線數(shù)值。

圖8 等密度線個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)

如圖8所示，根據(jù)確定不同的等密度線數(shù)值，提取相應(yīng)不同個(gè)數(shù)的熱點(diǎn)區(qū)域。在圖示中曲線有下降趨勢(shì)之前，等密度線數(shù)值取7時(shí)，可獲得一個(gè)熱點(diǎn)區(qū)域(圖7(c))，等密度線數(shù)值取5.5時(shí)，可獲得4個(gè)熱點(diǎn)區(qū)域(圖7(f))。同理，確定要提取熱點(diǎn)區(qū)域的個(gè)數(shù)，可以根據(jù)圖8所示的曲線選擇等值線的值。

橫坐標(biāo)H為等密度線數(shù)值，根據(jù)變化曲線可知，取不同等密度值時(shí)，可能取得熱點(diǎn)區(qū)域個(gè)數(shù)相同，如圖9(a)和(b)所示，在個(gè)數(shù)相同的情況下，H值低，則選中熱點(diǎn)區(qū)域的范圍較大；在圖8變化曲線中，取H0，H值由最大降到H0過程中，選取的熱點(diǎn)區(qū)域個(gè)數(shù)逐漸增大；H值由H0下降到最小的過程中，所選的熱點(diǎn)區(qū)域逐漸變大，且個(gè)數(shù)減少，直到將所有點(diǎn)包含，最外圍等值線(不含重疊區(qū))個(gè)數(shù)為1。

圖9 H取值不同確定的等密度線

通過對(duì)等值線選取的控制，獲得不同級(jí)別的熱點(diǎn)區(qū)域，可以由熱點(diǎn)引導(dǎo)來獲取其分布的大致軸線。同時(shí)，地理系統(tǒng)是一個(gè)開放的系統(tǒng)，在一個(gè)熱點(diǎn)區(qū)域向周圍區(qū)域擴(kuò)散的過程中，也會(huì)受到其他熱點(diǎn)區(qū)域擴(kuò)散作用的影響。比如某種傳染病在周圍區(qū)域的擴(kuò)散效應(yīng)，就要受到地理環(huán)境的非均質(zhì)性影響，也正是由于這種地理環(huán)境的非均質(zhì)性，其并不是以等同的、均衡的形式向周圍擴(kuò)散。

5 結(jié) 語

點(diǎn)群目標(biāo)在地圖上有大量的實(shí)例，比如成群分布的島嶼以及散列分布的居民地等，因此點(diǎn)群的空間分布特征以及模式識(shí)別問題成為空間分析受關(guān)注和感興趣的話題。運(yùn)用距離變換思想生成點(diǎn)群分布的密度圖，是在充分考慮點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離關(guān)系后，研究點(diǎn)群密度分布情況的一種方法，也為研究點(diǎn)群空間結(jié)構(gòu)特征、地圖自動(dòng)綜合提供了新的思路。密度曲線方法在熱點(diǎn)識(shí)別中的應(yīng)用，就是其在具體問題中的一種應(yīng)用探索。