濮海明 王 哲 康宜華

1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢，4300742.上汽大眾汽車(chē)有限公司，上海，201805

0 引言

鋼球表面全部展開(kāi)是進(jìn)行鋼球自動(dòng)化探傷的重要基礎(chǔ)。它既要使傳感器能對(duì)鋼球表面進(jìn)行全檢測(cè)，確保不存在檢測(cè)盲區(qū)，又要降低檢測(cè)的重復(fù)區(qū)域，滿足高效率的檢測(cè)需求，使其適用于鋼球的在線自動(dòng)化探傷。

捷克KROB公司開(kāi)發(fā)的AVIKO系列鋼球探傷儀[1]中采用的子午線展開(kāi)機(jī)構(gòu)是目前應(yīng)用最廣泛的球面展開(kāi)機(jī)構(gòu)。趙剛等[2]、趙彥玲等[3-4]基于子午線展開(kāi)機(jī)構(gòu)做了大量的理論分析與參數(shù)優(yōu)化等工作；MASAKI等[5]提出了一種采用雙驅(qū)動(dòng)錐輪的鋼球表面展開(kāi)機(jī)構(gòu)；王宏等[6]設(shè)計(jì)了一種經(jīng)緯展開(kāi)方式的鋼球表面展開(kāi)系統(tǒng)；王義文[7]、劉德利[8]基于圖像處理技術(shù)設(shè)計(jì)了一種摩擦盤(pán)展開(kāi)機(jī)構(gòu)。但上述方案在工程應(yīng)用中存在成本高、零件易損、有檢測(cè)盲區(qū)以及檢測(cè)效率低等問(wèn)題。

本文針對(duì)現(xiàn)有方案的不足以及企業(yè)的實(shí)際需求，分析了鋼球表面全部展開(kāi)的基本原理，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析以及坐標(biāo)變換等建立了鋼球表面螺旋全展開(kāi)的運(yùn)動(dòng)軌跡線方程，并研究了運(yùn)動(dòng)軌跡線密度的影響因素，最終設(shè)計(jì)了一套基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開(kāi)機(jī)構(gòu)。

1 鋼球表面螺旋全展開(kāi)的原理分析

鋼球表面在幾何學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)屬于無(wú)法展開(kāi)的復(fù)雜曲面，它無(wú)法像圓柱體、圓錐體的表面一樣，通過(guò)沿著母線“切開(kāi)”的方法，將其表面鋪展成一個(gè)平面。

圖1所示的空間坐標(biāo)系Oxyz中，鋼球球心的坐標(biāo)為O(0,0,0)。檢測(cè)探頭處于x軸的正上方且正對(duì)著鋼球，假設(shè)探頭在鋼球表面有效探傷區(qū)域的寬度為d。當(dāng)鋼球以ωz的角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)360°后，探頭在鋼球表面的檢測(cè)區(qū)域是寬度為d的環(huán)形面，如圖1a所示。

圖1 鋼球表面展開(kāi)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Unfolding the whole surface of steel ball

如果鋼球同時(shí)以ωx的角速度繞x軸旋轉(zhuǎn)一定角度α，此時(shí)檢測(cè)探頭在鋼球表面的檢測(cè)區(qū)域是兩條非重合的環(huán)形面，如圖1b所示。當(dāng)鋼球以ωx的角速度繞x軸旋轉(zhuǎn)180°后，探頭在鋼球表面的檢測(cè)區(qū)域是一系列的環(huán)形面；當(dāng)相鄰環(huán)形面的邊緣相切時(shí)，便能夠?qū)崿F(xiàn)鋼球表面的全部展開(kāi)。

由上述分析可以推斷：鋼球表面能夠展開(kāi)的基本條件是鋼球繞直角坐標(biāo)系中兩個(gè)正交軸同時(shí)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。本文將鋼球繞z軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)定義為主軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將鋼球繞x軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)定義為展開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)。主軸轉(zhuǎn)動(dòng)與展開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)構(gòu)成了鋼球表面的展開(kāi)運(yùn)動(dòng)，由此得到的鋼球表面展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線是一條螺旋線，如圖2所示。

圖2 鋼球表面展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線Fig.2 Unfoldingtrajectory on the surface of steel ball

2 建立運(yùn)動(dòng)軌跡線的數(shù)學(xué)模型

建立合適的、有效的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線的可尋規(guī)律，將有助于了解鋼球表面的展開(kāi)過(guò)程，同時(shí)有助于展開(kāi)機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化等。

如圖3所示，鋼球分別以ωz和ωx的角速度繞z軸和x軸同時(shí)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)鋼球繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)β角度后，建立的空間坐標(biāo)系Oxyz也繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)了β角度形成新的空間坐標(biāo)系Ox′y′z′。設(shè)i、j、k分別表示與坐標(biāo)系Oxyz中x軸、y軸、z軸正向同向的單位矢量，合成角速度ω可以表示成

ω=ωxcosβi+ωysinβj+ωzk

(1)

圖3 鋼球表面全展開(kāi)的坐標(biāo)系變換示意圖Fig.3 Coordinate system transformation on the surface of steel ball

用向量r表示任一時(shí)刻t被檢測(cè)鋼球表面上的任意一點(diǎn)Q(x,y,z)的位移矢量，則有

(2)

式中，R為鋼球的半徑。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，能夠得到鋼球表面上任意一點(diǎn)Q某一時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v=ωr。

其瞬時(shí)速度還可以表示為

(3)

結(jié)合兩種瞬時(shí)速度表達(dá)方式，則有：

(4)

將β=ωzt代入式(4)，可以得到運(yùn)動(dòng)軌跡線方程：

(5)

式(5)所示方程組屬于一階微分方程組，沒(méi)有固定的求解規(guī)律。圖3中的空間坐標(biāo)系Oxyz變換為Ox′y′z′，容易得到坐標(biāo)系變換之間的關(guān)系式：

(6)

將式(6)代入式(5)可以得到：

(7)

由初始條件(x,y,z)|t=0=(x0,y0,z0)可得

(8)

將式(8)代入式(6)，能夠求解出鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線的方程：

(9)

綜上可得，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)方法，建立了鋼球表面螺旋全展開(kāi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式；利用坐標(biāo)變換求解出鋼球表面螺旋全展開(kāi)的運(yùn)動(dòng)軌跡線方程。當(dāng)已知鋼球表面上某點(diǎn)的初始值Q0(x0,y0,z0)時(shí)，根據(jù)展開(kāi)運(yùn)動(dòng)的軌跡線方程可知該點(diǎn)在任意t時(shí)刻的位置Qt(x,y,z)。

3 鋼球表面螺旋全展開(kāi)過(guò)程分析

本文借助MATLAB軟件的數(shù)理計(jì)算功能及函數(shù)可視化功能，依據(jù)鋼球表面螺旋全展開(kāi)的運(yùn)動(dòng)軌跡線方程(式(9))，分析鋼球表面全展開(kāi)的過(guò)程，并研究了運(yùn)動(dòng)軌跡線密度的影響因素。

以直徑54 mm的鋼球?yàn)槔僭O(shè)檢測(cè)一個(gè)鋼球需要用時(shí)4～5 s，則鋼球繞x軸旋轉(zhuǎn)的角速度ωx在1～2 rad/s的范圍內(nèi)并以0.5 rad/s為步進(jìn)量進(jìn)行取值；繞z軸旋轉(zhuǎn)的角速度ωz在10～80 rad/s的范圍內(nèi)并以10 rad/s為步進(jìn)量進(jìn)行取值。利用MATLAB得到了一組鋼球表面螺旋全展開(kāi)的運(yùn)動(dòng)軌跡線，見(jiàn)圖4、圖5和圖6。

圖4 ωx=1 rad/s時(shí)鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線Fig.4 Unfolding trajectory on the surface of steel ball with ωx=1 rad/s

分析圖4、圖5與圖6可得，鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線的密度與鋼球的主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωz和展開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωx的取值有很大關(guān)系。當(dāng)ωx保持不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡線隨ωz的增大而逐漸密集，螺旋圈數(shù)增多，螺距減小；當(dāng)ωz保持不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡線隨ωx的增大而逐漸稀疏，螺旋圈數(shù)減小，螺距增大。

通過(guò)多次仿真計(jì)算，分析展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線的變化規(guī)律，得到了螺旋圈數(shù)和螺距大小的變化曲線，如圖7所示。

由圖7可得螺旋圈數(shù)n與螺距s的關(guān)系：

(10)

(11)

鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線的密度對(duì)避免探傷盲區(qū)、提高探傷效率具有較大的影響。如果展開(kāi)軌跡線較稀疏，即螺旋線的螺距比探頭的有效探傷范圍大，容易產(chǎn)生漏檢；如果展開(kāi)軌跡線過(guò)于密集，即螺旋線的螺距比探頭的有效探傷范圍小，鋼球表面則有較多的區(qū)域被重復(fù)檢測(cè)，則會(huì)降低探傷效率。

圖5 ωx=1.5 rad/s時(shí)鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線Fig.5 Unfolding trajectory on the surface of steel ball with ωx=1.5 rad/s

圖6 ωx=2 rad/s時(shí)鋼球表面螺旋全展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線Fig.6 Unfolding trajectory on the surface of steel ball with ωx=2 rad/s

圖7 螺旋圈數(shù)及螺距的變化規(guī)律Fig.7 The changing rule of cycle number and pitch

因此，當(dāng)鋼球的直徑規(guī)格和檢測(cè)探頭在鋼球表面的有效探傷范圍已知的條件下，根據(jù)式(10)和式(11)可以選擇合理的主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωz和展開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωx，使得螺距s和探頭的有效探傷范圍相匹配，滿足鋼球的自動(dòng)化探傷需求，既保證檢測(cè)效率，又不會(huì)造成漏檢。

4 基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開(kāi)機(jī)構(gòu)

由上文分析可知，鋼球繞z軸的主軸轉(zhuǎn)動(dòng)與繞x軸的展開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)，二者的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)了鋼球表面的全部展開(kāi)。據(jù)此設(shè)計(jì)了鋼球表面螺旋全展開(kāi)的機(jī)械結(jié)構(gòu)裝置，如圖8所示，通過(guò)手指氣缸夾緊鋼球，由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)鋼球?qū)崿F(xiàn)主軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)手指氣缸旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)鋼球的展開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.從動(dòng)軸 2.轉(zhuǎn)接塊1 3.夾緊塊 4.轉(zhuǎn)接塊2 5.直流電機(jī)6.電機(jī)安裝臂 7.限位塊 8.步進(jìn)電機(jī) 9.電機(jī)安裝板10.聯(lián)軸器 11.軸承座 12.夾緊氣缸 13.延長(zhǎng)臂 14.鋼球圖8 鋼球表面螺旋展開(kāi)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 Mechanism of spiral line unfolding the surface of steel ball

該鋼球表面展開(kāi)機(jī)構(gòu)說(shuō)明如下：

(1)夾緊塊需要根據(jù)鋼球的直徑規(guī)格匹配使用，其夾緊面的半徑尺寸與待檢測(cè)鋼球的半徑尺寸一致，夾緊塊定位安裝在轉(zhuǎn)接塊上。

(2)轉(zhuǎn)接塊2連接固定在直流電機(jī)的輸出軸上，由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)。

(3)手指氣缸定位安裝在傳動(dòng)軸上，傳動(dòng)軸與步進(jìn)電機(jī)之間通過(guò)聯(lián)軸器作用，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)。

分析圖8所示的展開(kāi)機(jī)構(gòu)可知，鋼球在展開(kāi)過(guò)程中被夾緊塊夾緊的夾持面屬于檢測(cè)盲區(qū)，一個(gè)螺旋展開(kāi)裝置無(wú)法將鋼球表面全部展開(kāi)，需要兩個(gè)正交位置關(guān)系的展開(kāi)機(jī)構(gòu)配合運(yùn)動(dòng)。最終設(shè)計(jì)的基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開(kāi)機(jī)構(gòu)如圖9所示。

1.橫移氣缸1 2.展開(kāi)機(jī)構(gòu)1 3.直線導(dǎo)軌 4.鋼球5.安裝底板 6.橫移氣缸2 7.展開(kāi)機(jī)構(gòu)2圖9 正交夾持的鋼球展開(kāi)機(jī)構(gòu)Fig.9 Orthogonal clamping and unfolding mechanism of steel ball

該機(jī)構(gòu)的展開(kāi)動(dòng)作流程如下：

(1)展開(kāi)機(jī)構(gòu)1在上料工位處夾緊待檢測(cè)的鋼球。

(2)橫移氣缸1驅(qū)動(dòng)展開(kāi)機(jī)構(gòu)1至檢測(cè)工位，步進(jìn)電機(jī)與直流電機(jī)同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)，進(jìn)行鋼球的展開(kāi)檢測(cè)直至檢測(cè)完畢。

(3)橫移氣缸2驅(qū)動(dòng)展開(kāi)機(jī)構(gòu)2至檢測(cè)工位，展開(kāi)機(jī)構(gòu)2夾緊待檢測(cè)鋼球，展開(kāi)機(jī)構(gòu)1松開(kāi)鋼球并回位至上料工位。

(4)展開(kāi)機(jī)構(gòu)2中的步進(jìn)電機(jī)與直流電機(jī)同時(shí)動(dòng)作，進(jìn)行鋼球的展開(kāi)檢測(cè)直至檢測(cè)完畢。

(5)展開(kāi)機(jī)構(gòu)2回位至下料工位釋放檢測(cè)完畢的鋼球，等待下一個(gè)待檢測(cè)鋼球。

圖10是基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開(kāi)機(jī)構(gòu)實(shí)物圖。鋼球展開(kāi)機(jī)構(gòu)已經(jīng)成功應(yīng)用于鋼球自動(dòng)化超聲探傷設(shè)備中。實(shí)踐應(yīng)用表明本文設(shè)計(jì)的鋼球表面全展開(kāi)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)球面的全部展開(kāi)，檢測(cè)過(guò)程中無(wú)漏檢，檢測(cè)效率高。

圖10 鋼球展開(kāi)機(jī)構(gòu)的實(shí)物圖Fig.10 The physical map of unfolding mechanism of steel ball

基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開(kāi)機(jī)構(gòu)與其他機(jī)構(gòu)相比具有以下優(yōu)勢(shì)。

(1)適用性強(qiáng)。能夠適用于多種直徑規(guī)格的鋼球，更換規(guī)格時(shí)只需更換夾緊塊的規(guī)格，且安裝拆卸方便。

(2)無(wú)漏檢。其他展開(kāi)機(jī)構(gòu)均是通過(guò)部件之間的摩擦力作用實(shí)現(xiàn)球面展開(kāi)，過(guò)程中一旦打滑便會(huì)造成漏檢。

(3)檢測(cè)效率高。應(yīng)用在鋼球自動(dòng)化超聲探傷設(shè)備中，檢測(cè)一個(gè)鋼球只需用時(shí)4～6 s；檢測(cè)不同直徑規(guī)格的鋼球時(shí)，可以選擇合理的ωz和ωx提高效率，且調(diào)節(jié)方便。

(4)機(jī)構(gòu)的使用壽命更長(zhǎng)，成本更低，易損易耗零件較少，沒(méi)有復(fù)雜加工的零件。

5 結(jié)論

(1)本文分析了實(shí)現(xiàn)鋼球表面全部展開(kāi)的基本運(yùn)動(dòng)條件，即鋼球繞直角坐標(biāo)系中兩個(gè)正交軸同時(shí)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

(2)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系建立了鋼球表面螺旋全展開(kāi)的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)坐標(biāo)變換求解出鋼球表面螺旋展開(kāi)運(yùn)動(dòng)軌跡線的方程。

(3)借助MATLAB分析了鋼球表面螺旋全展開(kāi)的過(guò)程，研究了影響運(yùn)動(dòng)軌跡線密度的因素，得到螺距與螺旋圈數(shù)的表達(dá)公式。

(4)設(shè)計(jì)了一種基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開(kāi)機(jī)構(gòu)，且初步應(yīng)用于鋼球自動(dòng)化超聲探傷裝備中。