陳德平， 尤 澤， 李保軍

(成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610225)

本文所研究的群皆為有限群，用G表示一個群，|G|表示群G階，π(G)為|G|的所有素因子的集合，p為一個素數(shù)．文中所用符號和概念大多是標(biāo)準(zhǔn)的，未指明的符號和概念可參見文獻(xiàn)［1－2］．

群G的子群H與T稱為可置換的，如果HT=TH．已知群G的2個子群的乘積仍為子群的充要條件是它們可置換(參見文獻(xiàn)［1］的定理1．2)．因此，子群的可置換性為子群的一個重要性質(zhì)．一個群的正規(guī)子群與其所有子群可置換，但反之不然．若群G的子群H與G的所有子群可置換，則稱H為G的擬正規(guī)子群［3］或置換子群［4］．推廣這一概念，群 G的子群H被稱為為s－置換子群(或s－擬正規(guī)子群)［5－6］，如果 H 與 G 的所有 Sylow 子群可置換．s－置換子群與置換子群有著很多相近的性質(zhì)，如s－置換子群也是次正規(guī)子群以及無核s－置換子群冪零等．近年來，在對置換子群和s－置換子群研究的基礎(chǔ)上，一些新的子群廣義置換性質(zhì)被提出并得到了較為廣泛的研究，譬如 Guo 等［7－8］對 X－置換子群和c－置換子群的研究;Wang 等［9－10］對 c－正規(guī)子群和c－可補(bǔ)子群的研究等．這些廣義置換子群也有著很好的性質(zhì)并深刻的影響著群結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［11］得到群G的無核X－置換子群(其中X為G的某一正規(guī)冪零子群)為超可解子群;文獻(xiàn)［9］證明所有極大子群皆為c－正規(guī)的群一定可解．利用子群各類廣義置換性質(zhì)研究群結(jié)構(gòu)的最為廣泛的研究工作是通過極小子群和Sylow子群的極大子群刻畫群結(jié)構(gòu)［12－16］．統(tǒng)一和發(fā)展這方面的研究．2007 年，Skiba［17］提出了弱s－置換子群的概念，并利用這一概念，給出了一些有意義的研究成果．本文主要研究工作為利用某些子群的弱s－置換性質(zhì)研究群的p－超可解性和p－冪零性，將得到一些關(guān)于群結(jié)構(gòu)的新刻畫．

1 預(yù)備知識

首先列出一些文中將會用到的基本概念和引理．

定義 1．1［5］群G的一個子群H在G中稱為s－置換的，若對G階的任意素因子p和G的任意Sylow p－子群 P，都有 HP=PH．

由定義所有正規(guī)子群和置換子群都是s－置換的．根據(jù)文獻(xiàn)［16］中的引理 2．1(5)的證明，容易得到2個s－置換子群的交還是s－置換的．設(shè)H、K為G的2個子群，由于G有限，〈H，K〉一定可分解為有限多個H與K的乘積．因此，如果H與K都是s－置換的，則〈H，K〉也是．

定義 1．2［17］群G的一個子群H在G中稱為弱s－置換的，如果G中存在一個次正規(guī)子群T，使得HT=G且T∩H≤HsG，其中HsG為含于H的G的最大s－置換子群．

對弱s－置換子群，有以下基本性質(zhì):

引理 1．3［17］設(shè) H≤K≤G，則有

1)如果H在G中s－置換，則H在G中是弱s－置換的;

2)假設(shè)H是群G的正規(guī)子群，則K/H在G/H中弱s－置換當(dāng)且僅當(dāng)K在G中也是弱s－置換的;

3)如果H在G中弱s－置換，則H在K中也弱s－置換;

4)假設(shè)H是群G的正規(guī)子群，若在G中弱s－置換的子群E滿足(|H|，|E|)=1，則商群HE/H在G/H中也弱s－置換．

引理 1．4 設(shè)H是群G的s－置換子群，P是G的一個 p－子群．若 p|H|，則 P≤NG(H)，進(jìn)而有Oπ(G)≤N(H)，其中π ={p∣ p|H|}．

G

證明 設(shè)Gp為G的包含P的一個Sylow p－子群．因?yàn)镠是群G的s－置換子群，所以HGp=GpH為G的一個子群．由p|H|知H為HGp的一個Hall子群．另一方面，由于s－置換子群必為次正規(guī)子群，得到H次正規(guī)于HGp．但次正規(guī)的Hall子群必然正規(guī)，因此HHGp．于是 P≤Gp≤NG(H)．由 P 的任意性，立即可以得到Oπ(G)=〈P∣P為準(zhǔn)素子群且(|P|，|H|)=1〉≤NG(H)．

引理1．5 設(shè)G有唯一極小正規(guī)子群N．若N為初等交換 p－群且 N ≤/Φ(G)，則

N=Op(G)=F(G)=CG(N)．證明 因?yàn)镹≤/Φ(G)，所以存在G的極大子群M使得N≤/M．因此G=NM．由N交換，N∩MNM=G．但N極小正規(guī)子群，因此N∩M=1．又由N為初等交換 p－群，顯然有 N∈Op(G)∈F(G)∈CG(N)．設(shè) C=CG(N)，則

2 主要結(jié)果

定理2．1 設(shè)G為p－可解群．若對于G的任一非Frattini p－主因子 H/K，存在G的 Sylow p－子群的極大子群P1不覆蓋H/K且在G中弱s－置換，則G是p－超可解的．

證明 假設(shè)定理不成立，并設(shè)G是一個極小階反例．通過以下步驟完成證明．

1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假設(shè) N 是包含在Op'(G)中G的極小正規(guī)子群．下面考慮商群G/N．設(shè)(H/N)/(K/N)為G/N的任一非Frattini p－主因子，則H/K為G的一個非Frattini p－主因子．由條件，存在G的Sylow p－子群的極大子群P1不覆蓋H/K且在G中弱s－置換．顯然，P1N/N為G/N的一個Sylow子群的極大子群．又由HP1K有

所以P1N/N不覆蓋 H/N/K/N．又因?yàn)?N為 p'－子群，由引理1．3的 4)，有 P1N/N 在 G/N 中弱 s－置換．因此條件對G/N成立．又由G的極小性有G/N是p－超可解的，故G也是p－超可解的，矛盾．

為 p'－數(shù)．另一方面|P1H ∶P1K|||H ∶K|為 p－數(shù)．因此|P1H ∶P1K|=1，即 P1H=P1K，矛盾．所以 N≤P1．由引理1．3的2)，P1N/N在G/N中是弱s－置換的．顯然P1N/N不覆蓋(H/N)/(K/N)，因此條件對G/N成立．于是G/N是p－超可解的．若G中包含不同于N的極小正規(guī)子群M，則N∩M=1，因此GG/M∩N為p－超可解，矛盾．所以N是G的唯一極小正規(guī)子群．又若N≤Φ(G)，則由p－超可解群的群類是一個飽和群系，可知G為p－超可解，因此NΦ(G)．由引理 1．5 有3)最后的矛盾．設(shè)N為G的極小正規(guī)子群，由2)，N是初等交換p－群且NΦ(G)．故能找到一個G的Sylow p－子群的極大子群P1，使得NP1且P1在G中弱s－置換，即存在LG，使得P1L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一極小正規(guī)子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群，矛盾．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N 在 G 中是 s－置換的．因此由引理1．4有

設(shè)Gp為包含P1的G的Sylow p－子群，由P1是Gp的極大子群，有 P1Gp．又 NGp，所以 P1∩NGp，因此 G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即 P1∩NG．但是 NP1且N為極小正規(guī)子群，因此P1∩N=1．于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由 G/N 是 p－超可解，N是p階的，說明了G也是p－超可解的．這一最后矛盾表明定理成立．

注 2．1 定理2．1中G為p－可解群的條件不可去掉．事實(shí)上，設(shè)G為5次交錯群A5，則G的Sylow 3－子群的極大子群都為1，從在A5內(nèi)是弱s－置換的，但顯然A5不是3－超可解的．

定理2．2 設(shè)p是群 G階的素因子且(p－1，|G|)=1．若對于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的極大子群P1不覆蓋H/K且在G中弱s－置換，則G是p－冪零的．

證明 假設(shè)定理不成立，并設(shè)G是一個極小階反例．通過以下步驟完成證明．

1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假設(shè) N 是包含在Op'(G)中G的極小正規(guī)子群．下面考慮商群G/N，設(shè)(H/N)/(K/N)為G/N的任一非Frattini p－主因子，則H/K為G的一個非Frattini p－主因子．由條件，存在G的Sylow p－子群的極大子群P1不覆蓋H/K 且在 G 中弱 s－置換．由引理1．6，P1N/N 為 G/N的一個Sylow子群的極大子群．由HP1K有H/NP1K/N=(P1N/N)(K/N)，所以 P1N/N不覆蓋(H/N)/(K/N)．又因?yàn)?N 為 p'－子群，由引理 2．3的4)，有P1N/N在G/N中弱 s－置換．因此條件對G/N成立．又由G的極小性有G/N是p－冪零的，故G也是p－冪零的，矛盾．

2)G的極小正規(guī)子群N是p－群．設(shè)N是G的任意極小正規(guī)子群，由1)知，N 是一個 pd－群．若p2N，則N為p－冪零的，由N的極小性且Op'(G)=1，知N是p－群．又若N≤Φ(G)，則N顯然為p－群．設(shè)p2N且NΦ(G)，由定理?xiàng)l件，存在G的Sylow p－子群的極大子群P1在G中弱s－置換，即存在LG，使得P1L=G且P1∩L≤P1sG．若 N 不是 p－群，則 N=Op(N)≤Op(G)≤L，所以

P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N

在G中是s－置換的，因此由引理1．4，可得P1∩N≤Op(G)．由 p2|N，P1∩N≠1，從而

于是N≤Op(G)，此矛盾說明2)成立．

設(shè)N是G的任意極小正規(guī)子群，由2)知，N為一個p－群．設(shè)(H/N)/(K/N)為G/N的任一非Frattini p－主因子，則H/K為G的一個非Frattini p－主因子．設(shè)P1不覆蓋 H/K，即 P1H≠P1K．若 NP1，則 NP1為G的一個Sylow p－子群．因此

為 p'－數(shù)．另一方面|P1H ∶P1K|||H ∶K|為 p－數(shù)．則|P1H ∶P1K|=1，即 P1H=P1K，矛盾．所以N≤P1．又顯然有P1N/N不覆蓋(H/N)/(K/N)并且根據(jù)引理1．3的2)，可得定理?xiàng)l件G/N仍成立．由G的極小性，G/N是p－冪零的．若G中包含不同于N的極小正規(guī)子群M，則N∩M=1，因此GG/M∩N為p－冪零，矛盾．所以N是G的唯一極小正規(guī)子群．又若N≤Φ(G)，則由p－冪零群的群類是一個飽和群系，可知G為 p－冪零群，因此 NΦ(G)．由引理 1．5，N=Op(G)=F(G)=CG(N)成立．

4)最后的矛盾．設(shè)N為G的極小正規(guī)子群，由3)，N是初等交換p－群且NΦ(G)．故能找到一個G的Sylow p－子群的極大子群P1，使得NP1且P1在G中弱s－置換．即存在LG，使得P1L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一極小正規(guī)子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群．于是 P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置換的，因此由引理 1．4 有

設(shè)Gp為包含P1的G的Sylow p－子群，由 P1是 Gp的極大子群，有 P1Gp．又 NGp，所以 P1∩NGp，因此 G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即 P1∩NG．但是NP1且N為極小正規(guī)子群，因此P1∩N=1，于是|Gp|=|N||P1|，所以 |N|=p．由 N/C 定理，G/CG(N)同構(gòu)于Aut(N)一個子群．因此但由條件(|G|，p－1)=1，因此 G/CG(N)=1．再由G/N是p－冪零，有G是p－冪零的．

推論2．3 設(shè)p是群G階的任意一個素因子．若對于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的極大子群P1在G中弱s－置換且H/KP1K/K，則G是超可解的．

證明 設(shè)p是群G階的極小素因子，必然有(p－1，|G|)=1，由定理 2．2 以及 Feit－Thompson 奇

階群可解定理，知G是可解的．再由定理2．1，對于 任意素數(shù)p，G是p－超可解的，因此G為超可解．