袁 理，張曉輝

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引 言

大口徑平面鏡通常是指口徑大于1 m的平面鏡。大口徑平面鏡在空間光學(xué)、天文光學(xué)等領(lǐng)域有著大量應(yīng)用。為了確保大口徑平面鏡具有良好的質(zhì)量，必須對(duì)其面形進(jìn)行檢測(cè)。大口徑平面鏡面形的檢測(cè)方法主要有4種：直接干涉檢測(cè)法[1]、Ritchey-Common法[2-3]、子孔徑拼接法[4-7]和五棱鏡掃描法[8-15]。直接干涉檢測(cè)法需要一塊高精度的大口徑標(biāo)準(zhǔn)平面鏡，該鏡的加工難度很大，成本極高，因此該方法并不適用。Ritchey-Common法需要一塊高精度的大口徑標(biāo)準(zhǔn)球面鏡，成本也較高，并且由于光束是斜入射到平面鏡上的，所以光路搭建和調(diào)整也比較困難。子孔徑拼接法可以避免使用大口徑標(biāo)準(zhǔn)鏡，但是該方法的誤差累積現(xiàn)象比較嚴(yán)重，并且檢測(cè)時(shí)間較長(zhǎng)，易受環(huán)境影響，所以檢測(cè)精度不是很高。五棱鏡掃描法通過(guò)測(cè)量表面傾斜角檢測(cè)大口徑平面鏡的面形，不需要使用大口徑標(biāo)準(zhǔn)鏡，成本較低，通過(guò)適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)算法和檢測(cè)流程，可以有效抑制各種主要誤差的影響，檢測(cè)精度較易保證，是一種比較好的方法，也是本文所研究的方法。

國(guó)內(nèi)外研究人員提出了一系列不同的五棱鏡掃描法，大體上可分為兩種類型。第一種五棱鏡掃描法[8-12]是使用一個(gè)掃描的五棱鏡來(lái)直接測(cè)量表面傾斜角，這種方法受各種誤差的影響都較大，不宜采用。第二種類型的五棱鏡掃描法[13-15]是使用兩個(gè)五棱鏡來(lái)測(cè)量表面傾斜角的差值，其中一個(gè)是靜止的參考五棱鏡，另一個(gè)是運(yùn)動(dòng)的掃描五棱鏡；該方法可以消除傾斜誤差的一階影響和大部分環(huán)境的影響，但是由于兩個(gè)五棱鏡具有不同的制造誤差，所以五棱鏡制造誤差的影響不能在作差的過(guò)程中消除，因此該方法也有缺陷。另外，這兩種方法在掃描過(guò)程、算法等方面也各有一些不足。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種新的五棱鏡掃描法，與以前的方法相比，主要有以下改進(jìn)：第一，使用一個(gè)掃描的五棱鏡來(lái)測(cè)量表面傾斜角的差值，可以消除傾斜誤差的一階影響、五棱鏡制造誤差的影響和大部分環(huán)境的影響；第二，增加了一套反饋控制系統(tǒng)，用于自動(dòng)監(jiān)視和減小五棱鏡在掃描過(guò)程中的傾斜變化量；第三，對(duì)于兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)，測(cè)量時(shí)間緊鄰著，而不是按照各點(diǎn)的排列順序依次測(cè)量，有利于減小環(huán)境變化的影響；第四，使用Zernike多項(xiàng)式來(lái)表示被測(cè)面形，然后建立超定方程組，通過(guò)最小二乘算法，直接得到二維面形，而不是先測(cè)出一維面形再進(jìn)行拼接，不但減少了計(jì)算量，而且避免了拼接誤差。這些改進(jìn)可顯著提高檢測(cè)的精度和效率。

2 檢測(cè)原理

2.1 表面傾斜角差值的測(cè)量

表面傾斜角測(cè)量原理圖如圖1所示。

圖1 表面傾斜角ε測(cè)量原理示意圖 Fig.1 Measurement schematic of the tilt angle ε of surface

如圖1所示，自準(zhǔn)直儀發(fā)出的光束被五棱鏡偏轉(zhuǎn)90°后入射到平面鏡上，經(jīng)平面鏡反射后再經(jīng)過(guò)五棱鏡回到自準(zhǔn)直儀，自準(zhǔn)直儀可測(cè)出光束的偏轉(zhuǎn)角度φ，則平面鏡在掃描方向上的表面傾斜角ε等于：

(1)

五棱鏡具有優(yōu)良的誤差抑制特性，五棱鏡的傾斜誤差對(duì)ε的測(cè)量值僅產(chǎn)生很小的二階影響[16]。然而，自準(zhǔn)直儀的傾斜誤差、被測(cè)平面鏡的整體傾斜誤差、五棱鏡的制造誤差以及環(huán)境帶來(lái)的誤差卻對(duì)ε的測(cè)量值影響很大，但是，如果將兩個(gè)點(diǎn)處的ε值作差，則可以有效抑制這些誤差的影響。在五棱鏡掃描過(guò)程中，設(shè)自準(zhǔn)直儀在兩個(gè)點(diǎn)處的讀數(shù)分別為φ1和φ2，測(cè)得的表面傾斜角分別為ε1和ε2，則這兩個(gè)點(diǎn)的表面傾斜角的差值δ等于：

(2)

圖2為自準(zhǔn)直儀存在傾斜角ω時(shí)的測(cè)量示意圖。

圖2 自準(zhǔn)直儀存在傾斜角ω時(shí)測(cè)量示意圖 Fig.2 Measurement schematic when autocollimator has a tilt angle ω

如圖2所示，如果自準(zhǔn)直儀存在ω角的傾斜誤差，則自準(zhǔn)直儀在這兩個(gè)點(diǎn)處的讀數(shù)φ1和φ2變?yōu)椋?/p>

φ1=2(ε1+ω),φ2=2(ε2+ω) .

(3)

在五棱鏡掃描過(guò)程中，自準(zhǔn)直儀是不動(dòng)的，所以ω角不變，于是得到表面傾斜角的差值δ等于：

(ε1+ω)=ε2-ε1.

(4)

可見(jiàn)，式(4)與式(2)的結(jié)果是相同的，自準(zhǔn)直儀的傾斜誤差ω在作差的過(guò)程中抵消掉了，從而對(duì)δ不產(chǎn)生影響。類似地，被測(cè)平面鏡的整體傾斜誤差、五棱鏡的制造誤差以及大部分環(huán)境帶來(lái)的誤差也在作差的過(guò)程中抵消，詳見(jiàn)第4節(jié)的誤差分析。

2.2 掃描方式

首先定義兩種距離d和D。將作差的兩個(gè)點(diǎn)稱為“配對(duì)點(diǎn)”。如圖3所示，假設(shè)在某一條掃描直線上有6個(gè)測(cè)量點(diǎn)，其中第1點(diǎn)和第4點(diǎn)配對(duì)作差，第2點(diǎn)和第5點(diǎn)配對(duì)作差，第3點(diǎn)和第6點(diǎn)配對(duì)作差，則將d稱為“兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)的距離”，將D稱為“點(diǎn)對(duì)的距離”。D實(shí)際上就是采樣間距。

圖3 距離d和D的定義 Fig.3 Definitions of the distances d and D

需要注意的是，對(duì)兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)的測(cè)量有一段時(shí)間間隔，如果在這段時(shí)間間隔里環(huán)境發(fā)生了變化，那么在作差時(shí)，環(huán)境的影響就不能完全抵消。所以，要盡量減小兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)測(cè)量時(shí)間的間隔，以減小環(huán)境變化的影響。因此需要做到以下兩點(diǎn)：第一，對(duì)兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)的測(cè)量必須在時(shí)間上緊鄰著，例如，如圖3所示，測(cè)量的順序應(yīng)該是1、4、2、5、3、6，而不能是1、2、3、4、5、6；第二，五棱鏡的運(yùn)動(dòng)速度要盡量快，距離d不能太大，以減少五棱鏡在兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。另外，距離d也不能太小，如果d太小，則表面傾斜角的差值δ就會(huì)很小，在絕對(duì)誤差不變的情況下，相對(duì)誤差就會(huì)很大。在充分考慮這些因素后，在本文的實(shí)驗(yàn)中，d取150 mm，五棱鏡的運(yùn)動(dòng)速度為20 mm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7.5 s。

掃描路徑如圖4所示，采用極坐標(biāo)掃描路徑，共掃描20條直線，所有掃描直線交匯于被測(cè)平面鏡中心。相鄰掃描直線之間的夾角為π/20，而被測(cè)平面鏡的直徑為1.5 m，因此其邊緣的采樣間距等于750 mm×π/20≈120 mm，在被測(cè)平面鏡的中心，采樣間距接近于0，所以平均采樣間距為120 mm/2=60 mm，相應(yīng)地，點(diǎn)對(duì)的距離D也取60 mm。這樣，每條半徑上測(cè)量11對(duì)配對(duì)點(diǎn)，共測(cè)量440對(duì)配對(duì)點(diǎn)。另外，采樣口徑取27 mm。

圖4 掃描路徑 Fig.4 Scanning paths

2.3 被測(cè)平面鏡面形的計(jì)算

在柱坐標(biāo)系下，將被測(cè)平面鏡的面形S(ρ,θ)表示為Zernike多項(xiàng)式Zi(ρ,θ)[17]的線性組合如下：

(5)

其中：n為Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，在本文中n取36；Ci為各項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式的系數(shù)。由于Zernike多項(xiàng)式是定義在單位圓上的，所以有0≤ρ≤1。

圖5 兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)的極坐標(biāo) Fig.5 Polar coordinates of two matching points

設(shè)某一條掃描直線AOB上有兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)，它們到中心O的距離分別為r和r+d，極坐標(biāo)分別為(r,θ)和(r+d,θ)，如圖5所示。將它們的極徑歸一化為ρ1和ρ2：

(6)

其中：R是被測(cè)平面鏡的半徑。設(shè)這兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)的表面傾斜角為ε1和ε2，由于ε1和ε2是沿徑向方向的，并且都比較小，所以得到：

(7)

(8)

由于作了極徑的歸一化，使得被測(cè)平面鏡的半徑從R縮小為1，這樣，各點(diǎn)的斜率實(shí)際上就變?yōu)榱嗽瓉?lái)的R倍，因此需要在式(7)和式(8)的右端乘以1/R。將(8)式和(7)式相減，得到表面傾斜角的差值δ等于：

(9)

在式(9)中，只有Ci是未知的。每測(cè)量一對(duì)配對(duì)點(diǎn)，都可以根據(jù)式(9)得到一個(gè)關(guān)于Ci的方程，在測(cè)量完所有配對(duì)點(diǎn)后，就可以得到關(guān)于Ci的超定方程組，然后通過(guò)最小二乘法就可以求出Ci，再根據(jù)式(5)就可以得到被測(cè)平面鏡的面形表達(dá)式。

在檢測(cè)過(guò)程中，還需要注意以下兩點(diǎn)：第一，在同一條掃描直線上，在中心O的兩側(cè)，表面傾斜角的正方向是相反的；第二，兩個(gè)作差的配對(duì)點(diǎn)必須位于同一條掃描直線上，并且位于中心O的同一側(cè)，即它們必須具有相同的極角θ，只有這樣才能在作差時(shí)抵消掉所有的一階傾斜誤差。

2.4 五棱鏡傾斜變化量的自動(dòng)監(jiān)視與調(diào)整

為了監(jiān)視五棱鏡在掃描過(guò)程中的傾斜變化量，在檢測(cè)系統(tǒng)中增加了一個(gè)自準(zhǔn)直儀和一個(gè)返回平面鏡。如圖6所示，自準(zhǔn)直儀1與五棱鏡用于測(cè)量表面傾斜角，增加的自準(zhǔn)直儀2與返回平面鏡用于監(jiān)視五棱鏡的傾斜變化量。五棱鏡和返回平面鏡安裝在同一個(gè)底座上。

圖6 自準(zhǔn)直儀2和返回平面鏡監(jiān)視五棱鏡的傾斜變化量示意圖 Fig.6 Schematic of using autocollimator 2 and the return mirror to monitor the changes of pentaprism tilts

圖7 各個(gè)光學(xué)組件的傾斜角 Fig.7 Tilt angles of the optical components

圖7畫(huà)出了各個(gè)光學(xué)組件的傾斜誤差角，α、β和γ分別表示繞X軸、Y軸和Z軸的傾斜誤差角，下標(biāo)ac、pp和st分別表示自準(zhǔn)直儀1、五棱鏡和被測(cè)平面鏡。注意，βst由兩部分組成，一是被測(cè)平面鏡的整體傾斜，二是被測(cè)平面鏡局部的表面傾斜，αst也一樣。

V和H分別表示自準(zhǔn)直儀1在兩個(gè)方向上的讀數(shù)值的一半，V實(shí)際上就等于式(1)中的ε加上一些誤差項(xiàng)。通過(guò)光路追跡，可以得到V和H等于[18]：

αst(αpp+γpp)-βst+βac+V0，

(10)

H=βst(αpp+γpp-γst-αac)+

αst-αpp+γpp-γac+H0.

(11)

在以上兩式中，角度的單位必須是弧度，典型的換算關(guān)系為1 μrad等于0.2″。V0和H0是兩個(gè)常量，來(lái)源于五棱鏡的制造誤差?，F(xiàn)在用Δ來(lái)表示相對(duì)于掃描前的變化量。忽略式(11)中很小的二階項(xiàng)，得到H的變化量ΔH等于：

ΔH=Δαst-Δαpp+Δγpp-Δγac+ΔH0.

(12)

在五棱鏡掃描過(guò)程中，自準(zhǔn)直儀1是不動(dòng)的，所以Δγac=0；H0是一個(gè)常量，所以ΔH0=0；對(duì)于拋光后的平面鏡，Δαst大致在3 μrad rms左右，而在本系統(tǒng)中，五棱鏡在掃描過(guò)程中的傾斜變化量Δαpp和Δγpp大致在60 μrad rms左右。可見(jiàn)Δαst遠(yuǎn)小于Δαpp和Δγpp，所以忽略(12)式中的Δαst，得到：

Δαpp=Δγpp-ΔH,

(13)

其中，Δγpp可由自準(zhǔn)直儀2測(cè)得，ΔH可由自準(zhǔn)直儀1測(cè)得，于是根據(jù)式(13)即可求出Δαpp。獲得Δγpp和Δαpp的值后，就可以通過(guò)反饋控制和自動(dòng)調(diào)整來(lái)減小它們。一般可以將Δγpp和Δαpp減小到15 μrad rms以內(nèi)，實(shí)際上就減小了傾斜誤差的二階影響。

注意，Δβpp對(duì)檢測(cè)無(wú)影響，因此無(wú)需對(duì)它進(jìn)行監(jiān)視與調(diào)整；另外，在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)處，必須在測(cè)量表面傾斜角以前完成監(jiān)視與調(diào)整。

2.5 檢測(cè)原理的仿真分析

為了驗(yàn)證檢測(cè)原理的正確性，按照2.2節(jié)中所述的參數(shù)，對(duì)檢測(cè)原理進(jìn)行了仿真分析，計(jì)算軟件采用MATLAB。仿真分析步驟如下：第一步，假設(shè)出任意36個(gè)Zernike多項(xiàng)式系數(shù)的真值，得到被測(cè)平面鏡的真值面形；第二步，利用Zernike多項(xiàng)式系數(shù)的真值，按照式(9)計(jì)算出440個(gè)表面傾角差值的真值，然后利用這些表面傾角差值的真值，按照2.3節(jié)的方法計(jì)算出Zernike多項(xiàng)式系數(shù)的仿真值，得到仿真面形；第三步，將仿真面形與真值面形作差，得到面形復(fù)原誤差，再計(jì)算該面形復(fù)原誤差的rms值。

按以上步驟重復(fù)計(jì)算10次，得到10個(gè)rms值，它們的最大值僅為2.3 nm rms，可見(jiàn)檢測(cè)原理是正確的，原理誤差為2.3 nm rms。

3 檢測(cè)系統(tǒng)

圖8 檢測(cè)系統(tǒng) Fig.8 Measurement system

檢測(cè)系統(tǒng)如圖8所示。五棱鏡和返回平面鏡安裝在同一個(gè)底座上，底座上有傾斜自動(dòng)調(diào)整機(jī)構(gòu)。底座可在兩根長(zhǎng)度為2.2 m的掃描導(dǎo)軌上滑動(dòng)，采用兩根導(dǎo)軌可以減小掃描過(guò)程中的傾斜。五棱鏡的位置由光柵尺測(cè)出，光柵尺的測(cè)量精度為0.005 mm rms。兩個(gè)自準(zhǔn)直儀安裝在導(dǎo)軌的一端，型號(hào)均為SH-LTP，由法國(guó)Imagine Optic 公司生產(chǎn)，光束口徑為27 mm，波長(zhǎng)為405 nm，測(cè)量精度為100 nrad rms，測(cè)量范圍為±12 mrad。上述部件都安裝在旋轉(zhuǎn)臂上，旋轉(zhuǎn)臂連接于轉(zhuǎn)臺(tái)上，通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)多條徑向直線的掃描。轉(zhuǎn)臺(tái)可以輸出旋轉(zhuǎn)臂的角度位置，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)角精度為75 μrad rms。當(dāng)旋轉(zhuǎn)臂旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的傾斜變化量為70 μrad rms。轉(zhuǎn)臺(tái)可以在兩根水平導(dǎo)軌上滑動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)與被測(cè)平面鏡的對(duì)準(zhǔn)。該檢測(cè)系統(tǒng)可以檢測(cè)口徑不大于2.1 m的平面鏡的面形。

采用Geckeler介紹的方法[18]對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行初始調(diào)整，初始調(diào)整是以自準(zhǔn)直儀1為基準(zhǔn)的。通過(guò)初始調(diào)整，可以使所有光學(xué)元件的初始傾斜誤差均在10 μrad rms以內(nèi)。

4 誤差分析

4.1 傾斜誤差

設(shè)P1和P2為兩個(gè)作差的配對(duì)點(diǎn)，Δ表示參數(shù)從P1到P2的變化量。注意，這里的Δ與2.4節(jié)中的Δ的含義不同。利用誤差傳遞公式[19]，通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)，由式(10)可以得到V從P1到P2的變化量ΔV等于：

ΔV=Δαpp(-2αpp+αac+αst)+

Δγpp(-αac+αst)+

Δαac(αpp-γpp-αst)+

Δαst(-αac+αpp+γpp)-

Δβst+Δβac+ΔV0.

(14)

ΔV實(shí)際上就等于式(2)中的δ加上一些誤差項(xiàng)。由于自準(zhǔn)直儀1是不動(dòng)的，因此Δαac=Δβac=0；V0是常量，因此ΔV0=0；被測(cè)平面鏡是不動(dòng)的，因此βst中的整體傾斜部分沒(méi)有變化，所以(-Δβst)實(shí)際上就是表面傾斜角的差值δ，于是δ的誤差Eδ等于：

Eδ=Δαpp(-2αpp+αac+αst)+

Δγpp(-αac+αst)+

Δαst(-αac+αpp+γpp) .

(15)

從式(15)可以看出，通過(guò)計(jì)算表面傾斜角的差值，使V中的所有一階誤差項(xiàng)全部消除，只剩下很小的二階誤差項(xiàng)。表1列出了一些傾斜誤差角的值，這些值來(lái)源于2.4節(jié)和3節(jié)，其中變化量

表1 各個(gè)傾斜誤差角的值Tab.1 Values of tilt angle error

Δαpp，Δγpp和Δαst的值使用rms誤差，而其它傾斜誤差角的值使用極限誤差。在本文中，極限誤差等于相應(yīng)的rms誤差的3倍。對(duì)于表1，需要注意兩點(diǎn)：第一，αac、βac和γac中不含有初始調(diào)整誤差，因?yàn)樵诔跏颊{(diào)整過(guò)程中，自準(zhǔn)直儀1是基準(zhǔn)；第二，γpp和γac中不含有旋轉(zhuǎn)臂的傾斜誤差，因?yàn)樾D(zhuǎn)臂的γ傾斜角誤差實(shí)際上是轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)角誤差，這將在后面的4.3節(jié)中進(jìn)行分析。

表2和表3對(duì)Eδ的值進(jìn)行了計(jì)算。注意，在誤差分析時(shí)，需要將式(15)中的所有負(fù)號(hào)變?yōu)檎?hào)；另外，在表3中，將極限誤差值看作常數(shù)。最后得到由傾斜誤差造成的表面傾斜角差值δ的誤差Eδ等于11.1 nrad rms。

表2 計(jì)算式(15)的一些組成部分Tab.2 Calculations of some components in Equation (15)(μrad)

表3 計(jì)算Eδ的值Tab.3 Calculations of Eδ

4.2 自準(zhǔn)直儀1的測(cè)量誤差

自準(zhǔn)直儀1的測(cè)量誤差為100 nrad rms，根據(jù)式(2)，可得到相應(yīng)的表面傾斜角差值δ的誤差為：

(16)

4.3 測(cè)量點(diǎn)的位置誤差

轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)角誤差為75 μrad rms，如果被測(cè)平面鏡的半徑為750 mm，則相應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的最大位置誤差等于：

75×10-6×750=0.056 mm rms .

(17)

光柵尺的測(cè)量誤差為0.005 mm rms，由此帶來(lái)的測(cè)量點(diǎn)的位置誤差也為0.005 mm rms。

在式(10)和式(11)中，除了αst和βst以外的一階項(xiàng)αpp、γpp、βac、γac、V0和H0，均會(huì)使射向被測(cè)平面鏡的光束產(chǎn)生傾斜，傾斜角的大小分別等于αpp、γpp、βac、γac、V0和H0本身的大小。這種光束的傾斜會(huì)帶來(lái)測(cè)量點(diǎn)的位置誤差，如表4所示，最后計(jì)算得到相應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的位置誤差為0.052 mm rms。表4中αpp、γpp、βac和γac的值來(lái)源于表1，V0和H0的值通過(guò)實(shí)驗(yàn)標(biāo)定。

表4 計(jì)算光束傾斜帶來(lái)的測(cè)量點(diǎn)位置誤差Tab.4 Calculations of the position errors caused by beam tilts

將以上3種來(lái)源的測(cè)量點(diǎn)位置誤差進(jìn)行合成，得到測(cè)量點(diǎn)的總位置誤差：

(18)

被測(cè)平面鏡的表面起伏一般是很平緩的，其表面傾角的變化一般不大于15 nrad/mm。0.077 mm rms的位置誤差對(duì)應(yīng)的表面傾斜角的誤差等于1.2 nrad rms，于是根據(jù)式(2)，相應(yīng)的表面傾斜角差值δ的誤差等于1.7 nrad rms。

4.4 五棱鏡的制造誤差

五棱鏡的制造誤差會(huì)使出射光產(chǎn)生固定的偏角V0和H0[18]，在4.1節(jié)、4.3節(jié)中已經(jīng)對(duì)V0和H0進(jìn)行了分析。 由式(15)可知，V0在作差的過(guò)程中已抵消。

4.5 環(huán)境變化帶來(lái)的誤差

為了減小環(huán)境變化的影響，整個(gè)檢測(cè)系統(tǒng)和被測(cè)平面鏡放置在同一個(gè)隔振平臺(tái)上，環(huán)境溫度控制為(20±0.2) ℃。在檢測(cè)過(guò)程中，停止人員的走動(dòng)和其它無(wú)關(guān)儀器的工作，以盡量減少振動(dòng)和空氣擾動(dòng)。

如2.2節(jié)所述，五棱鏡在兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7.5 s，再加上五棱鏡傾斜變化量的監(jiān)視與調(diào)整所需的時(shí)間，測(cè)量?jī)蓚€(gè)配對(duì)點(diǎn)的時(shí)間間隔在10 s左右，在這段很短的時(shí)間內(nèi)，環(huán)境的變化量很小，因此環(huán)境的影響在作差時(shí)幾乎可忽略。

圖9 表面傾角的測(cè)量結(jié)果 Fig.9 Results of the tilt angles of surface

圖10 表面傾角差值的測(cè)量結(jié)果 Fig.10 Results of the surface tilt angle difference

下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)量環(huán)境變化的誤差。在被測(cè)平面鏡上選擇了相距150 mm的兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)，分別記為點(diǎn)1和點(diǎn)2，對(duì)這兩個(gè)點(diǎn)的表面傾斜角的差值進(jìn)行測(cè)量，每10 min測(cè)量一次，共測(cè)量24 h。表面傾角的測(cè)量結(jié)果如圖9所示，表面傾角差值的測(cè)量結(jié)果如圖10所示。從圖9可以看出，這兩個(gè)點(diǎn)的表面傾角的變化趨勢(shì)是一樣的，變化量也幾乎相同，因此變化量在作差時(shí)可以抵消；從圖10可以看出，表面傾角差值的變化量很小。最后計(jì)算得到，點(diǎn)1的表面傾角的標(biāo)準(zhǔn)偏差為607.6 nrad，點(diǎn)2的表面傾角的標(biāo)準(zhǔn)偏差為620.2 nrad，表面傾角差值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為38.5 nrad。

4.6 表面傾角差值δ的誤差匯總

綜上，表面傾角差值δ的誤差匯總見(jiàn)表5，其總誤差為81.3 nrad rms。

表5 表面傾角差值的誤差匯總Tab.5 The combined error of the surface tilt angle difference

4.7 仿真分析確定面形檢測(cè)精度

通過(guò)前面的分析得到，表面傾角差值δ的測(cè)量誤差為81.3 nrad rms，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)仿真分析確定由δ的誤差造成的面形檢測(cè)誤差。

按照2.2節(jié)中所述的參數(shù)進(jìn)行仿真分析，計(jì)算軟件采用MATLAB。仿真分析步驟為：第一步，已知對(duì)于拋光后的平面鏡，其上任意兩點(diǎn)的表面傾角的差值大致為3 μrad rms左右，其隨機(jī)產(chǎn)生440個(gè)3 μrad rms的表面傾角差值，分別與440對(duì)配對(duì)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，然后利用這些表面傾角差值，按2.3節(jié)的方法計(jì)算出面形，記為面形1；第二步，隨機(jī)產(chǎn)生440個(gè)81.3 nrad rms的誤差值，把這些誤差值分別加到440個(gè)表面傾角差值上，得到含有誤差的440個(gè)表面傾角差值，再利用它們來(lái)計(jì)算出含有誤差的面形，記為面形2；第三步，將面形2與面形1作差，得到面形檢測(cè)誤差，再計(jì)算該面形檢測(cè)誤差的rms值。

按以上步驟重復(fù)計(jì)算10次，得到10個(gè)rms值，它們的最大值為7.2 nm rms，即為由δ的誤差造成的面形檢測(cè)誤差。

在2.5節(jié)中，已經(jīng)通過(guò)仿真分析得到了檢測(cè)的原理誤差，為2.3 nm rms，于是總的面形檢測(cè)誤差等于：

(19)

所以五棱鏡掃描法的面形檢測(cè)精度為7.6 nm rms。

5 檢測(cè)實(shí)驗(yàn)與結(jié)果對(duì)比

采用圖8所示的檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)一塊口徑為1.5 m的平面鏡的面形進(jìn)行了檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，如圖11所示，檢測(cè)原理與檢測(cè)參數(shù)如第2節(jié)所述。

圖11 檢測(cè)1.5 m口徑平面鏡的面形 Fig.11 Surface shape detection of a 1.5 m flat mirror

對(duì)面形共檢測(cè)了5次，5次檢測(cè)的平均面形如圖12所示。5次檢測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)偏差如圖13所示，最大標(biāo)準(zhǔn)偏差為6.1 nm，僅出現(xiàn)在平面鏡邊緣，平均標(biāo)準(zhǔn)偏差為4.0 nm，可見(jiàn)，檢測(cè)重復(fù)性較好。

圖12 5次檢測(cè)的平均面形(PV=45.3 nm，RMS=13.2 nm) Fig.12 Average surface shape of 5 times of measurements(PV=45.3 nm，RMS=13.2 nm)

圖13 5次檢測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)偏差 Fig.13 Standard deviation of 5 times of measurements

圖14 Ritchey-Common法的檢測(cè)光路 Fig.14 Light path of Ritchey-Common method

圖15 Ritchey-Common法檢測(cè)得到的平面鏡面形(PV=79.1 nm，RMS=11.5 nm) Fig.15 Flat mirror surface shape detected by Ritchey-Common method(PV=79.1 nm，RMS=11.5 nm)

朱碩用Ritchey-Common法對(duì)同一塊平面鏡的面形進(jìn)行檢測(cè)[17]，檢測(cè)光路如圖14所示，檢測(cè)得到的平面鏡面形如圖15所示。將圖12與圖15比較后可知，從整體上來(lái)看，兩種方法得到的面形的分布比較相似：在中部偏右的值都比較大，在右上邊緣和右下邊緣處的值都比較小，在其它位置處的值都居中。兩者的RMS值差距也不大，但是PV值差距較大，下面進(jìn)行詳細(xì)分析。

Ritchey-Common法使用的干涉儀的CCD分辨率為1 024 pixel×1 024 pixels，換算到被測(cè)平面鏡上，采樣間距和采樣口徑均為1.5 mm左右，而本文的五棱鏡掃描法的平均采樣間距達(dá)到了60 mm，采樣口徑達(dá)到了27 mm，所以，五棱鏡掃描法的檢測(cè)頻率要遠(yuǎn)低于Ritchey-Common法。因此，在圖15中，Ritchey-Common法得到的面形的高頻信息較多，面形分布比較散亂；而在圖12中，五棱鏡掃描法得到的面形的高頻信息較少，面形分布比較平滑。注意，在圖15的右下邊緣處有一塊很小的紅色區(qū)域(彩圖見(jiàn)期刊電子版)，表示此處有一個(gè)面積很小的突起，Ritchey-Common法檢測(cè)到了這個(gè)突起，它對(duì)PV值的貢獻(xiàn)達(dá)到了30 nm左右，而五棱鏡掃描法由于檢測(cè)頻率較低，所以沒(méi)有檢測(cè)到這個(gè)突起，從而大大減小了PV值，可見(jiàn)，這個(gè)突起是兩者的PV值差距較大的主要原因。

將Ritchey-Common法的面形結(jié)果作低通濾波后得到如圖16所示的面形，濾波器采用巴特沃斯低通濾波器[20-21]。五棱鏡掃描法的平均采樣間距為60 mm，所以根據(jù)采樣定理，低通濾波的截止頻率等于：

(20)

圖16 將圖15作低通濾波后的面形圖 (PV=43.8 nm，RMS=11.9 nm) Fig.16 Surface shape of Fig.15 after low pass filtering (PV=43.8 nm，RMS=11.9 nm)

將圖16與圖15比較后可知，經(jīng)過(guò)低通濾波后，面形變得平滑，由于右下邊緣的突起被濾掉了，所以PV值下降較多，但RMS值變化不大。將圖16與圖12比較可知，與濾波前相比，兩者的面形分布更加相似，都較平滑，PV值也更加接近了?？梢?jiàn)，五棱鏡掃描法的面形結(jié)果相當(dāng)于是Ritchey-Common法面形結(jié)果的低頻部分。

實(shí)際上，五棱鏡掃描法的檢測(cè)頻率是可控的，通過(guò)減小采樣間距和采樣口徑，增加Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，就可以提高檢測(cè)頻率；反之，通過(guò)增大采樣間距和采樣口徑，減少Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，就可以降低檢測(cè)頻率。下一步，本項(xiàng)目組計(jì)劃提高五棱鏡掃描法的檢測(cè)頻率再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

另外，在檢測(cè)過(guò)程中，檢測(cè)頻率、采樣間距、采樣口徑以及Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)這4個(gè)參數(shù)要相互匹配，這樣才能檢測(cè)出該頻率下正確的面形。匹配的原則是：如果需要的檢測(cè)頻率較高，則采樣間距和采樣口徑就需要小一些，Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就需要多一些；如果需要的檢測(cè)頻率較低，則采樣間距和采樣口徑就需要大一些，Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就需要少一些。本文根據(jù)上述匹配原則，確定了平均最高檢測(cè)頻率為0.008 3 lp/mm，平均采樣間距為60 mm，采樣口徑為27 mm，Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為36。通過(guò)前面所述的仿真分析和檢測(cè)實(shí)驗(yàn)已證明這4個(gè)參數(shù)是相互匹配的。

最后計(jì)算得到，圖12與圖15的差值rms值為7.1 nm，圖12與圖16差值的rms值為3.2 nm，均小于五棱鏡掃描法的面形檢測(cè)精度7.6 nm rms，可見(jiàn)本文檢測(cè)方法是正確的。

6 結(jié) 論

本文提出了一種新的五棱鏡掃描法檢測(cè)大口徑平面鏡的面形。該方法使用一個(gè)掃描的五棱鏡和一個(gè)自準(zhǔn)直儀測(cè)量表面傾斜角的差值，然后建立方程組，最后采用最小二乘法計(jì)算得到被測(cè)平面鏡的面形。

該方法可以有效減小各種測(cè)量誤差：第一，五棱鏡本身的誤差抑制特性以及表面傾斜角差值的計(jì)算可以消除傾斜誤差的一階影響；第二，五棱鏡傾斜變化量的監(jiān)視與調(diào)整可以減小傾斜誤差的二階影響；第三，僅使用一個(gè)五棱鏡以及表面傾斜角差值的計(jì)算可以消除五棱鏡制造誤差的影響；第四， 通過(guò)計(jì)算表面傾斜角差值、嚴(yán)格控制環(huán)境以及保證兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)的測(cè)量時(shí)間間隔較短，可以減小環(huán)境帶來(lái)的誤差；第五，兩個(gè)配對(duì)點(diǎn)之間較長(zhǎng)的距離可以減小相對(duì)誤差。

誤差分析表明，該方法的面形檢測(cè)精度為7.6 nm rms。采用該方法對(duì)一塊1.5 m口徑的平面鏡的面形進(jìn)行了檢測(cè)，并與Ritchey-Common法的檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，兩種方法的面形結(jié)果的差異為7.1 nm rms，小于該五棱鏡掃描法的面形檢測(cè)精度，證明了利用該五棱鏡掃描法檢測(cè)大口徑平面鏡面形的正確性。