唐斯聰， 王海龍,， 張曉冉， 胡子陽， 曹文靜

(1. 石家莊鐵道大學(xué) 交通運輸學(xué)院，石家莊 050000; 2. 河北建筑工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)作為一種減振裝置，通過調(diào)諧自身頻率實現(xiàn)對主體結(jié)構(gòu)的吸振減振。為了高效發(fā)揮TMD在工程實際中的作用，眾多學(xué)者將新構(gòu)造[1-2]、新理論[3-4]、新策略[5]緊密地與TMD系統(tǒng)結(jié)合，設(shè)計出了功能更強(qiáng)大、使用更方便的振動控制系統(tǒng)。多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Multiple TMD,MTMD)是由多個單調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Single TMD,STMD)構(gòu)成的減振系統(tǒng)，在振動控制中較STMD擁有更佳的減振性能和控制魯棒性，其因良好的經(jīng)濟(jì)性、優(yōu)異的減振性能和易于安裝維護(hù)的特點在工程結(jié)構(gòu)減振中得到了廣泛應(yīng)用。由于MTMD較STMD復(fù)雜，在減振控制中要求多個TMD協(xié)同工作，MTMD的參數(shù)取值和位置選取成為決定減振效果的關(guān)鍵因素。

在參數(shù)取值方面，MTMD不像STMD一樣能夠利用解析方法尋找參數(shù)最優(yōu)解，早期對MTMD的研究都是在特定參數(shù)下進(jìn)行的[6]，通過指定TMD的頻率、阻尼比和質(zhì)量比，研究體系在應(yīng)對地震荷載、風(fēng)荷載等情況下的減振性能，初步得出了一些較為合理的MTMD參數(shù)組合[7-8]。隨著最優(yōu)算法與MTMD參數(shù)尋值結(jié)合，MTMD的參數(shù)不再停留在特定組合上，通過合理的優(yōu)化能夠得到特定情況下的最優(yōu)解，徐慶陽等[9]根據(jù)大跨懸掛結(jié)構(gòu)的動力特性將TMD分組設(shè)計，針對不同的模態(tài)優(yōu)化不同組TMD參數(shù)，李泉等[10]針對大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)的多模態(tài)振動問題，提出了MTMD對樓蓋多個振動模態(tài)進(jìn)行控制的設(shè)計方法，并比較了多模態(tài)優(yōu)化方法和單模態(tài)優(yōu)化方法設(shè)計的MTMD減振控制效率，徐若天等[11]提出一種步行荷載下大跨樓蓋MTMD參數(shù)優(yōu)化的混合算法，利用有限元獲得樓蓋模態(tài)后再由振型分解法計算步行荷載引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，結(jié)合遺傳算法對MTMD進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

在位置選取方面，TMD不同安放位置對體系減振效果的影響及其在減振控制中的實現(xiàn)途徑尚不明確，MTMD的位置設(shè)計尚無較為完善的方法，在安裝MTMD的時候都按照STMD單模態(tài)控制的經(jīng)驗，將TMD布置于受控模態(tài)振型幅值的最大處，這種方法沒有經(jīng)過嚴(yán)密的推導(dǎo)，為此有一些學(xué)者通過自行編寫的優(yōu)化程序調(diào)用有限元軟件，通過生死單元來模擬不同的位置組合，當(dāng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜或TMD數(shù)量較多時，其計算量將是十分巨大的。

為了對MTMD的位置進(jìn)行優(yōu)化，克服有限元時程方法計算成本過高的問題，本文結(jié)合有限元法和振型分解法，提出了一種MTMD位置優(yōu)化方法，并以此為基礎(chǔ)制定了MTMD位置和參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化策略。

1 樓蓋MTMD系統(tǒng)耦合運動方程

大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)在使用過程中由于人行荷載的豎向激勵可能產(chǎn)生較大的振動，會引起人體不適并影響建筑使用要求，需要對樓蓋采取豎向振動控制措施，現(xiàn)利用MTMD對樓蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動控制。被簡化為n個質(zhì)點的大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)在人行激勵下發(fā)生振動，在結(jié)構(gòu)上布置m個TMD系統(tǒng)以控制振動響應(yīng)，人行荷載設(shè)定為全體人員均勻分布在激勵位置做同頻率、同相位原地運動。整個體系的動力方程為

(1)

式中：M,C,K和Md,Cd,Kd分別為結(jié)構(gòu)和MTMD的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；X為大跨結(jié)構(gòu)各質(zhì)點相對于地面的位移；Xd為各個TMD相對于地面的位移；E為n行m列的MTMD位置矩陣，E的每一列都對應(yīng)一個TMD的安放位置，如：E矩陣第a列的元素為[0,0,…,1,…,0](1在矩陣第k行)，表示第a個TMD安放在結(jié)構(gòu)第k個節(jié)點處。

MTMD相對大跨度樓蓋的質(zhì)量比很小(通常在5%以下)，可以認(rèn)為對樓蓋振型的影響很小。利用振型分解法將式(1)展開，并做方程間的代換，可推得：

(2)

(3)

式中：mn，cn，kn分別為第n階的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度；mm，cm，km分別為第m個TMD的質(zhì)量、阻尼和剛度；qn為第n階模態(tài)的廣義坐標(biāo)；xm為第m個TMD相對于地面的位移；φnm為第n階模態(tài)在第m個質(zhì)點處的振型幅值。

從式(2)右端可知，任何一階模態(tài)響應(yīng)都由全部TMD控制，它們或多或少的以慣性力的方式作用在各階模態(tài)上，通過與振型幅值相乘表現(xiàn)出不同的參與程度。從單個模態(tài)來看，影響每個慣性力大小的因素是不同位置的振型幅值，從單個TMD來看，決定其在不同模態(tài)參與程度的因素是不同模態(tài)的振型幅值。

對式(2)、式(3)整體進(jìn)行傅里葉變換，可得

X=E-1F

(4)

其中，

式中：F(iω)為步行荷載在頻域的表現(xiàn)形式；ψn為與人員分布相關(guān)的n階振型相關(guān)的系數(shù)，為人員活動區(qū)域覆蓋的振型網(wǎng)點的豎向振型幅值之和；γ為與人員密度相關(guān)的系數(shù)。

依據(jù)大量單步落足曲線試驗結(jié)果，腳步力荷載可用式(5)[13]的傅里葉級數(shù)表達(dá)，將其轉(zhuǎn)換到頻域可以表達(dá)為圖1。

(5)

式中：G為行人平均重力；f0為行人步頻；αi和σi分別為第i階簡諧振動荷載系數(shù)和初相位，α1=0.4+0.25(f0-2)，α2=α3=0.1；n為傅里葉級數(shù)階數(shù)，一般取n=3。

圖1 人行荷載在頻域內(nèi)的分布Fig.1 Distribution of human-induced loads in frequency domain

在計算ψn值時，首先對大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，選取需要疊加的模態(tài)數(shù)量，并提取各階模態(tài)在樓蓋網(wǎng)點處的豎向振型幅值，然后根據(jù)不同工況荷載的激勵區(qū)域計算區(qū)域處的網(wǎng)點振型幅值之和，可得到n階模態(tài)的ψn值。如：通過某樓蓋模態(tài)分析的結(jié)果得知此樓蓋結(jié)構(gòu)在計算動力響應(yīng)時需要考慮前五階模態(tài)振動，工況A的人員活動位置位于樓蓋的跨中區(qū)域，將跨中區(qū)域等間布置m個網(wǎng)點，提取前五階模態(tài)在m個網(wǎng)點處的豎向振型幅值分別相加，得出工況A的ψ1～ψ5。

在得出上述參數(shù)后，利用結(jié)構(gòu)動力學(xué)的相關(guān)知識得出本文計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的核心公式

(6)

2 大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)MTMD優(yōu)化方法與優(yōu)化設(shè)計

2.1 結(jié)構(gòu)布置及有限元分析

某體育館二層樓蓋結(jié)構(gòu)為張弦梁-混凝土板組合樓蓋結(jié)構(gòu)。張弦梁跨度40 m，自西向東排列共13榀，每榀之間有次梁連接，張弦梁兩端支承在混凝土柱的變截面位置，通過在鋼梁支座區(qū)域設(shè)置長圓孔實現(xiàn)滑動端的自由滑動，在樓板拆模后焊死，鋼梁截面規(guī)格為H900×450×25×50，撐桿采用空心圓鋼管截面，桿件規(guī)格為?159×6，拉索采用高礬索，規(guī)格為1×397，鋼梁與樓板之間利用混凝土樓板厚150 mm。盡管結(jié)構(gòu)強(qiáng)度滿足規(guī)范要求，但結(jié)構(gòu)振動的峰值加速度超過人體舒適度耐受極限，容易引起人們的不適，造成恐慌心理，需對其進(jìn)行減振設(shè)計。

圖2 樓蓋平面圖、弦支梁構(gòu)造圖Fig.2 Plan of floor structure and detail of beam string structure

模擬施工過程，利用實體單元模擬樓板和鋼梁，采用綁定約束模擬栓釘實現(xiàn)兩者的協(xié)同變形，利用桿單元模擬撐桿和拉索，對整體樓蓋結(jié)構(gòu)建立三維有限元模型。

圖3 弦支梁骨架模型Fig.3 The finite element model of beam string structure

圖4 弦支梁-混凝土組合樓板模型Fig.4 The finite element model of cable supported beam structure-concrete slab composite floor

對樓蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析得到各階模態(tài)頻率、質(zhì)量參與系數(shù)，因大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)在人行荷載激勵下會發(fā)生以豎向為主的振動，整理樓蓋結(jié)構(gòu)的豎向振型，分析發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的一階、三階模態(tài)的振型質(zhì)量參與系數(shù)之和達(dá)到97.9%，占豎向振型的絕大部分，故選取一階、三階模態(tài)為受控模態(tài)參與MTMD優(yōu)化。圖5為此樓蓋結(jié)構(gòu)一階、三階模態(tài)。

圖5 組合樓蓋模態(tài)形狀和模態(tài)頻率Fig.5 Natural frequencies and mode shapes of floor

2.2 MTMD位置優(yōu)化方法

為了對MTMD的安放位置進(jìn)行優(yōu)化，需要對樓蓋平面布置網(wǎng)點，由式(2)可知TMD提供的控制力與振型幅值成正比，故稀疏或忽略各階模態(tài)振型幅值近零的網(wǎng)點，依據(jù)荷載和結(jié)構(gòu)的對稱性，忽略一些局部布置的差異，最終在樓蓋約1/8部分選取512個點，如圖6、圖7所示。對其從1～512進(jìn)行編號，在確定最優(yōu)位置之前，這些點都為TMD可能的布置點，由此帶來的位置組合多達(dá)上億種，隨著TMD數(shù)量的增加，組合的數(shù)量還會呈指數(shù)增長，經(jīng)過比較選用遺傳算法對MTMD進(jìn)行優(yōu)化。

遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制開發(fā)的隨機(jī)搜索算法，它通過對決策變量進(jìn)行編碼，在編碼的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行選擇、交叉、變異，在搜索過程中自動獲取和累積相關(guān)搜索知識，并自適應(yīng)地控制搜索過程以求得最優(yōu)解。此算例中決策變量為網(wǎng)點的編號，映射到公式中與其對應(yīng)的是網(wǎng)點所處位置的振型幅值，模型的一階、三階模態(tài)為受控模態(tài)參與MTMD優(yōu)化，提取一階、三階模態(tài)在512個樓蓋網(wǎng)點處的豎向振型幅值，組成振型矩陣，在優(yōu)化過程中通過網(wǎng)點編號調(diào)用不同模態(tài)的振型幅值，雖然在優(yōu)化過程中控制的變量是網(wǎng)點編號，但實際參與決策的是振型幅值，圖8為種群中的單個個體參與優(yōu)化的決策途徑。

圖6 網(wǎng)點布置位置Fig.6 Location of lattice point

圖7 網(wǎng)點位置編號Fig.7 Lattice point location number list

圖8 單個個體的決策途徑Fig.8 The approach of genetic algorithm individual expression

采用樓蓋加速度為人體振動舒適度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，定義樓蓋結(jié)構(gòu)舒適度控制的目標(biāo)函數(shù)R，見式(7)，它是樓蓋結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(式(7)中的k)在全部時間歷程中(式(7)中的f)的最大加速度，同時為了保障體系的魯棒性，降低樓蓋結(jié)構(gòu)面對參數(shù)攝動的風(fēng)險，還應(yīng)保證R值在所有可能的人類活動頻段內(nèi)(設(shè)定式(7)中f的取值范圍為1.8～2.6 Hz)的數(shù)值最小。

(7)

運用遺傳算法以式(7)為目標(biāo)函數(shù)，選取樓蓋一階和三階模態(tài)作為樓蓋響應(yīng)的疊加模態(tài)，結(jié)合式(6)計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，經(jīng)過優(yōu)化算法運算可得MTMD在給定參數(shù)下的最優(yōu)安裝位置。

2.3 MTMD位置與參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化策略

為了實現(xiàn)MTMD位置和參數(shù)的聯(lián)合優(yōu)化，并保證優(yōu)化過程的效率和穩(wěn)定性，對遺傳算法作以下補(bǔ)充，編寫兩個相互獨立的優(yōu)化進(jìn)程，分別是“MTMD的位置優(yōu)化進(jìn)程”和“MTMD的參數(shù)優(yōu)化進(jìn)程”，每個優(yōu)化進(jìn)程單獨對MTMD的位置或參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，都以R作為目標(biāo)函數(shù)。在運算過程中兩個進(jìn)程交替運行，每個進(jìn)程的輸出結(jié)果都為下一個進(jìn)程的初始條件，在聯(lián)合優(yōu)化過程中始終都是“已知位置求參數(shù)”與“已知參數(shù)求位置”的交替循環(huán)，避免了同時優(yōu)化的不穩(wěn)定性，提高了運算的效率，只需保證單個進(jìn)程的精準(zhǔn)性，就能保證整個運算策略的可靠性。圖9為MTMD位置和參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化策略。

在對MTMD進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化時，輸入一個初始的位置編號，將其代入“MTMD的參數(shù)優(yōu)化進(jìn)程”中，運算就的循環(huán)進(jìn)行，通過設(shè)定循環(huán)次數(shù)，輸出循環(huán)過程中的最優(yōu)組合。

圖9 MTMD位置與參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化策略Fig.9 Combined optimal strategy of MTMD location and parameters

2.4 大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)MTMD優(yōu)化設(shè)計

利用聯(lián)合優(yōu)化策略對此張弦梁-混凝土板組合樓蓋結(jié)構(gòu)的減振系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。在“參數(shù)優(yōu)化進(jìn)程”中，TMD阻尼比取值范圍設(shè)定為0.02～0.5，TMD頻率的取值范圍為1.58～4.73 Hz，由此構(gòu)成參數(shù)優(yōu)化的決策變量域；在“位置優(yōu)化進(jìn)程”中，TMD位置范圍設(shè)定為圖7所示的512個網(wǎng)點，由此構(gòu)成位置優(yōu)化決策變量域。人行荷載施加于樓蓋跨中區(qū)域，等距間隔做同頻率、同相位運動。考慮TMD組數(shù)對減振效果的影響，當(dāng)組數(shù)過少時減振穩(wěn)定性不能得到保障，當(dāng)組數(shù)過多時MTMD制作不便，將組數(shù)設(shè)定為安裝于不同位置的3組、4組、5組、6組的MTMD。

MTMD總質(zhì)量的選取是優(yōu)化過程需要考慮的因素，圖10比較了不同質(zhì)量比下的樓蓋最大加速度。通過比較發(fā)現(xiàn)曲線拐點位于質(zhì)量比為2%和3%處，不論質(zhì)量比為2%和3%，都滿足人體舒適度限制要求，從經(jīng)濟(jì)性角度來看，最終采用的MTMD總質(zhì)量為18 000 kg(質(zhì)量比2%)。

圖10 不同MTMD質(zhì)量比下樓蓋最大加速度曲線Fig.10 Maximum acceleration curve of floor under different mass ratio

為與傳統(tǒng)優(yōu)化方法作比較，在進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化前將初始位置編號設(shè)置成最大振型幅值處的位置編號，經(jīng)聯(lián)合優(yōu)化得到了質(zhì)量比為2%下各組參數(shù)和位置的最優(yōu)組合(見表1)，因篇幅原因，僅繪制出各組在循環(huán)過程中產(chǎn)生最小R值的一次遺傳優(yōu)化過程(見圖11)。

表1 各組TMD最優(yōu)參數(shù)與最優(yōu)位置Tab.1 Optimal parameters and locations for different number of TMDs

圖11 不同組TMD遺傳優(yōu)化曲線Fig.11 Optimization curves for different number of TMDs

圖12為曲線的起點是將MTMD布置于結(jié)構(gòu)最大振型處(以下簡稱默認(rèn)位置)只經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化的樓蓋最大加速度，從圖12可知，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，樓蓋最大加速度有不斷下降的趨勢，明顯小于經(jīng)傳統(tǒng)優(yōu)化后的最大加速度，可見經(jīng)過聯(lián)合優(yōu)化后的MTMD減振效果得到了提升。由于TMD分組越多，安放位置越離散，MTMD組數(shù)越多減振效果未必更好。通過比較減振效果，采用圖13布置位置的4組TMD，具體參數(shù)見表2。

圖12 不同組TMD聯(lián)合優(yōu)化曲線Fig.12 Combined optimal curves for different number of TMDs

圖13 MTMD布置示意圖Fig.13 Layout of MTMD used in the floor structure

組別TMD1TMD2TMD3TMD4剛度/(N·m-1)202 635241 944257 101291 977阻尼比0.0780.0600.0600.027質(zhì)量/kg1 1251 1251 1251 125數(shù)量4444

定義減振率=(減振前響應(yīng)-減振后響應(yīng))/減振后響應(yīng)，定義提升率=(默認(rèn)位置優(yōu)化后響應(yīng)-聯(lián)合優(yōu)化后響應(yīng))/默認(rèn)位置優(yōu)化后響應(yīng)。通過表3可知，在結(jié)構(gòu)最大振型幅值處安裝MTMD有很好的減振效果，能夠很大程度的緩解結(jié)構(gòu)振動，減少約70%～80%的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，通過位置與參數(shù)的聯(lián)合優(yōu)化，減振效果能夠在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升25%～40%。

由此可見，經(jīng)聯(lián)合優(yōu)化后同等重量的MTMD能進(jìn)一步發(fā)揮它的減振性能，較傳統(tǒng)的優(yōu)化方法優(yōu)化后的MTMD減振能力得到了極大的提升。

表3 不同優(yōu)化方式下樓蓋最大加速度Tab.3 Maximum floor acceleration under different optimization methods

3 結(jié) 論

本文提出了一種MTMD位置優(yōu)化方法，以此為基礎(chǔ)制定了MTMD參數(shù)與位置聯(lián)合優(yōu)化策略，并用此策略對一個張弦梁-混凝土板組合樓蓋結(jié)構(gòu)的減振系統(tǒng)進(jìn)行減振設(shè)計，減振效果明顯，現(xiàn)得出如下結(jié)論：

(1)任何一階模態(tài)響應(yīng)都由全部TMD控制，它們以慣性力的方式作用在各階模態(tài)上，通過振型幅值表現(xiàn)出不同的參與程度，在優(yōu)化設(shè)計時需要考慮它們的協(xié)同作用。

(2)結(jié)合有限元法和振型分解法，以加速度響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)，以位置編號為決策變量，設(shè)計了一種MTMD的位置優(yōu)化方法。

(3)MTMD參數(shù)與位置聯(lián)合優(yōu)化比傳統(tǒng)的優(yōu)化方法對MTMD減振效果的提升更大，可以將此方法運用于大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計中。