倪樹平

(浙江省桐鄉(xiāng)第二中學(xué) 314511)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：“普通高中的培養(yǎng)目標(biāo)是進(jìn)一步提升學(xué)生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)，使學(xué)生具有理想信念和社會責(zé)任感，具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.教師要把教學(xué)活動的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的多樣化教學(xué)方式.教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián).”[1]可見，深化普通高中課程改革，踐行《新課標(biāo)》的核心之一是轉(zhuǎn)變教師的教育理念，堅(jiān)持教學(xué)方式的變革，特別是學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，倡導(dǎo)積極主動、敢于質(zhì)疑、善于思考、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式.筆者認(rèn)為反思與探究是學(xué)生學(xué)習(xí)方式的重中之重，是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然要求，教師要加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思的指導(dǎo)與實(shí)踐，激發(fā)他們的思維活力，讓反思與探究成為他們的學(xué)習(xí)常態(tài).下面的教學(xué)案例是基于這種理念下的有益嘗試，旨在拋磚引玉，與同行共享.

2 案例呈現(xiàn)

2.1 “向量與不等式恒成立問題”教學(xué)案例

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

師：解決平面向量問題的一般的通法有哪些？

生1：我們通?？梢杂么鷶?shù)法和幾何法兩種方法.

師：很好！代數(shù)法中的常用方法又是什么？下面請同學(xué)們先從代數(shù)的角度去探究解題思路.

圖1

師：很好！坐標(biāo)法是代數(shù)法中的重要方法，這位同學(xué)用坐標(biāo)法通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將不等式轉(zhuǎn)化為其等價(jià)的代數(shù)形式，再利用不等式恒成立的思想求解，思路非常清晰！請同學(xué)們回顧反思坐標(biāo)法的本質(zhì)是什么？

生2：應(yīng)該是建系設(shè)點(diǎn)然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的方法.

師：這就是坐標(biāo)法，坐標(biāo)法的本質(zhì)是將幾何問題代數(shù)化，也就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.本題是已知向量數(shù)量積的不等關(guān)系，除了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算還有其他的方法嗎？

圖2

即P在P0時(shí)取到最大值，

所以AC=BC.

師：很好！向量數(shù)量積的定義運(yùn)算也是代數(shù)法，這里用到了向量數(shù)量積的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是一種好方法.平面向量是以平面幾何為背景的一個(gè)幾何概念，因此一般來說平面向量問題也可以用幾何法解決，下面請同學(xué)們探究怎樣從幾何的角度去思考？

學(xué)生沉思，如何將題中的不等式轉(zhuǎn)化為幾何圖形間的內(nèi)在聯(lián)系對學(xué)生的思維挑戰(zhàn)要求更高.

圖3

師：很好！幾何法的關(guān)鍵是如何將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，這位同學(xué)利用極化恒等式將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量模的形式，利用向量模的幾何意義和不等式恒成立的思想求解，過程很簡潔！那么，請同學(xué)們反思幾何法的本質(zhì)是什么？

生5：幾何法的本質(zhì)是尋找數(shù)學(xué)量的幾何意義求解.

師：請同學(xué)們先思考坐標(biāo)法如何解？

因?yàn)閷τ谌我獾膞,y∈R不等式恒成立，

師：很好！本題與前一題目相比是將向量從二維平面向量遷移到三維空間向量，坐標(biāo)法還是離不開幾何問題代數(shù)化的本質(zhì)，做得非常好！下面同學(xué)們還是來探究幾何法，看看幾何法是否更簡潔？

圖4

所以e1·e3=e2·e3=0，

師：非常漂亮！這位同學(xué)始終抓住幾何法的本質(zhì)是找向量的幾何意義，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量模的恒不等關(guān)系，從題1關(guān)于平面中點(diǎn)到直線的距離遷移到空間點(diǎn)到平面的距離，找到了問題的突破口.代數(shù)法和幾何法是解決向量問題的兩種基本方法，各有優(yōu)缺點(diǎn)，代數(shù)法入口容易運(yùn)算量較大，幾何法思維要求較高運(yùn)算簡潔，同學(xué)們要抓住本質(zhì)，找準(zhǔn)入口，學(xué)會靈活應(yīng)用.

2.2 “直線與拋物線位置關(guān)系”教學(xué)案例

圖5

試題評析：本題第一小題考查直線斜率公式，第二小題考查直線方程、兩直線位置關(guān)系、弦長公式、直線與拋物線位置關(guān)系、求函數(shù)最值等知識點(diǎn)，重點(diǎn)考查函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化、坐標(biāo)法等數(shù)學(xué)思想方法.試題入口寬，方法多，可以從不同角度形成不同的解題思路，是培養(yǎng)學(xué)生反思解題方向、優(yōu)化解題方法的一道好題，具有較高的教學(xué)運(yùn)用價(jià)值，是我們課堂教學(xué)的好素材.

生1：我是根據(jù)直線斜率公式來求，

師：很好！這位同學(xué)從直線斜率出發(fā)將直線AP的斜率表示成關(guān)于x的函數(shù)，求出范圍，方向準(zhǔn)，策略優(yōu).請同學(xué)們反思從其他角度還有沒有好的方法？

師：這位同學(xué)從運(yùn)動的觀點(diǎn)考慮直線AP的兩個(gè)極端位置求出其斜率的范圍，也是本題的一種好思路，策略優(yōu)，值得點(diǎn)贊.對于第二小題同學(xué)們可以從哪幾個(gè)方向去思考解題方法？

生3：設(shè)直線AP的斜率為k，我想直接寫出直線AP和BQ的方程，解出Q的坐標(biāo)，再利用弦長公式把|PA|·|PQ|表示成關(guān)于k的函數(shù)，再由k的范圍求其最大值.

師：我想這種思路非常自然，是一種通法，請同學(xué)們按此思路完成解題過程，請生3板演.

所以|PA|·|PQ|=(k+1)3(1-k)，k∈(-1,1)，

構(gòu)造函數(shù)f(k)=(k+1)3(1-k)，

有f′(k)=3(k+1)2(1-k)-(k+1)3

=-2(2k-1)(k+1)2，

所以|PA|·|PQ|=1;

師：請同學(xué)們反思解題方向、過程和方法，思考該方法有什么優(yōu)缺點(diǎn)，更優(yōu)方法還有嗎？

生4：這種方法比較自然容易想到，但運(yùn)算過程復(fù)雜，不容易做對.

師：生4評價(jià)很好！那我們來探究其他的思路，剛才我們把|PA|，|PQ|都看成是弦長的概念，從另一個(gè)角度看還是一個(gè)什么數(shù)學(xué)概念？

生5：|PA|，|PQ|也是向量的模長概念.

師：很好！因此，此問題我想從向量的角度來思考方法是否更優(yōu)？請寫出解題過程.

=(k+1)3(k-1)，

下同上做法.

師：向量的角度思路很好！但這位同學(xué)的運(yùn)算過程還是顯得有點(diǎn)復(fù)雜，請同學(xué)們反思其運(yùn)算方向如何？能否選擇更好的運(yùn)算方向？

生7思維受阻.

因?yàn)閒′(1)=0，

f′(x)=-4x3+4+3x-3=-(x-1)(2x+1)2，

至此，通過反思與探究收獲了三種不同的解題思路，每一次探究都是一次方法優(yōu)化的過程，學(xué)生們積極性都很高，此時(shí)教師的追問和引導(dǎo)進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究欲望，學(xué)生陷入了沉思.

師：我想從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來考慮當(dāng)P在拋物線弧AB上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

生9：點(diǎn)Q的軌跡是以AB為直徑的半圓.

師：很好！|PA|·|PQ|是圓的一條弦AQ被點(diǎn)P分成的兩條線段長的乘積，我想可否利用平面幾何的知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

圖6

所以|PA|·|PQ|=|PE|·|PF|

=(|CE|+|PC|)(|CF|-|PC|)=2-|PC|2，

師：很好！該同學(xué)回歸到平面幾何的角度求解，思維要求較高，但運(yùn)算量大大減少，平面解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決平面幾何問題，當(dāng)然平面幾何中的公理、定理在解題中仍舊適用，因此，利用好平面幾何知識解決平面解析幾何問題可優(yōu)化方法簡化過程.

3 教學(xué)思考

3.1 反思學(xué)科思想方法，探究知識遷移過程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)社會發(fā)展的需求、數(shù)學(xué)學(xué)科的特征和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法.”[1]數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，也是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成優(yōu)良思維品質(zhì)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)解題離不開數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)，每一道數(shù)學(xué)試題都會考查蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中讓學(xué)生反思學(xué)科思想方法，探究知識遷移過程更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提升學(xué)生的認(rèn)知力，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

案例2.1中關(guān)于向量的兩個(gè)問題，通過代數(shù)和幾何兩個(gè)視角去解決，教師引導(dǎo)學(xué)生反思解決向量問題的兩種通法——代數(shù)法和幾何法，在理解兩種方法本質(zhì)的基礎(chǔ)上探究將向量從二維平面向量遷移到三維空間向量，將平面幾何中點(diǎn)到直線的距離遷移到立體幾何中點(diǎn)到平面的距離，通過對思想方法本質(zhì)的理解實(shí)現(xiàn)了知識的順利遷移過程，建立起知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的學(xué)科核心素養(yǎng).

3.2 反思解題過程方向，探究思路生成過程

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解決問題，更離不開解題教學(xué)，常常聽到有的教師抱怨這個(gè)問題我講過N遍了，學(xué)生還是不會，問題就出在教師急于完成教學(xué)任務(wù)，想多講幾個(gè)題，總認(rèn)為讓學(xué)生見多識廣，常常忽視了反思解題過程方向，忽視了解題思路的生成過程，導(dǎo)致學(xué)生表面上是聽明白了，聽懂了，但實(shí)際是知其然，不知其所以然，更沒有厘清其中知識的來龍去脈.學(xué)生從聽懂到掌握會做還有很大一段差距，因此，我們把解題教學(xué)的內(nèi)涵定位應(yīng)該是教學(xué)生學(xué)會怎樣想、為什么這樣想，教給學(xué)生解題的方向，探求思路的生成過程，而不僅是給學(xué)生講題、把題講清楚、讓學(xué)生聽懂.波利亞解題理論告訴我們：解題要做到“七分構(gòu)思”即讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納，“三分表述”即書寫、運(yùn)算、訂正、反思與回顧.因此，在解題教學(xué)中教師要注重與學(xué)生分享自身解題是怎樣構(gòu)思、怎樣想、為什么這樣想的體會，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程方向，注重解題思路與脈絡(luò)生成的過程性分析與探究.

案例2.2中在教師的引導(dǎo)下，通過學(xué)生的主動反思與探究，生成四種不同的解題思路，在此過程中教師既遵循學(xué)生思維的自然形成，又不時(shí)融入自己的解題思想，引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行深入的剖析與探究，喚醒學(xué)生對知識之間內(nèi)在聯(lián)系的思考，反思概念、信息之間的必然聯(lián)系，探求問題轉(zhuǎn)化的新思路.第二小題中的目標(biāo)|PA|,|PQ|是弦長的概念，又是向量模長的概念，更是線段長的概念，因此，從弦長、向量數(shù)量積和圓冪定理等多個(gè)角度探究生成了不同的解題思路，讓學(xué)生體會到解題過程是自然的有方向的，又感受到思路的生成過程是水到渠成的，同時(shí)在探究思路生成過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 反思數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵，探究方法優(yōu)化過程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的基本理念指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”[1]數(shù)學(xué)本質(zhì)簡單地說就是數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的根本屬性與規(guī)律.高考每年在變，每年都有很多新題，但它對數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的考查卻始終不變.因此，我們在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)本質(zhì)、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生具有一雙透過現(xiàn)象看本質(zhì)的“慧眼”，只有引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能避免“不識廬山真面目，只緣身在此山中”的迷惘，才能充分體會蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握解決問題的通性通法，探究優(yōu)化解決問題的策略方法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到充分的發(fā)展.

案例2.1中題1關(guān)于向量數(shù)量積的不等式轉(zhuǎn)化問題教師引導(dǎo)學(xué)生反思代數(shù)法和幾何法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生自主探究，形成了坐標(biāo)法、數(shù)量積定義運(yùn)算以及極化恒等式轉(zhuǎn)化成向量模的幾何意義三種解題思路方法，每一種方法都是在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上對解題過程的不斷優(yōu)化.案例2.2中對問題目標(biāo)|PA|,|PQ|識破它是弦長、向量模長和線段長的概念，將問題回歸到本源去探究思考，更加明確探究方向，指引著整個(gè)探究活動高效開展，形成了應(yīng)用弦長公式、向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和應(yīng)用圓冪定理等不同的解題思路，方法得到優(yōu)化，過程自然流暢.

4 結(jié)束語

波利亞語：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中進(jìn)行反思與探究是教師的一種教學(xué)理念，主動反思與探究更是學(xué)生的一種學(xué)習(xí)常態(tài).教師在解題教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生反思學(xué)科思想方法，探究知識遷移過程，反思解題過程方向，探究思路生成過程，反思數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵，探究方法優(yōu)化過程，始終讓反思與探究成為學(xué)生學(xué)習(xí)常態(tài)，才能讓學(xué)生真正領(lǐng)悟?qū)W習(xí)的真諦，數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，把發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)牢牢根植于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程之中.