沈怡心， 蒲志林， 胡華書(shū)

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

0 引言

研究捕食－被捕食系統(tǒng)的動(dòng)力性質(zhì)是生物學(xué)家非常關(guān)注的問(wèn)題，捕食－被捕食系統(tǒng)中一個(gè)重要的關(guān)系就是捕食者依賴于被捕食者的程度，即為捕食者的功能反應(yīng)，功能反應(yīng)是嚴(yán)格依賴于捕食者的．常見(jiàn)的功能反應(yīng)類型有 Holling I－III型［1－3］、Goldstein－ Neill 型［4］、Hassell－ Varley 型［5］、Growley－Martin型［6］、比率相依型［7］及 Beddington－DeAngelis型［4，8］．

具有HollingⅡ型功能反應(yīng)［2］的 Kolmogorov型的捕食－被捕食系統(tǒng)為其中，x代表被捕食者，y代表捕食者．該系統(tǒng)的不同形式引起了理論和數(shù)學(xué)生物學(xué)家的極大興趣．但是依賴于捕食者的功能反應(yīng)，不能體現(xiàn)捕食者自身的影響，并且在生物學(xué)和生理學(xué)上也面臨著挑戰(zhàn)．Arditi等［7］在此基礎(chǔ)上提出了比率相依捕食－被捕食模型

這種模型引入了捕食者的影響，更豐富地體現(xiàn)其中的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．但當(dāng)?shù)兔芏葧r(shí)，該系統(tǒng)部分性質(zhì)會(huì)引起矛盾．Skalski等［2］從19個(gè)捕食與被捕食系統(tǒng)中得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，表明3種功能反應(yīng)（Beddington－DeAngelis型、Crowley－Martin型和 Hassell－Varley型）能更好地體現(xiàn)捕食者依賴于捕食－被捕食系統(tǒng)中各個(gè)量的程度．在某些條件下Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)能更好地體現(xiàn)這種關(guān)系．由 Beddington［8］和 DeAngelis等［4］分別提出的具Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)的捕食－被捕食系統(tǒng)為

這個(gè)模型具有Holling II型功能反應(yīng)的特點(diǎn)，在分母中增加的項(xiàng)cy體現(xiàn)了捕食者之間的相互影響．該模型又具有比率相依型功能反應(yīng)的一些性質(zhì)，并且克服了比率相依型在低密度下的缺陷．這類具有Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)的模型被廣泛研究，其全局動(dòng)力學(xué)行為得到了很好的結(jié)果［9－11］．但這些結(jié)果都是在常數(shù)環(huán)境下得到的，這在實(shí)際生活中是很少見(jiàn)的，大多數(shù)的自然環(huán)境都是多變的，出生率、死亡率等其他與種群數(shù)量相關(guān)的量大都依賴于時(shí)間，因此，Meng等［12］研究了具有Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)的非自治捕食與被捕食系統(tǒng)

Meng等［12］對(duì)非自治系統(tǒng)（4）研究了t→∞時(shí)的持久性、解的全局漸近穩(wěn)定性及周期解的相關(guān)性質(zhì)，該非自治系統(tǒng)的拉回漸近性態(tài)仍有待研究．

文獻(xiàn)［13］研究了非自治Lotka－Volterra系統(tǒng)的向前和拉回漸近性態(tài)．本文主要借鑒文獻(xiàn)［13－14］的方法，對(duì)具Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)系統(tǒng)的拉回行為進(jìn)行研究．

為探索具Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)的非自治捕食與被捕食系統(tǒng)的拉回行為，本文將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為只有一個(gè)系數(shù)與時(shí)間t相關(guān)的方程

其中，a、c、d、α、β、γ都是正的常數(shù)，b（t）是 R上的有界連續(xù)函數(shù)，且恒為正．本文給出了這個(gè)方程的向前行為，并利用上下解、比較原理及l(fā)ogistic方程探索其拉回行為．

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹本文將用到的一些概念和術(shù)語(yǔ)等．

定義1．1［14］假設(shè)（X，d）是一個(gè)完備度量空間，S（t，s）t≥s（t，s∈R）是一個(gè)映射集族，且滿足：

（a）對(duì)所有τ≤s≤t有

S（t，s）S（s，τ）u ＝ S（t，τ）u；

（b）S（t，s）u關(guān)于t、τ和u 都是連續(xù)的；

（c）對(duì)t∈R，S（t，t）是X 中的恒等映射，則稱S（t，s）為（X，d）上的一個(gè)過(guò)程．

設(shè)（x（t，s；x0，y0），y（t，s；x0，y0））是系統(tǒng)（6）在初值條件x（s）＝x0，y（s）＝y(tǒng)0下的解，則可知S（t，s）（x0，y0）＝ （x（t，s；x0，y0），y（s，t；x0，y0））是R2上的一個(gè)過(guò)程．

定義1．2［13］X 的子集族｛K（t）｝t∈R是拉回吸引的，如果對(duì)每一個(gè)有界集D滿足

定義1．3［13］X 的子集族｛B（t）｝t∈R是關(guān)于過(guò)程S的不變集，若

定義1．4［13］緊集族是關(guān)于過(guò)程S的全局拉回吸引子，如果它是不變的、拉回吸引的，并且是最小拉回吸引（若是另一個(gè)閉的拉回吸引集族，則對(duì)t∈R有A（t）C（t））．

定理 1．5［13］存在一個(gè)全局拉回吸引子，當(dāng)且僅當(dāng)存在緊的拉回吸引集族

為研究系統(tǒng)（6）的漸近行為，給出與之相關(guān)的logistic方程及其一些有用結(jié)論．

考慮logistic方程

其中，p（t）＞0，l∈C0（R）．記該方程的解為θ［p（·），l（·）］（t，s；x0），經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到

定理1．6［14］給定x（s）＝x0＞0，則存在（7）式的唯一正解θ［p，l］（t，x；x0）對(duì)t＞s是嚴(yán)格正的，并且θ［p，l］（t，x；x0）關(guān)于p 單增，關(guān)于l單減．

定理1．7［13］（7）式的解有以下性質(zhì)：

（a）若p（t）→p＞0，且l（t）→0（t→∞），則θ［p，l］（t，s）→∞（t→∞）；

（b）若ps（·）→p＞0（s→－∞）（在緊子集R上一致），則存在

的解α：R→R，

使得

關(guān)于非自治系統(tǒng)（6）解的性質(zhì)有如下結(jié)果．

定理1．8 給定x（s）＝x0＞0，y（s）＝y(tǒng)0＞0，則系統(tǒng)（6）存在唯一的解

對(duì)所有t＞s嚴(yán)格為正，且

其中由（8）式給出．

證明 令

根據(jù)文獻(xiàn)［11，13－14］，系統(tǒng)的向前持久性即指對(duì)任意初始值x（s）＝x0＞0，y（s）＝y(tǒng)0＞0，它的解 （x（t，s；x0，y0），y（t，s；x0，y0））在某一時(shí)刻后進(jìn)入到一個(gè)正的嚴(yán)格有界緊集；系統(tǒng)的拉回持久性則是指存在正的與時(shí)間t相關(guān)的拉回吸收集族，并且是有界的．下面給出具體的定義．

定義1．9［12］系統(tǒng)（6）稱為向前持久的，若存在正常數(shù)δ、Δ，0＜δ＜Δ，使得對(duì)系統(tǒng)（6）的所有擁有正的初始值的解滿足

若有一個(gè)擁有正的初始值的解滿足則系統(tǒng)（6）是非持久的．

定義1．10［14］系統(tǒng)（6）稱為拉回持久的，若存在時(shí)間依賴集族｛U（t）｝t∈R2，滿足：

（a）U（t）吸收所有 R2中的有界集；

（b）存在ε＞0，使得對(duì)所有t∈R，滿足｜U（t）｜＞ε．

2 非自治系統(tǒng)的漸近性態(tài)

2．1 向前漸近行為 考慮到系統(tǒng)的生物因素，下面只考慮擁有正初始條件的解（x（t），y（t）），即滿足x0，y0＞0的解．對(duì)R上的有界連續(xù)函數(shù)b（t），記

證明 對(duì)任意正的初始條件x（s）＝x0＞0，y（s）＝y(tǒng)0＞0，由定理1．8可知存在系統(tǒng)（6）唯一的解（x（t，s；x0，y0），y（t，s；x0，y0）），且滿足

其中

令V＝fx＋cy，則

由

得

又由（10）式可得

因此

由（11）式有

這里當(dāng)t充分大時(shí)，ε＞0充分?。?/p>

可得

由條件可選擇充分小的ε，使

由此可推出

結(jié)合（10）～（13）式，系統(tǒng)（6）是向前持久的．

定理2．2 若βd＞f，則limy（t，s；x0，y0）＝

t→＋∞0．

證明 由定理1．8有

其中

當(dāng)βd＞f時(shí)

故

其中

對(duì)微分方程

進(jìn)行放縮，得到方程

當(dāng)s→－∞時(shí)，有

由于

是可積的，根據(jù)函數(shù)的比較原理可知，存在β1（t）使得

因此，在R2中存在半徑為

的球B（t）＝BR2（0，r1（t））是過(guò)程S（t，s）的拉回吸收集．故存在 R2中的緊的拉回集族｛B（t）｝t∈R．根據(jù)定理1．5可知存在一個(gè)全局拉回吸引子｛A（t）｝t∈R．

定理2．4 若且（f－dβ）α1－dα＞0，則系統(tǒng)（6）是拉回持久的．

其中

令

則有

由定理2．3，存在T（t，x0，y0）∈R使得

由

可得

令

因此有

取

令

則U（t）吸收R2中的所有有界集，且滿足0，故系統(tǒng)（6）是拉回持久的．