羅海霞

(江蘇省連云港中等專業(yè)學(xué)校 222000)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)的真正發(fā)生就是學(xué)習(xí)者在已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上生發(fā)出來的新的認(rèn)知過程.就是說要想發(fā)生學(xué)習(xí)，必須借助學(xué)習(xí)者的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，生成出新的認(rèn)知，才能使學(xué)習(xí)行為真正發(fā)生.這就是“生成知識”.然而，在實(shí)際中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，囿于教學(xué)時間的限制，而“生成知識”教學(xué)用時較長，許多教師往往回避使用，采用灌輸式教學(xué)，奉送定義，直拋結(jié)論，忽略定義、結(jié)論產(chǎn)生過程中所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.殊不知，這樣就隔斷了學(xué)生知識生長的過程，而只留下一個一個知識的片段.悟性高的學(xué)生或許能將這些片段進(jìn)行邏輯勾連，優(yōu)化自己的知識結(jié)構(gòu)；而更多的學(xué)生也許進(jìn)行了錯誤的勾連，形成了錯誤的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來隱患.灌輸式教學(xué)看似節(jié)約了教學(xué)時間，實(shí)則漏掉了思維成長最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，得不償失.正所謂“磨刀不誤砍柴工”，學(xué)生一旦生成知識，許多方法或技巧就水到渠成，這也正是弗賴登塔爾所強(qiáng)調(diào)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一正確的方法是知識再創(chuàng)造”[1]，為學(xué)生全面深刻地理解數(shù)學(xué)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)，形成自主解決問題的基石，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力.這也正是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

1 數(shù)學(xué)生成知識的認(rèn)識

美國教學(xué)心理學(xué)家維特羅克吸收認(rèn)知建構(gòu)理論，將“生成”界定為“學(xué)生設(shè)置新模式和解釋，或者使用新模式或解釋，把新信息組織進(jìn)一個牢固的整體，這個整體會弄清楚這個信息，并且使之與他們的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知相一致”[2].生成過程就是對知識和經(jīng)驗(yàn)積極建構(gòu).而促使“生成知識”形成的教學(xué)，就是“生成知識”的教學(xué).生成教學(xué)要求教師樹立動態(tài)、變化的教學(xué)學(xué)程觀，而不是剛性、封閉的教學(xué)設(shè)計觀.“生成知識”教學(xué)就是要幫助學(xué)生不斷地同化、順應(yīng)、衍生出新的認(rèn)知，拓寬認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而創(chuàng)生學(xué)習(xí)能力.因此，生成知識教學(xué)重“學(xué)”也重“教”，重“主體參與”也重“結(jié)果分析”.因?yàn)閷W(xué)習(xí)者在知識生成過程中面臨的“問題、困惑、疑難”，反映在教學(xué)層面上正是教學(xué)的目的、內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn).同時，“生成”包含從無到有的“過程性”，既包括“生”的起點(diǎn)，也包括“成”的結(jié)果，對結(jié)果的分析，可以優(yōu)化生成的過程.

生成教學(xué)是為了幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法.數(shù)學(xué)知識分為顯性知識和隱性知識.顯性知識是指用書面文字、數(shù)學(xué)符號、圖標(biāo)直接表示的知識.隱性知識是指尚未被言語和其它形式表述出來的知識，包括數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等.隱性知識往往存在于顯性知識彼此間的關(guān)系、結(jié)構(gòu)和知識產(chǎn)生的過程中.對于數(shù)學(xué)知識的理解，在教育心理學(xué)層面，分為三個層次：工具性理解、關(guān)系性理解和形式化理解；在教學(xué)論層面，分為三個境界：知識的理解、知識的遷移和知識的創(chuàng)新.無論是理解顯性知識，還是隱性知識都有賴于學(xué)習(xí)者自身思維的參與、主動地建構(gòu)、不斷生成新的認(rèn)知才能實(shí)現(xiàn)，教師只能精心指導(dǎo)，耐心地“守望”學(xué)生新知的形成.因?yàn)樯芍R具有“整合生成、自然生長、從無到有的創(chuàng)造、漸進(jìn)性、未竟性”的特點(diǎn).即學(xué)習(xí)者運(yùn)用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的因素，經(jīng)過認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和問題的反復(fù)作用，遵循學(xué)科本身的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展規(guī)律，被學(xué)習(xí)者有意識的思維操作和信息加工，不是一次完成，而是很“自我”地、自然地、漸進(jìn)創(chuàng)造出來的知識，只有順應(yīng)學(xué)生的自有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，積極指導(dǎo)，耐心等待才能達(dá)到對知識的不斷提升的理解境界，即關(guān)系性理解，直至形式化理解，在實(shí)際解決問題的過程中能正向遷移知識，創(chuàng)造性地解決問題.

本文以高一第一冊函數(shù)概念中的函數(shù)定義域教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)生成知識教學(xué)的路徑.

2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理解

“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心與邏輯起點(diǎn)，概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)”[3].概念教學(xué)離不開問題的導(dǎo)引，因?yàn)椤皢栴}是催生知識生成的認(rèn)知動力”.而問題解決是指個人面對問題時,引發(fā)認(rèn)知需要，在認(rèn)知需要的驅(qū)動和導(dǎo)向下，借助非認(rèn)知因素的作用，使思維沿著認(rèn)知需要的方向運(yùn)行，由此不斷推動個體知識的生成.”[4]縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，問題解決往往催生新的數(shù)學(xué)概念.如“負(fù)數(shù)開方”問題的解決催生 “虛數(shù)”概念的誕生，對“無窮小量”是0還不是0問題的解決，催生了“極限”概念的誕生.概念形成過程常常就是問題解決的過程.

理查德·來什，瑪莎·蘭多，埃里克·漢密爾頓關(guān)于“概念模式”的理論研究認(rèn)為，概念包括四個部分.“第一，內(nèi)在關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，以及各種運(yùn)算；第二，使各概念的內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)間形成聯(lián)系或聯(lián)結(jié)的概念體系；第三，表征系統(tǒng)(如文字符號、圖形等)；第四，模式加工系統(tǒng)，即使前三種成分起作用并隨時修正或改造這三種成分使其適合實(shí)際情境的一種動態(tài)機(jī)制.其中，第二、第四是概念的主要成分，第一和第三則需要建立在對第一、第三的充分理解的基礎(chǔ)之上.”[5]

為此，概念教學(xué)要努力圍繞這個模式的四個方面開展教學(xué)，具體在函數(shù)定義域教學(xué)中， 這不只需要教師針對數(shù)學(xué)的基本概念、原理和重要的思想方法, 從衍生性主題的設(shè)計、數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的把握、數(shù)學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及問題結(jié)構(gòu)的明確等方面去創(chuàng)設(shè)問題情境, 捕捉生成資源，還需要在此基礎(chǔ)上對學(xué)生問題探究過程進(jìn)行引導(dǎo),促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的思維真正參與，因此，問題是心臟, 思考是主線， 更需要教師形成不斷反思問題情境中的生成資源，及時捕捉引導(dǎo)契機(jī).

函數(shù)概念的誕生經(jīng)歷了曲折、螺旋式抽象的過程.在高一數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)定義域的概念是和函數(shù)定義同時引出，屬于函數(shù)定義的一部分，往往在教學(xué)中也被一帶而過.教師往往只側(cè)重于求使函數(shù)解析式有意義的自變量范圍，忽略對函數(shù)的定義域的結(jié)構(gòu)性剖析.導(dǎo)致學(xué)生理解函數(shù)定義域時出現(xiàn)偏差、書寫不規(guī)范、對于抽象函數(shù)定義域的理解出現(xiàn)困難.究其原因，就是對函數(shù)定義域概念教學(xué)的忽視所致.華羅庚說過 ，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不害怕困難，也不要輕視容易.

3 生成知識教學(xué)的路徑

3.1 通過問題解決，生成概念的內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)和表征系統(tǒng)

概念教學(xué)中如何呈現(xiàn)概念形成的過程，暴露概念蘊(yùn)含的創(chuàng)造性思維，需要設(shè)計相應(yīng)的問題，通過對問題的解決，讓學(xué)生自然生成“概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和概念的表征系統(tǒng)”即概念的各組成要素及關(guān)系和概念的數(shù)學(xué)符號或圖形等表征系統(tǒng).因此，概念形成的教學(xué)中，問題的設(shè)計要突出概念的內(nèi)容側(cè)面，也要呈現(xiàn)其表征系統(tǒng).如在函數(shù)定義域教學(xué)中，不僅要厘清其自變量、因變量、對應(yīng)法則之間的內(nèi)在關(guān)系，還需厘清用集合表示定義域、值域的符號表征.

問題1“如果在函數(shù)y=f(x)中，已知x-1≤2，試問函數(shù)定義域是什么？”凸顯函數(shù)定義域指的是“自變量的變化范圍”的本質(zhì)， 引導(dǎo)學(xué)生“自得”函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍，及其在問題中的表述方式.

問題2“函數(shù)定義域?yàn)閤≤3，這樣寫合不合適？”引導(dǎo)學(xué)生揣摩定義域的表征系統(tǒng).問題2凸顯利用具體的數(shù)學(xué)模型 (集合) 去代表特定的數(shù)學(xué)對象(定義域)這一概念教學(xué)中的重要過程，從中習(xí)得概念的形成離不開數(shù)學(xué)模型的表征(如文字、符號、圖形等). 問題1和問題2的設(shè)計暴露定義域概念中的內(nèi)在關(guān)系和數(shù)學(xué)表征，使學(xué)生完備對函數(shù)定義域概念的認(rèn)知.

的定義域.

至此，學(xué)生初步了解函數(shù)定義域的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、表征系統(tǒng)，也在認(rèn)知層面上理解求解定義域就是使得函數(shù)式子有意義的運(yùn)算方法.初步完成了“概念模式”理論的第一層內(nèi)容和第三層內(nèi)容，即內(nèi)在關(guān)系網(wǎng)絡(luò)：對應(yīng)法則、定義域，以及關(guān)于定義域的運(yùn)算、表征系統(tǒng)(用集合或區(qū)間的形式表征定義域).

3.2 顯化隱性知識，構(gòu)建概念的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系

隱性知識是指尚未被言語和其它形式表述出來的知識.顯化隱性知識就是從學(xué)生的視角出發(fā)，按照學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系如對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、同構(gòu)關(guān)系、相等關(guān)系、不等關(guān)系、包含關(guān)系，或數(shù)學(xué)對象所具有的思維活動賴以依存的條件，并將含有未知目標(biāo)x的數(shù)學(xué)關(guān)系 (S,x) 反映到一組較具體的數(shù)學(xué)關(guān)系 (或具體的未知關(guān)系) 和學(xué)生的相關(guān)現(xiàn)實(shí)背景中, 以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考, 教師的任務(wù)是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、運(yùn)用、生成新知”[6]，即教師要將學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)習(xí)的內(nèi)容借助已能掌握的知識“借殼生蛋”，即捕捉生成知識的資源，通過 生成知識資源作為生長點(diǎn)和分析問題的入手點(diǎn)，進(jìn)行點(diǎn)撥、引導(dǎo)，直至發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，生成解決問題的思路和方法.

3.3 利用特殊到一般，凸顯概念的內(nèi)在聯(lián)結(jié)

教學(xué)中通常采取一定的方法, 如一般到特殊、抽象到具體、變換法 (等價變換、不等價變換)、模型法等, 來發(fā)現(xiàn) “數(shù)學(xué)對象間可以確切的關(guān)系” .人們對于直觀、明確問題的理解易于對抽象、隱晦問題的理解.對抽象問題的理解一般都建立在對具體問題的理解的基礎(chǔ)之上.教學(xué)中，通過具體問題的設(shè)計，幫助學(xué)習(xí)者自然生成對抽象問題的認(rèn)知.

問題6已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1]，求f(x)的定義域.

學(xué)生對于已知條件 “f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1]”的理解包含兩個難點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生無從下手.第一學(xué)生對于“f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1]”中的[-1,1]究竟是“x的范圍”還是“2x的范圍”有疑問；第二學(xué)生不太理解“2x與f間的約束關(guān)系”.第一個難點(diǎn)，在充分理解函數(shù)定義域概念的前提下容易解決.第二個難點(diǎn)，教師指導(dǎo)學(xué)生從第一個難點(diǎn)的突破入手.而對于特殊值呈現(xiàn)出的規(guī)律的認(rèn)知是進(jìn)行抽象認(rèn)知的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn).

學(xué)生易于理解， “f能夠作用的范圍”是[-2,2]，“自得” -2≤2x≤2.

師：反思如何從條件出發(fā)得到該結(jié)果？

生：從題目條件出發(fā)，“f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1]”即-1≤x≤1，而f能夠作用的范圍是2x的范圍.故而易于得出 -2≤2x≤2，這正是使得f有意義的范圍,即f(x)的定義域.

3.4 應(yīng)勢利導(dǎo)，生成概念的動態(tài)機(jī)制

“在大多數(shù)數(shù)學(xué)家眼中，數(shù)學(xué)是對結(jié)構(gòu)的研究，數(shù)學(xué)內(nèi)容由許多結(jié)構(gòu)組成，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是生成結(jié)構(gòu)并運(yùn)用結(jié)構(gòu)”[8]的動態(tài)過程，其中形成規(guī)律的方法或解決問題的范式就是動態(tài)機(jī)制.這正吻合了史寧中教授對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解, 即“用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)世界, 用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界, 用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)世界”[7],最終達(dá)到用數(shù)學(xué)的模型解釋世界.

問題7比較下列函數(shù)定義域和對應(yīng)法則的異同.

師： “x的范圍”即定義域是否一定就是“使得f有意義的作用范圍”？

至此，學(xué)生已經(jīng)洞若觀火.教師并未就此結(jié)束，給出了下面的問題:

問題8(在例4的條件基礎(chǔ)上變式)已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(x+1)的定義域,學(xué)生容易理解，x+1必須落在f的作用范圍內(nèi)，即-2≤x+1≤2，得出-1≤x≤1即f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,1].

至此學(xué)生構(gòu)建了換元法用以解決“整體化”問題， 最終體會整體化思想，為后續(xù)的換元法求值域、最值等問題奠定了正遷移的基礎(chǔ).

“數(shù)學(xué)概念的生成資源開發(fā)一般是在探究解題方法的過程中進(jìn)行，是例題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)”[9].引導(dǎo)學(xué)生反思定義域和“使得f有意義的作用范圍”之間的關(guān)系，并以此為依據(jù)解決問題，拓展了學(xué)生對函數(shù)定義域的二次理解.這個過程不是教師直接灌輸給學(xué)生，而是不斷地順勢利導(dǎo)，使得新的認(rèn)知水到渠成.教師順勢給出問題8，通過化歸思想的不斷應(yīng)用，學(xué)生可以順利接受換元法求解函數(shù)定義域問題的范式.這一范式在后續(xù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、最值等問題中還會經(jīng)常使用.換元法往往讓學(xué)生感到神秘.通過本題的不斷轉(zhuǎn)化，使學(xué)生領(lǐng)會到換元法純粹是為了方便研究較為復(fù)雜式子，將其作為整體采用的一種方法.這為學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中靈活應(yīng)用此法，提供了數(shù)學(xué)的思維策略.

4 結(jié)束語

教育是關(guān)乎學(xué)生未來發(fā)展的大計，數(shù)學(xué)教育不能太過功利.發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育應(yīng)一貫秉持的觀點(diǎn).依據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，不斷生成新的認(rèn)知，使學(xué)生體驗(yàn)不斷豐富的數(shù)學(xué)認(rèn)知，感受思維成長的成就感和幸福感，從而不再畏懼?jǐn)?shù)學(xué)，也許這就是數(shù)學(xué)教育成功的表現(xiàn).