嚴(yán)衛(wèi)平， 王學(xué)平

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

二型模糊集的概念是由Zadeh［1］在1975年首次提出，他擴(kuò)展了一般模糊集和區(qū)間值模糊集的概念．文獻(xiàn)［2－4］給出了二型模糊集的性質(zhì)與運(yùn)算．2001年，Karnik等［5］討論了二型模糊集的集合運(yùn)算（包括取小與乘積t－模的并交運(yùn)算）、代數(shù)運(yùn)算、二型模糊集隸屬度的性質(zhì)、二型模糊關(guān)系及其合成．2002年，Mendel等［6］介紹了二型模糊集的表示定理，他們不使用擴(kuò)展原理而用表示定理證明了并、交、補(bǔ)運(yùn)算．2005年，Walker等［7］等討論了二型模糊集的真值運(yùn)算與真值代數(shù)，并對(duì)二型模糊集真值代數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究．2007年，Hading等［8－9］研究了二型模糊集真值代數(shù)的子代數(shù)，證明了它的一些子代數(shù)是格，且討論了格的完備性．2010年，Harding等［10］還討論了二型模糊集真值代數(shù)的生成問(wèn)題．2014年，Walker等［11］給出了有限鏈上二型模糊集的運(yùn)算性質(zhì)．2014年，Hu等［12－13］在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上討論了線性序集上二型模糊集真值的二元運(yùn)算的擴(kuò)展t－模運(yùn)算，隨后又討論了二型模糊集的t－模運(yùn)算、二型模糊數(shù)的性質(zhì)、二型模糊關(guān)系以及區(qū)間值二型模糊集．2014年，Wang等［14］在文獻(xiàn)［12－13］的基礎(chǔ)上討論了蘊(yùn)含運(yùn)算．2016年，Gonzalo等［15］給出了次隸屬函數(shù)的廣義二型模糊集的交與并運(yùn)算等．

以上討論都是在［0，1］上．本文是在文獻(xiàn)［7，12］的基礎(chǔ)上，將［0，1］拓展到完備分配格上，討論真值為格值的二型模糊集的運(yùn)算及其性質(zhì)．

1 完備分配格L上的二型模糊集的模糊真值運(yùn)算

設(shè)L是完備分配格（有關(guān)格知識(shí)參見文獻(xiàn)［16］），X 上的模糊集是映射A：X→L，稱A（x）為模糊集A在x處的隸屬度，稱X為模糊集A的定義域，稱L為模糊集A的值域．所有X到L的映射構(gòu)成的集合記為Map（X，L）．對(duì)任意A，B∈Map（X，L），定義A≤B當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X，A（x）≤B（x）．對(duì)任意Ai∈Map（X，L），x∈X，定義（∪Ai）（x）＝∨Ai（x）， （∩Ai）（x）＝∧Ai（x），i∈Ii∈Ii∈Ii∈I其中I為指標(biāo)集．易見，模糊集的序≤，運(yùn)算∪及∩均以點(diǎn)式定義方式來(lái)源于格（L，≤，∨，∧）．設(shè)J為完備分配格L的完備子格．拓展二型模糊集的定義如下．

定義1．1 設(shè)X為非空集合，稱映射A：X→Map（J，L）為X上二型模糊集．

記X上所有二型模糊子集構(gòu)成的集合為Map（X，Map（J，L））．Map（J，L）的元素是L 的一般模糊集．與Map（X，L）一樣，Map（X，Map（J，L））中二型模糊集的運(yùn)算可從Map（J，L）的運(yùn)算以點(diǎn)式定義方式得到．與文獻(xiàn)［7］中Map（X，Map（J，［0，1］）的二型模糊集的運(yùn)算一樣，可以使用卷積構(gòu)造Map（J，L）上的運(yùn)算．設(shè)U、V 是2個(gè)集合，ο是U 上的二元運(yùn)算，▲是V上的二元運(yùn)算，▼是V上另一二元運(yùn)算，則可用如下方式定義集合Map（U，V）上的二元運(yùn)算·：對(duì)任意f，g∈Map（U，V），定義稱f·g為f與g的卷積．

以下利用卷積運(yùn)算，可以定義Map（J，L）上的運(yùn)算．

定義1．2 如果映射N：L→L滿足：

1）對(duì)任意x，y∈L，如果x≤y，則N（y）≤N（x）；

2）對(duì)任意x∈L，N（N（x））＝x，則稱N為L(zhǎng)上的強(qiáng)否定．

定義1．3 設(shè)f，g∈Map（J，L），N 為L(zhǎng) 上強(qiáng)否定運(yùn)算，定義fg和fg如下：

定義1．4 設(shè)f∈M，定義M中的fL和fR如下：對(duì)任意x∈J，

易見，函數(shù)fL是單調(diào)遞增的，而fR是單調(diào)遞減的．

定理1．1 設(shè)f，g∈M，則：

1）f≤fL，f≤fR；

2）（fL）L＝fL，（fR）R＝fR；

3）（fL）R＝（fR）L，因此（fL）R可以寫成fRL或者fLR；

證明 由定義1．4知1）、2）與8）顯然成立．

3）對(duì)任意x∈J，

因此，任意x∈L，

4）對(duì)任意x∈J，

又

5）對(duì)任意x∈J，

即（f∪g）L＝fL∪gL．類似可證（f∪g）R＝fR∪gR．

6）對(duì)任意x∈J，所以（f∩g）L≤fL∩gL．類似可證

7）對(duì)任意x∈J，

定理1．2 設(shè)f，g∈M，則：

證明 對(duì)任意x∈J，f，g∈M，

又由（L，∨，∧，0，1）是完備分配格知（Map（J，L），∩，∪，0－，1－）是完備分配格，因此

（由定理 的結(jié)論 ））1．11

所以

類似有

所以

注1．1易見，如果定理1．2中函數(shù)f與g均是單調(diào)遞增的，則等號(hào)成立 因?yàn)榇藭r(shí)．

但等號(hào)一般不成立．

例1．1 設(shè)L＝｛0，a，b，1｝滿足a與b不可比，且a∨b＝1，a∧b＝0，則易見（L，∧，∨，0，1）是完備分配格．

1）設(shè)f（0）＝1，f（a）＝a，f（b）＝b，f（1）＝0；g（0）＝1，g（a）＝b，g（b）＝a，g（1）＝0，則

而

所以

而

所以

命題1．1 設(shè)f，g∈M，則：

2）fLgL≥fL∩gL，fL∩gL≤fLg；

3）fRgR≥fR∩gR，fR∩gR≤fRg；

證明 1）對(duì)任意x∈J，

2）由定理1．2及定理1．1的結(jié)論2）知

3）由定理1．2及定理1．1的結(jié)論2）知

4）對(duì)任意x∈J，

5）由定理1．2直接可證．

命題1．2 設(shè)f，g∈M，則：

證明 1）對(duì)任意x∈J，

因此，若y∧z≤x，則存在y1，z1∈J使得y1≥y，z1≥z，y1∧z1＝x．故

又對(duì)任意x∈J，因?yàn)?/p>

因此，若y∨z≥x，則存在y1，z1∈J使得y1≤y，z1≤z，x＝y(tǒng)1∨z1．故

又對(duì)任意x∈J，因?yàn)?/p>

注1．2 命題1．2中等號(hào)一般不成立．

例1．2 設(shè)格L是平面的所有閉子集構(gòu)成的完備分配格，且f，g∈Map（L，L）．

由命題1．1的結(jié)論2）知fLgL≥fL∩gL，所以（fg）L（x）＜（fLgL）（x），即（fg）L＜fLgL．同理可證其余等式也不成立．

注1．3 定理1．3中等號(hào)一般不成立．

例1．3 設(shè)L＝｛0，a，b，1｝滿足a與b不可比，且a∨b＝1，a∧b＝0，則易見（L，∧，∨，0，1）是完備分配格．

1）設(shè)f（0）＝a，f（a）＝b，f（b）＝1，f（1）＝0，

則

所以

2）設(shè)f（0）＝0，f（a）＝a，f（b）＝1，f（1）＝b，則：

定理1．4 設(shè)f，g，h∈M，則：

證明 1）對(duì)任意x∈J，

2）對(duì)任意x∈J，因此，

定理1．5 設(shè)f，g，h∈M．若格L是無(wú)限分配的，則：

證明 對(duì)任意 ， x∈J

（由L的無(wú)限分配性）

（由L的無(wú)限分配性）

定理1．6 設(shè)f，g，h∈M，則：

證明 對(duì)任意x∈J，

定理1．7 設(shè)f，g，h∈M．若格L是無(wú)限分配的，則：

證明 對(duì)任意x∈J，（由L的無(wú)限分配性）

注1．5 定理1．7中等號(hào)一般不成立．

例 設(shè) （ （）， ）， ｛，，｝，1．4 L＝PowA∈A＝012設(shè)f，g，h∈Map（L，L），

設(shè)x＝1L，則