陸 翔，蔣偉康

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

電磁噪聲是由電磁力激勵(lì)電機(jī)定子鐵心和機(jī)座振動(dòng)向外輻射的噪聲，降低電磁噪聲的有效方法之一就是降低電磁力幅值和提高電磁力階次頻率；另外，定子振動(dòng)的測(cè)量實(shí)驗(yàn)十分繁瑣，若能準(zhǔn)確計(jì)算電磁激勵(lì)力，便能直接通過仿真計(jì)算獲取定子的振動(dòng)響應(yīng)和輻射噪聲，可見電磁力計(jì)算對(duì)于電機(jī)振動(dòng)分析具有重要意義。電磁激勵(lì)力是由于電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子氣隙磁通相互作用而產(chǎn)生的隨時(shí)間和空間變化的徑向力波，而異步電機(jī)在運(yùn)行過程中常常出現(xiàn)靜偏心、動(dòng)偏心或者三相不對(duì)稱等問題，使電機(jī)處于不平衡運(yùn)行狀態(tài)，導(dǎo)致電機(jī)氣隙磁場(chǎng)分布不均勻，進(jìn)一步導(dǎo)致轉(zhuǎn)子產(chǎn)生更大的偏心振動(dòng)，可見電機(jī)的電磁振動(dòng)是電機(jī)轉(zhuǎn)子與氣隙磁場(chǎng)相互耦合作用產(chǎn)生的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。因此在確定電磁激勵(lì)力前，有必要研究電機(jī)磁-固耦合動(dòng)力學(xué)行為的機(jī)理。

電磁力的求解方法主要分為解析法和數(shù)值法，相關(guān)論文無論是求解諧波解析表達(dá)式[1]，還是采用有限元法計(jì)算時(shí)域波形圖[2]，在計(jì)算不平衡電磁力時(shí)都沒有考慮轉(zhuǎn)子振動(dòng)偏心對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響，通常是直接采用初始的轉(zhuǎn)子靜偏心量以及電機(jī)電氣參數(shù)，計(jì)算轉(zhuǎn)子氣隙磁場(chǎng)和徑向電磁力，這種簡化在電磁激勵(lì)力與轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移耦合程度較弱的情況可以接受，但其計(jì)算結(jié)果不能在本質(zhì)上準(zhǔn)確描述氣隙磁場(chǎng)與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)場(chǎng)的磁-固耦合機(jī)理，尤其是在轉(zhuǎn)子軸承較長、剛度較小的電機(jī)中，電磁激勵(lì)力受到轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移的影響較大，磁-固耦合程度較強(qiáng)，不平衡電磁力的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況的誤差會(huì)非常大。為了描述電機(jī)磁-固耦合動(dòng)力學(xué)行為，2016年Chen和Xiang等[3-4]分別將不平衡電磁力視為激勵(lì)力和等效彈簧因子，建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)方程，并分析轉(zhuǎn)子的非線性振動(dòng)，但沒有進(jìn)一步揭示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中影響不平衡電磁力的關(guān)鍵因素。

本文推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子-氣隙系統(tǒng)的拉格朗日-麥克斯韋能量方程，建立了異步電機(jī)的磁-固耦合動(dòng)力學(xué)模型，提出了靜偏心狀態(tài)下轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，根據(jù)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)和氣隙實(shí)際長度計(jì)算了各階次不平衡電磁力諧波以及徑向電磁力合力，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論建模和數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性，并研究了轉(zhuǎn)子彎曲剛度及靜偏心對(duì)于氣隙磁場(chǎng)和電磁力分布的影響。本文提出求解電磁力的理論模型和數(shù)值計(jì)算流程，通過對(duì)受電磁力激勵(lì)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模和數(shù)值計(jì)算，得到了實(shí)際氣隙長度分布，與前人的電磁力計(jì)算方法相比，計(jì)算和預(yù)測(cè)精度提高了，其對(duì)低噪聲異步電機(jī)設(shè)計(jì)具有參考價(jià)值。

1 電機(jī)磁-固耦合動(dòng)力學(xué)建模

電磁力的幅值和頻率是由氣隙磁場(chǎng)決定的，而轉(zhuǎn)子的橫向彎曲振動(dòng)會(huì)改變氣隙長度，進(jìn)而改變氣隙磁場(chǎng)密度，因此將轉(zhuǎn)子和氣隙視為一個(gè)磁-固耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，研究轉(zhuǎn)子的橫向彎曲振動(dòng)規(guī)律。由于分析轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)時(shí)只關(guān)心電磁力合力的作用效果，將轉(zhuǎn)子簡化為兩端固支并與定子分離的Jeffcot轉(zhuǎn)子模型，且由轉(zhuǎn)子重量產(chǎn)生的靜變形對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的影響不顯著。

用L0表示拉格朗日函數(shù)，轉(zhuǎn)子-氣隙系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)除了轉(zhuǎn)子動(dòng)能減去轉(zhuǎn)子彎曲勢(shì)能以外，還需加上氣隙磁場(chǎng)能Wm。同時(shí)在方程中引入運(yùn)行過程中由于結(jié)構(gòu)阻尼損失的耗散函數(shù)，用Ψ表示。用t表示時(shí)間，q表示廣義坐標(biāo)，q′表示廣義坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)，Q′表示其它非有勢(shì)力，在電機(jī)運(yùn)行過程中主要為電磁阻尼力。最終得到包含耗散函數(shù)的拉格朗日-麥克斯韋方程。

在定、轉(zhuǎn)子鐵心橫截面上建立坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子橫截面坐標(biāo)

將轉(zhuǎn)子圓心的坐標(biāo)設(shè)為o′( )X,Y，e為電機(jī)初始靜偏心，δ0為均勻氣隙長度，α為指定氣隙的周向方位角，α′為氣隙最小處的周向方位角。由于定子與轉(zhuǎn)子軸承分離，可以認(rèn)為定子僅受電磁力作用并且是固定在機(jī)座上的剛性體，簡化中忽略了定子鐵心的微小振動(dòng)，在偏心狀態(tài)下，圓周上任意方位角α處的氣隙長度大小為

根據(jù)電磁學(xué)，當(dāng)空間磁介質(zhì)滿足線性條件以及無磁滯損耗時(shí)，對(duì)于任意傳導(dǎo)電流分布情況，空間磁場(chǎng)能體積分公式可以表示為

其中：H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度。由于氣隙中磁場(chǎng)能以基波成分為主，方程式(1)中拉格朗日函數(shù)的磁場(chǎng)能采用基波磁場(chǎng)能近似。為了能在整個(gè)轉(zhuǎn)子鐵心圓柱體上用麥克斯韋理論積分求解磁場(chǎng)能，需要做出以下假設(shè)：

（1）忽略異步電機(jī)的端部效應(yīng)，軸向磁通有暢通磁回路，即電機(jī)沿軸向的磁場(chǎng)不會(huì)改變；

（2）忽略轉(zhuǎn)子偏心對(duì)氣隙磁場(chǎng)磁感線分布的影響；

（3）定子與轉(zhuǎn)子軸承分離，定子鐵心的微小振動(dòng)可以忽略?；谏鲜黾僭O(shè)，異步電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)能可以通過推導(dǎo)得到

其中：μ為磁化介質(zhì)的磁導(dǎo)率，Kμ為磁路飽和系數(shù)與卡特系數(shù)之積，σ=Kμ×δ為實(shí)際氣隙的有效長度，R為轉(zhuǎn)子半徑，L為轉(zhuǎn)子鐵心長度，p為電機(jī)極對(duì)數(shù)，ω為電源角頻率，基波氣隙磁導(dǎo)Λ以及氣隙磁勢(shì)幅值F0可以分別通過式(5)、式(6)求得

式(5)中μ0為磁化氣隙的磁導(dǎo)率，令σ0=Kμ×δ0為氣隙有效均勻偏心，則ε為轉(zhuǎn)子靜偏心與氣隙有效均勻偏心的比值；式(6)中W1為定子每相繞組匝數(shù)，KW1為定子繞組系數(shù)，I0為激磁電流，可通過實(shí)驗(yàn)以及電機(jī)等效電路T型圖和矢量圖求得。對(duì)式(5)可以進(jìn)一步進(jìn)行泰勒展開以及三角函數(shù)積化和差推導(dǎo)，并展開為X、Y的表達(dá)式，通常級(jí)數(shù)展開到第4項(xiàng)(取n=4)，此時(shí)磁導(dǎo)精度足夠高。將式(5)和式(6)代入式(4)，對(duì)方位角α從0到2π進(jìn)行積分，得到Wm(t,X,Y)的表達(dá)式

方程式(1)中電磁阻尼力Q′相對(duì)于電磁激勵(lì)力幅值而言要小2到3個(gè)數(shù)量級(jí)[5]。令極對(duì)數(shù)p為2，將式(7)代入方程式(1)，經(jīng)過推導(dǎo)得到X、Y方向的無量綱振動(dòng)方程分別為

式(8)和式(9)是一組力學(xué)變量與電磁學(xué)變量相互耦合的非線性振動(dòng)方程組。其中初始條件為和令m為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量，K為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎曲剛度，c為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼，可得上式中各參數(shù)的表達(dá)式

振動(dòng)方程解的基頻為ω1，電磁力作用在轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生負(fù)剛度效應(yīng)，會(huì)減小轉(zhuǎn)子主軸系統(tǒng)的彎曲剛度[6]，且基頻隨著氣隙磁勢(shì)和磁導(dǎo)的增大而減小，同時(shí)基頻也與轉(zhuǎn)子主軸系統(tǒng)自身的彎曲剛度有關(guān)。當(dāng)基頻接近參數(shù)激勵(lì)頻率的一半時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)共振。

本文主要研究電機(jī)轉(zhuǎn)子在靜偏心狀態(tài)下具有磁-固耦合關(guān)系的非線性方程組，將電機(jī)實(shí)際的電磁參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(8)和式(9)。為獲得迭代計(jì)算的初始條件，根據(jù)氣隙磁場(chǎng)能量法，通過對(duì)氣隙磁場(chǎng)能表達(dá)式（4）求偏導(dǎo)得到徑向電磁力合力表達(dá)式，以X軸方向電磁力為例

X、Y方向分別代入初始條件，計(jì)算初始徑向電磁力合力，作為轉(zhuǎn)子有阻尼系統(tǒng)的簡諧力激勵(lì)項(xiàng)，不考慮氣隙長度與電磁力的耦合關(guān)系以及非線性因素，建立轉(zhuǎn)子的線性強(qiáng)迫振動(dòng)化方程如下

求解線性振動(dòng)方程可得到實(shí)際非線性方程的優(yōu)化初始條件。已知式（8）和式（9）的位移、導(dǎo)數(shù)的初值，可以采用4階龍格庫塔法進(jìn)行迭代計(jì)算，調(diào)整迭代的步長，滿足截?cái)嗾`差不大于1×10-5m，且算法處于絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間中，避免步長過小而浪費(fèi)計(jì)算資源。在得到氣隙實(shí)際長度的周向分布后，進(jìn)一步計(jì)算不平衡電磁力，并結(jié)合數(shù)值解分析轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律及電磁力影響因素。

2 不平衡電磁力分析

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法，由電機(jī)氣隙磁場(chǎng)產(chǎn)生并作用于定、轉(zhuǎn)子鐵心表面上的單位面積徑向電磁力為

其中：μ0=4π×10-7H∕m為真空磁導(dǎo)率，B為氣隙磁場(chǎng)密度，在正常運(yùn)行的三相異步電機(jī)中，當(dāng)忽略磁場(chǎng)飽和因素時(shí)，氣隙磁密等于氣隙磁導(dǎo)與磁勢(shì)的乘積。氣隙磁導(dǎo)與磁勢(shì)除了主要基波成分以外，同時(shí)也有定、轉(zhuǎn)子繞組的各階諧波成分

其中：k1、k2為一系列正整數(shù)，Z1、Z2分別為定、轉(zhuǎn)子鐵心槽數(shù)，s為轉(zhuǎn)差率，ν、μ分別為定、轉(zhuǎn)子諧波階數(shù)，φ0r、φ1、φ2分別為激磁電流、定子電流、轉(zhuǎn)子折算電流在電機(jī)矢量圖中的相位角，ωμ為轉(zhuǎn)子諧波旋轉(zhuǎn)角速度。定、轉(zhuǎn)子諧波磁勢(shì)幅值與式(6)相似，然而由于定子繞組受到繞組分布系數(shù)的影響，諧波磁勢(shì)幅值會(huì)受到大幅削弱，僅對(duì)于滿足νz=±6k1q+1（q為每極每相槽數(shù)）的定子齒諧波繞組，其繞組分布系數(shù)與基波相等，其齒諧波的磁勢(shì)幅值不會(huì)被削弱，對(duì)于鼠籠式轉(zhuǎn)子可同理進(jìn)行分析。因此合成磁勢(shì)時(shí)主要考慮基波以及定、轉(zhuǎn)子的低階齒諧波（k1=1、k2=1）。

式(14)與式(15)相乘，略去幅值較小的諧波成分，得到磁密的諧波表達(dá)式（16），其主要由基波、定轉(zhuǎn)子磁導(dǎo)齒諧波以及定轉(zhuǎn)子繞組齒諧波構(gòu)成。其中定轉(zhuǎn)子各自的磁導(dǎo)齒諧波與繞組齒諧波具有相同的頻率、階數(shù)，因此可以矢量疊加。

將式（16）代入式（13），并進(jìn)行三角函數(shù)積化和差展開，由于展開項(xiàng)中非周期項(xiàng)分量以及階次高、幅值小的力波分量對(duì)電機(jī)振動(dòng)噪聲的影響可以忽略，因此激勵(lì)電機(jī)產(chǎn)生電磁振動(dòng)的主要力波分量由2倍基頻徑向電磁力波構(gòu)成，簡化后表達(dá)式見式（17），其中第一項(xiàng)是由氣隙磁場(chǎng)基波分量產(chǎn)生的徑向電磁力波，第二項(xiàng)是由定子齒諧波和基波分量共同作用產(chǎn)生的徑向電磁力波，兩者無法消除，但可以削弱其幅值和改變電機(jī)結(jié)構(gòu)固有頻率從而避免發(fā)生共振。

由式（5）和式（17）得知，氣隙磁導(dǎo)與氣隙長度成反比，氣隙長度的變化將被平方放大后作用在電磁力幅值上。因此當(dāng)電機(jī)運(yùn)行出現(xiàn)不平衡狀態(tài)時(shí)，氣隙長度因?yàn)檗D(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)而改變并產(chǎn)生振動(dòng)偏心時(shí)，直接采用基于轉(zhuǎn)子初始靜偏心計(jì)算的電磁力誤差將變大，應(yīng)當(dāng)考慮轉(zhuǎn)子振動(dòng)偏心對(duì)氣隙長度周向分布的影響。

3 實(shí)驗(yàn)研究

選取型號(hào)為Y250m-4的實(shí)驗(yàn)特制異步電機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)電機(jī)為了符合定子微振動(dòng)簡化條件，將定子與軸承座分離，定子和軸承座分別通過螺栓固定在剛性基礎(chǔ)上，保證兩者都具有足夠的剛度，并通過一條長條形鍵進(jìn)行連接和定位；采用無徑向間隙的滾珠軸承，通過預(yù)緊消除軸承徑向間隙，以減小由軸承徑向間隙引起的轉(zhuǎn)子靜偏心和動(dòng)偏心問題；要求轉(zhuǎn)子所用的主軸兩端直徑盡量大，以便安裝千分表，同時(shí)可以減小軸在離心力作用下的變形。電機(jī)極對(duì)數(shù)為4，定、轉(zhuǎn)子槽數(shù)分別為48、38，定子內(nèi)外徑分別為260 mm、400 mm，轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑分別為85 mm、256 mm，均勻氣隙長度達(dá)到2 mm，定轉(zhuǎn)子槽口寬度分別為4 mm、1.5 mm。電機(jī)在三相對(duì)稱的正常工況（380 V，50 Hz市電）下穩(wěn)定空載運(yùn)行，采用薄片Hall效應(yīng)傳感器測(cè)量氣隙磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度，傳感器埋置在定、轉(zhuǎn)子之間的氣隙中，采樣頻率為25600 Hz，并取其中0.4 s穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)段的信號(hào)進(jìn)行分析計(jì)算，間接得到徑向電磁力。實(shí)驗(yàn)中以電機(jī)頂部定子鐵心齒所在位置為1號(hào)齒，取逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為9π∕24處的齒為研究對(duì)象，在上面粘貼5個(gè)傳感器，沿著鐵心軸向均勻分布。所有機(jī)械、電磁信號(hào)通過一個(gè)多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)進(jìn)入電腦分析系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 電機(jī)電磁實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)示意圖

3.1 轉(zhuǎn)子沒有靜偏心時(shí)的電磁力研究

沒有靜偏心的三相對(duì)稱異步電機(jī)在運(yùn)行過程中處于平衡狀態(tài)，因而氣隙長度不會(huì)發(fā)生改變，可以直接計(jì)算各階電磁力波?？蛰d運(yùn)行過程中由于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與同步轉(zhuǎn)速近似相等，為1500 r/min，故轉(zhuǎn)子電流近似為零，激磁電流近似等于定子空載電流，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得定子空載電流為30.0 A。定子每相串聯(lián)匝數(shù)W1為80，繞組系數(shù)為0.925。

根據(jù)式(6)計(jì)算得到基波磁勢(shì)幅值為1498.5 A；根據(jù)定、轉(zhuǎn)子槽口寬度計(jì)算半開口槽卡特系數(shù)為1.2102，由式(5)計(jì)算得到基波磁導(dǎo)為5.1919×10-4H。不考慮飽和時(shí)令飽和系數(shù)為1，計(jì)算基波與低階諧波磁密幅值，結(jié)果如表1所示。

表1 磁通密度計(jì)算值

可見轉(zhuǎn)子齒諧波幅值較小可以忽略。轉(zhuǎn)子無靜偏心情況下氣隙磁密的諧波表達(dá)式如下

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法，不考慮頻率為0的直流分量，得到

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的頻譜圖進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2和圖3所示。

表2 計(jì)算結(jié)果

可知數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本可以反映氣隙磁場(chǎng)主要磁通密度和電磁力的幅值和頻率，驗(yàn)證了電機(jī)平衡運(yùn)行狀態(tài)下電磁力計(jì)算過程的準(zhǔn)確性，為進(jìn)一步研究不平衡電磁力計(jì)算模型打下了基礎(chǔ)。

3.2 轉(zhuǎn)子有靜偏心時(shí)的電磁力研究

通過墊高實(shí)驗(yàn)電機(jī)軸承座同時(shí)改變兩端軸承中心位置，并結(jié)合非接觸式位移傳感器采集的信號(hào)來調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子靜偏心達(dá)到0.5 mm，測(cè)量磁通密度得到其主要幅值為1.166 T，頻率為50 Hz，相應(yīng)的徑向電磁力幅值為2.748× 105N∕m2，頻率為100 Hz。

建立氣隙轉(zhuǎn)子磁-固耦合動(dòng)力學(xué)模型，轉(zhuǎn)子橫截面坐標(biāo)軸見圖2。

將墊高軸承后定子頂端氣隙最小處定為x軸正方向，則振動(dòng)方程問題得到簡化，α′=0，偏心e=X()

0，同時(shí)由于轉(zhuǎn)子橫截面關(guān)于x軸對(duì)稱，y軸方向上始終處于力平衡狀態(tài)，因而令Y=0，代入式(8)，只需研究X軸方向的振動(dòng)方程組。

其中：ω1、ξ、a1、a2、a3與式(10)一致，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總質(zhì)量m=109.3292 kg，系統(tǒng)黏滯阻尼c≈163.9938 N/(m·s-1)。由于兩端固支，不考慮支撐剛度，轉(zhuǎn)子彎曲剛度可近似為中間主軸彎曲剛度，根據(jù)45號(hào)鋼的彈性模量可以計(jì)算得到轉(zhuǎn)子彎曲剛度為4.4277×107N∕m。

方程解的基頻與激勵(lì)頻率的一半相差較大，因而不滿足參數(shù)共振的條件。由于方程難以直接獲得解析解，采用4階龍格庫塔數(shù)值法，按一定的時(shí)步長迭代計(jì)算轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)。為了加速迭代的速度，首先求解線性化振動(dòng)方程，獲得合適的初始條件。最后進(jìn)行4階龍格庫塔數(shù)值計(jì)算。調(diào)整迭代的時(shí)步長為0.0005 s，經(jīng)過驗(yàn)證時(shí)步長滿足截?cái)嗾`差不大于1×10-5m的條件，并且處于4階顯式龍格庫塔法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間中。迭代計(jì)算過程收斂后，轉(zhuǎn)子非線性系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)主要包含幅值為9.06×10-4m的直流分量以及幅值為2.0×10-5m、頻率為100 Hz的參激振動(dòng)1階諧波分量。

由于直流分量幅值比參激分量幅值大一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此轉(zhuǎn)子振動(dòng)偏心e′可近似等于9.06×10-4m。那么可以計(jì)算得到方位角9π∕24處的氣隙長度為1.6533 mm。在轉(zhuǎn)子存在靜偏心情況下測(cè)量的三相相電流基本保持不變，均值仍然為30.0 A，則根據(jù)電磁力幅值與氣隙長度的關(guān)系，可以直接得到磁通密度和電磁力的數(shù)值解。采用傳統(tǒng)方法直接代入初始靜偏心0.5 mm計(jì)算磁通密度與電磁力，將兩種方法數(shù)值解分別與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比進(jìn)行誤差分析，如表3所示。

圖3 頻譜對(duì)比圖

通過以上對(duì)比可以得出，異步電機(jī)在轉(zhuǎn)子存在靜偏心時(shí)，由于氣隙磁場(chǎng)不對(duì)稱使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生振動(dòng)偏心，轉(zhuǎn)子振動(dòng)偏心又會(huì)改變氣隙磁場(chǎng)的分布，采用初始靜偏心直接計(jì)算電磁力誤差高達(dá)17.8%，而通過求解轉(zhuǎn)子非線性磁-固耦合振動(dòng)方程得到氣隙實(shí)際長度，電磁力數(shù)值解的誤差減小為1.5%，誤差大大縮減并符合工程應(yīng)用要求。

表 3誤差對(duì)比

3.3 轉(zhuǎn)子剛度和靜偏心對(duì)徑向電磁力合力的影響

基于本實(shí)驗(yàn)中三相對(duì)稱空載運(yùn)行電機(jī)的算例，首先固定轉(zhuǎn)子靜偏心數(shù)值以及其它參數(shù)不變，改變轉(zhuǎn)子彎曲剛度大小并計(jì)算轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行頻譜分析，其主要成分均為頻率為零的直流分量和2倍電源頻率的參激振動(dòng)1階諧波分量。各數(shù)值解見表4。

表4 轉(zhuǎn)子剛度影響對(duì)比

一方面，彎曲剛度越小，振動(dòng)偏心就會(huì)越大，氣隙磁場(chǎng)周向分布不均勻程度和徑向電磁力合力也都會(huì)相應(yīng)越大。另一方面，非線性振動(dòng)方程的基頻大小與彎曲剛度有關(guān)，而基頻越接近參數(shù)共振頻率（ω、4ω等），參激振動(dòng)諧波分量的幅值也會(huì)越大。

固定轉(zhuǎn)子剛度以及其它參數(shù)不變，改變轉(zhuǎn)子初始靜偏心大小并計(jì)算轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行頻譜分析，其主要成分同樣均為頻率為零的直流分量和2倍電源頻率的參激振動(dòng)1階諧波分量。各數(shù)值解見表5。

表5 轉(zhuǎn)子初始靜偏心影響對(duì)比

可見，靜偏心初始值越大，轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的直流分量和參激振動(dòng)諧波分量幅值就越大，相應(yīng)的徑向電磁力合力也會(huì)越大。

該數(shù)值計(jì)算中存在兩個(gè)極限情況，一方面當(dāng)轉(zhuǎn)子初始靜偏心為零時(shí)，轉(zhuǎn)子不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)偏心和渦動(dòng)，此時(shí)徑向電磁力合力為零；另一方面，當(dāng)轉(zhuǎn)子初始靜偏心大于一定程度，數(shù)值計(jì)算結(jié)果不再收斂，此時(shí)轉(zhuǎn)子在振動(dòng)過渡過程中有可能與定子發(fā)生碰磨而損壞。

4 結(jié)語

建立了轉(zhuǎn)子靜偏心狀態(tài)下的磁-固耦合動(dòng)力學(xué)模型，主要考慮了轉(zhuǎn)子振動(dòng)偏心直流分量對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響，采用4階龍格庫塔算法通過數(shù)值計(jì)算得到了實(shí)際氣隙長度分布，提高了不平衡電磁力的預(yù)測(cè)計(jì)算精度，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論建模和數(shù)值計(jì)算的正確性。進(jìn)一步分析了轉(zhuǎn)子剛度和初始靜偏心大小對(duì)電磁力的影響，指出轉(zhuǎn)子剛度越小且初始靜偏心越大，氣隙磁場(chǎng)的周向分布就越不均勻，導(dǎo)致徑向電磁力也就越大，同時(shí)轉(zhuǎn)子參激振動(dòng)諧波分量的幅值也與轉(zhuǎn)子彎曲剛度相關(guān)；另外，從對(duì)計(jì)算結(jié)果頻譜圖和電磁力計(jì)算過程進(jìn)行的分析可得，電機(jī)電磁力頻率與轉(zhuǎn)子彎曲剛度或初始靜偏心均無關(guān)，而僅與電源頻率相關(guān)。

本文的理論建模和數(shù)值計(jì)算過程適用于具有細(xì)長轉(zhuǎn)子主軸、彎曲剛度較小的異步電機(jī)的不平衡電磁力計(jì)算，理論模型既考慮了轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和振動(dòng)響應(yīng)對(duì)氣隙徑向電磁力的影響，也考慮了氣隙電磁激勵(lì)力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的作用，相比于采用初始靜偏心直接計(jì)算電磁力的傳統(tǒng)方法，考慮了實(shí)際轉(zhuǎn)子的振動(dòng)偏心，提高了不平衡電磁力的計(jì)算和預(yù)測(cè)精度。