田宇玲 馮田峰 周曉祺

(中山大學(xué)物理學(xué)院,光電材料與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510000)

1 引 言

量子計(jì)算是一門利用量子力學(xué)原理解決計(jì)算問題并有效提高計(jì)算效率的科學(xué).自從量子計(jì)算[1,2]被提出以來,人們對量子計(jì)算及其應(yīng)用進(jìn)行了不斷的探索,在理論研究[3?8]和物理實(shí)現(xiàn)上[9?12]都取得了顯著的進(jìn)步.其中最引人矚目的是一系列高效的量子算法,例如搜索算法[5]、大數(shù)因子分解算法[9]、玻色采樣算法[11]和對復(fù)雜系統(tǒng)的模擬[6,8]等,從而極大地提高了一些特定問題的計(jì)算效率.此外,不同的計(jì)算模型也相繼被提出,例如量子線路模型[13]、一次性量子計(jì)算[14,15]、拓?fù)淞孔佑?jì)算[16,17]、絕熱量子計(jì)算[18]和對偶量子計(jì)算[19]等,為構(gòu)造量子計(jì)算機(jī)[20]提供了多種思路和方法.

隨著量子計(jì)算的發(fā)展,計(jì)算任務(wù)的復(fù)雜性將逐步提高,在開展量子計(jì)算的過程中不可避免地會碰到需要兩方甚至多方一起合作進(jìn)行的量子計(jì)算任務(wù).例如,待處理問題的關(guān)鍵信息掌握在兩方甚至多方手中,需要各方共同合作才能夠解決問題; 或者算法復(fù)雜度高,需要分成幾個模塊由不同的人或平臺來分別實(shí)現(xiàn)等.為了解決這類問題,需要找到一種新的方法來實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算資源的分配,從而解決多人協(xié)作的量子計(jì)算問題.

為此,本文在一次性量子計(jì)算的基礎(chǔ)上,提出了基于冗余圖態(tài)[21]的多人協(xié)作量子計(jì)算方案.與傳統(tǒng)圖態(tài)[22,23]中每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一個粒子不同,冗余圖態(tài)中每個節(jié)點(diǎn)都由多個粒子組成.通過制備一個適當(dāng)?shù)娜哂鄨D態(tài),將其每個節(jié)點(diǎn)上的粒子分配給各個不同的用戶,由用戶自行協(xié)商確定該量子計(jì)算任務(wù)的控制主體,完成對圖態(tài)的分割,之后再進(jìn)行通常的一次性量子計(jì)算操作,從而實(shí)現(xiàn)多人協(xié)作的量子計(jì)算.

本文的結(jié)構(gòu)如下: 首先簡單介紹圖態(tài)的重要性質(zhì); 接著提出基于冗余圖態(tài)的多人協(xié)作的量子計(jì)算方案; 最后展示了一個基于六光子冗余圖態(tài)的光學(xué)實(shí)驗(yàn)方案,實(shí)現(xiàn)兩用戶協(xié)作制備任意單比特量子態(tài).

2 基于冗余圖態(tài)的多人協(xié)作量子計(jì)算

2.1 對圖態(tài)進(jìn)行局域泡利測量的重要性質(zhì)

圖態(tài)是一種特殊的糾纏態(tài),其中每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)著一個量子比特,連接兩個節(jié)點(diǎn)的線段代表一個控制相位翻轉(zhuǎn)門操作 (controlled-phase gate).若對圖態(tài)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行單比特泡利測量,剩下的節(jié)點(diǎn)及連線所構(gòu)成的狀態(tài)經(jīng)過經(jīng)典的反饋操作后,等價于只對原圖態(tài)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)刪除操作和局域互補(bǔ)操作[24]所產(chǎn)生的圖態(tài).

圖態(tài)具有以下兩個性質(zhì)[25,26]: 第一,如圖1(a)所示,對圖態(tài)中的任何一個粒子進(jìn)行sz測量,當(dāng)測量結(jié)果為+1時,剩余的圖態(tài)等價于從原圖態(tài)中刪除該粒子以及所有與它相連的線,當(dāng)測量結(jié)果是–1時,則對剩下的圖態(tài)進(jìn)行一個sz操作,便可獲得與測量結(jié)果為+1時相同的圖態(tài); 第二,如圖1(b)所示,對圖態(tài)上相鄰的兩個粒子分別進(jìn)行sx測量,若測量結(jié)果均為+1,則剩余的圖態(tài)等價于從原圖態(tài)中刪除這兩個粒子并將與這兩個粒子相鄰的粒子連接起來.反之,若測量結(jié)果中存在–1,則需要對剩余的圖態(tài)進(jìn)行一個相應(yīng)的局域幺正操作,使之與測量結(jié)果均為+1時所產(chǎn)生的圖態(tài)相同.

由于對任意一個圖態(tài)進(jìn)行測量,總是需要根據(jù)測量的結(jié)果對剩下的圖態(tài)進(jìn)行一個相應(yīng)的幺正變換來修正.為簡明起見,在本文后續(xù)的論述中,我們只考慮測量時量子態(tài)投影到本征值為+1的本征態(tài).

2.2 基于冗余圖態(tài)的多人協(xié)作量子計(jì)算

若將上述的兩個性質(zhì)應(yīng)用于圖1(c)所示的特定結(jié)構(gòu)的圖態(tài)上,其中對粒子5a,5b進(jìn)行sx測量,對n個粒子5c中的任意一個粒子5ci(i∈{ 1,2,···,n})進(jìn)行一個單比特測量M、其余的n– 1個粒子進(jìn)行sz測量,則根據(jù)圖1(a)所示性質(zhì),將會移除進(jìn)行了sz測量的粒子,而根據(jù)如圖1(b)所示性質(zhì),將把粒子 5a,5b移除并將粒子 5ci與粒子 2,4,6連接起來.可以發(fā)現(xiàn),對圖1(c)所示圖態(tài)進(jìn)行上述的測量后,其效果就等價于對圖1(d)所示圖態(tài)的粒子5進(jìn)行M測量.

圖1 對圖態(tài)進(jìn)行局域泡利測量并進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換后得到新圖態(tài) (a)對圖態(tài)中的任何一個粒子進(jìn)行sz測量;(b)對圖態(tài)上相鄰的兩個粒子分別進(jìn)行sx測量; (c)對粒子5a,5b進(jìn)行 sx測量,對 n個粒子 5c中的任意一個粒子5ci進(jìn)行 M 測量,其余的 n – 1 個粒子進(jìn)行 sz測量; (d)對粒子5做一個單比特測量MFig.1.Graph states after local measurements and the corresponding unitary operations: (a) sz measurement on any particle in the graph state; (b) two neighboring sx measurements on the graph state; (c) sx measurements on 5a,5b,measurement M on 5ci and sz measurements on 5ck(k ≠ i);(d) measurement M on single-qubit 5.

若以如圖1(d)所示圖態(tài)為資源進(jìn)行一次性量子計(jì)算,該計(jì)算可以通過對粒子1—6進(jìn)行單比特測量來完成.相應(yīng)地,利用具備如圖1(c)所示結(jié)構(gòu)的圖態(tài),可以實(shí)現(xiàn)多人協(xié)作的一次性量子計(jì)算任務(wù).

圖2 基于冗余圖態(tài)的多人協(xié)作量子計(jì)算 (a) 用于兩人協(xié)作量子計(jì)算的圖態(tài); (b) “工”字形冗余圖態(tài); (c) 對 (b) 圖所示圖態(tài)中的 b1,b2,b3,a4,a5,a6 進(jìn)行 sz 測量后剩下的圖態(tài) ; (d) 對 (b)圖所示圖態(tài)中的 a1,a2,a3,b4,b5,b6 進(jìn) 行sz測量后剩下的圖態(tài); (e)用于多人協(xié)作量子計(jì)算的圖態(tài)Fig.2.Collaborative computation based on redundant graph state: (a) A graph state for bipartite collaborative quantum computation; (b) an I-shape redundant graph state; (c) the graph state after sz measurements on b1,b2,b3,a4,a5,a6 in graph state depicted in (b); (d) the graph state after sz measurements on a1,a2,a3,b4,b5,b6 in graph state depicted in (b); (e) a graph state for collaborative quantum computation.

首先考慮兩人協(xié)作的場景,我們使用的圖態(tài)如圖2(a)所示,其中將頂端和底端的兩排粒子如圖標(biāo)記為a1—a6以及b1—b6.假設(shè)我們希望利用這個圖態(tài)進(jìn)行Alice和Bob協(xié)作的量子計(jì)算任務(wù),將粒子a1—a6分配給Alice,將粒子b1—b6分配給Bob,中間的12個粒子都進(jìn)行sx測量.根據(jù)圖態(tài)的性質(zhì),經(jīng)過sx測量后,剩下的圖態(tài)可以用圖2(b)來表示.在圖2(b) 中,每個虛線框表示一個節(jié)點(diǎn),每個節(jié)點(diǎn)中各有兩個粒子,這兩個粒子分別分配給不同的用戶,這樣的圖態(tài)即為冗余圖態(tài).接下來,由Alice和Bob協(xié)商該量子計(jì)算任務(wù)的合作方式并進(jìn)行量子計(jì)算資源的分配,例如Alice和Bob商定好,由Alice控制上半部分的粒子,Bob控制下半部分的粒子,那么只要Alice對手中的粒子a4,a5,a6進(jìn)行sz測量,Bob 對手中的粒子b1,b2,b3進(jìn)行sz測量,剩下的態(tài)就變成了如圖2(c)所示的圖態(tài).同理,如果是決定由Alice控制下半部分的粒子,Bob控制上半部分的粒子,那么只要Alice對手中的粒子a1,a2,a3進(jìn)行sz測量,Bob 對手中的粒子b4,b5,b6進(jìn)行sz測量,剩下的態(tài)就變成如圖2(d)所示的圖態(tài).Alice和Bob再根據(jù)具體的任務(wù),對自己手中剩下的粒子進(jìn)行特定的單粒子測量.雖然Alice和Bob獲得測量結(jié)果后需要相互溝通從而進(jìn)行反饋和修正,但由于測量時量子態(tài)的塌縮具有隨機(jī)性和概率性,因此雙方并不會泄露各自的測量基矢.最后,攜帶測量結(jié)果的經(jīng)典比特或者未測量的圖態(tài)即為一次性量子計(jì)算的輸出,一個由Alice和Bob合作的量子計(jì)算任務(wù)就完成了.

若考慮多用戶協(xié)作的情況,則制備如圖2(e)所示的圖態(tài),該圖態(tài)在第二層的每個粒子上都連接了若干個粒子.同樣地,我們對第一層和第二層的12個粒子進(jìn)行sx測量,將獲得類似于圖2(b)所示的冗余圖態(tài),但其每個節(jié)點(diǎn)都有多個粒子.再將連接在同個節(jié)點(diǎn)上的各個粒子分別分配給相應(yīng)的用戶,然后各用戶根據(jù)自身計(jì)算問題的需求對圖態(tài)進(jìn)行分割—如果該節(jié)點(diǎn)準(zhǔn)備由自己控制,就不測量,如果不準(zhǔn)備自己控制該節(jié)點(diǎn),就進(jìn)行sz測量將其移除.接著各用戶再執(zhí)行一次性量子計(jì)算操作即可完成此次多人協(xié)作的量子計(jì)算任務(wù).

值得注意的是,一方面,對于如圖1(c)所示的圖態(tài),如果把粒子 5b和粒子 5ci(i=1,2,···,n)單獨(dú)作為一個子圖看待,則該子圖對應(yīng)的圖態(tài)在局域幺正變換下等價于一個n+ 1粒子的Greenherger-Horne-Zeilinger 態(tài),各個 5ci(i=1,2,···,n) 粒子之間相互糾纏,狀態(tài)保持一致.如果在光學(xué)系統(tǒng)的偏振自由度上,量子比特是光子,那么光子5ci總是保持相同的偏振狀態(tài).另一方面,以圖2(a)所示圖態(tài)為例,我們對中間的12個粒子都進(jìn)行了sx測量,這12個局域的泡利測量可以結(jié)合在圖態(tài)的制備過程中,即我們可以直接制備一個初態(tài),使它的表達(dá)式正好與圖2(b)所示的冗余圖態(tài)相等.而對于任意的n節(jié)點(diǎn)冗余圖態(tài),如圖3(a)所示,每個虛線框表示一個節(jié)點(diǎn),每個節(jié)點(diǎn)都由m個粒子組成(n,m均為正整數(shù)).該冗余圖態(tài)可以看成是由傳統(tǒng)的n節(jié)點(diǎn)圖態(tài)(圖3(b))衍生而來的—在傳統(tǒng)的n節(jié)點(diǎn)圖態(tài)表示形式的基礎(chǔ)上,將每個節(jié)點(diǎn)拓展為m個粒子.具體來說,對于m個用戶參與的n節(jié)點(diǎn)協(xié)作性量子計(jì)算,需要制備由mn個粒子組成的冗余圖態(tài)來作為協(xié)作性量子計(jì)算的資源.例如,兩用戶參與的3節(jié)點(diǎn)協(xié)作性量子計(jì)算,需要使用六粒子的冗余圖態(tài)作為計(jì)算資源.對于圖3(c)中所示的六粒子冗余圖態(tài),其由三個節(jié)點(diǎn)線形連接構(gòu)成,且每個節(jié)點(diǎn)中都有兩個粒子,根據(jù)通常的線形三粒子圖態(tài):

圖3 冗余圖態(tài) (a)任意的冗余圖態(tài); (b) 與圖 (a)相對應(yīng)的傳統(tǒng)圖態(tài); (c)六粒子冗余圖態(tài)Fig.3.Redundant graph state: (a) An arbitrary redundant graph state; (b) the traditional graph state corresponding to(a); (c) six-partite redundant graph state.

2.3 兩用戶協(xié)作制備任意量子態(tài)的光學(xué)方案

在上述理論的基礎(chǔ)上,本文提出了利用六粒子冗余圖態(tài)實(shí)現(xiàn)Alice和Bob協(xié)作制備任意量子態(tài)的具體方案.Alice和Bob共享的六粒子冗余圖態(tài)如圖3(c)所示,粒子a1,a2,a3由 Alice 控制,粒子b1,b2,b3由 Bob 控制.應(yīng)用該六粒子冗余圖態(tài),Alice和Bob能夠以任意的協(xié)作形式為任意一方制備量子態(tài).

假如Alice想要獨(dú)立為自己制備一個量子態(tài),那么 Bob 就對b1,b2,b3進(jìn)行sz測量將其移除,之后由Alice對a1,a2分別進(jìn)行一個特定的測量,例如分別在粒子a1和粒子a2上做HZa1和HZ±a2操作,其中 0<α1(α2)<2π,正負(fù)號的選擇由對粒子a1的測量結(jié)果(0或1)來決定,粒子a3的狀態(tài)就可以制備為其中m1(2)為對粒子a1(a2)測量的結(jié)果.同樣地,若將制備的任務(wù)完全交給 Bob,則 Alice 只需對a1,a2,a3進(jìn)行sz測量,之后由Bob對b1,b2分別進(jìn)行一個適當(dāng)測量即可將量子態(tài)制備到粒子b3上.也可以讓其中一方為對方制備一個量子態(tài).若是由Alice為Bob制備這個量子態(tài),那么就由Alice對a3,Bob對b1,b2進(jìn)行sz測量,然后 Alice 對a1,a2進(jìn)行測量.還可以讓Alice和Bob協(xié)作,共同為其中任意一方制備量子態(tài),例如由Alice來控制量子態(tài)制備的第一步,由Bob來控制第二步,最后讓Alice獲得這個量子態(tài),那么,Alice就對a2,Bob 對b1,b3進(jìn)行sz測量,之后由 Alice 對a1,Bob 對b2分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏y量即可.

該方案在光學(xué)系統(tǒng)上的實(shí)現(xiàn)裝置如圖4所示.首先制備六粒子冗余圖態(tài),我們用水平偏振光表示用豎直偏振光表示利用與偏振無關(guān)的分束器將豎直偏振的激光分為四束,分別抽運(yùn)四塊非線性晶體BBO發(fā)生自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程.其中兩束激光分別入射二型切割的BBO晶體,各產(chǎn)生一對下轉(zhuǎn)換光子,經(jīng)過走離補(bǔ)償以及偏振調(diào)制后,制備為 偏振相同的糾纏光子對,可以寫為

下標(biāo)i(i=3,4,5,6) 表示光子i(i=3,4,5,6).

圖4 兩用戶協(xié)作制備任意單比特量子態(tài)的光學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置Fig.4.Physical realization of preparing arbitrary quantum state cooperated by two participants in optics.

另外兩束激光分別入射一型切割的BBO晶體,各產(chǎn)生一對水平偏振的光子,在 +/– 基矢上展開為

接著讓光子2與光子3在CPBS1上干涉,光子4′與光子 7 在 CPBS2上干涉,光子 5′與光子 8 在CPBS3上干涉,從而將線形三光子圖態(tài)拓展為六光子冗余圖態(tài).分別調(diào)節(jié)入射分束器的兩路光子所經(jīng)歷的光程,保證兩路光子在偏振分束器發(fā)生干涉時的時間不可分辨性.此外,PBS引入的相位可以通過適當(dāng)調(diào)整波片來抵消.若在八路出射光路上各放置一個單光子探測器,則當(dāng)且僅當(dāng)八個單光子探測器同時響應(yīng),就完成了六光子冗余圖態(tài)的制備,系統(tǒng)狀態(tài)的演變過程如下:

其中ai(bi),(i=1,2,3)表示由 Alice (Bob)控制的節(jié)點(diǎn)i中的光子.在該系統(tǒng)中,即使產(chǎn)生的八光子中有多對光子來自于同一自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程,也不能觸發(fā)八個單光子探測器同時響應(yīng)事件,從而避免了噪聲的干擾.接著,Alice和Bob通過由半波片、1/4波片、偏振分束器和單光子探測器對自己手上的光子做單比特投影測量,完成圖態(tài)的分割和量子態(tài)制備操作.以Alice獨(dú)立為自己制備量子態(tài)為例,選擇令m1=m2=0 的基矢做測量,此時,a3的狀態(tài)為可以通過量子態(tài)層析的方法進(jìn)行重構(gòu)和驗(yàn)證.同理,應(yīng)用該系統(tǒng),Alice和Bob可以根據(jù)雙方商定的方案,以任意的協(xié)作形式為任意一方制備量子態(tài).

3 結(jié) 論

提出了一種新型的多人協(xié)作量子計(jì)算方案.通過制備一個適當(dāng)?shù)娜哂鄨D態(tài),將相應(yīng)的部分分配給不同用戶,再由用戶自行協(xié)商完成對冗余圖態(tài)的分割,最后進(jìn)行通常的一次性量子計(jì)算操作來實(shí)現(xiàn)多人協(xié)作的量子計(jì)算.本文還給出了一個基于六粒子冗余圖態(tài)實(shí)現(xiàn)兩方協(xié)作任意量子態(tài)制備的光學(xué)實(shí)驗(yàn)方案.本方案可以適用于廣泛的應(yīng)用場景.與終端開放隱形傳態(tài)[27]中多方合作決定將信息傳送至某一方的開放性理念類似,共享冗余圖態(tài)方案的各方可以根據(jù)自己的需求靈活地確定量子計(jì)算具體的協(xié)作方式,同時也保障了各方進(jìn)行量子計(jì)算的安全性和私密性.