唐巨鵬，齊 桐

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧阜新123000）

目前，頁巖氣作為重要的非常規(guī)油氣資源成為世界各國(guó)的研究熱點(diǎn)[1-5]。頁巖氣儲(chǔ)層低孔低滲特點(diǎn)導(dǎo)致開采效率一直不理想，國(guó)內(nèi)外實(shí)踐表明，水平井水力壓裂技術(shù)是高效經(jīng)濟(jì)開發(fā)低滲油氣田的關(guān)鍵。我國(guó)頁巖氣儲(chǔ)層水平井水力壓裂技術(shù)尚不成熟，亟待在相關(guān)領(lǐng)域開展研究工作。實(shí)際上，頁巖氣開采過程中，孔隙壓力與儲(chǔ)層地應(yīng)力相互影響、相互制約，有效應(yīng)力是反映孔裂隙真實(shí)應(yīng)力環(huán)境的重要力學(xué)參數(shù)，對(duì)起裂壓力影響不能忽略，因此從理論分析角度，研究有效應(yīng)力對(duì)水力壓裂起裂壓力的影響對(duì)提高體積壓裂效果、促進(jìn)頁巖氣經(jīng)濟(jì)高效開采具有重要意義。

近年來，隨斷裂力學(xué)理論逐漸成熟，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)起裂壓力機(jī)理研究取得了大量成果。黃潤(rùn)秋等以深埋隧道涌水為研究對(duì)象，從斷裂力學(xué)角度分析單條裂紋在高水壓力作用時(shí)的擴(kuò)展機(jī)理[6]；Zhang等通過研究地應(yīng)力中間主應(yīng)力或最大主應(yīng)力對(duì)裂縫起裂與擴(kuò)展的作用，得到裂縫數(shù)量和失準(zhǔn)角對(duì)井眼起裂位置的影響規(guī)律[7]；Warpinski和Teufel預(yù)測(cè)水力裂縫是否能引起天然裂縫面的剪切滑移從而導(dǎo)致水力裂縫被捕獲（沿著天然裂縫延伸），或者使天然裂縫張開導(dǎo)致了更高的濾失[8]；任嵐以多孔介質(zhì)流體滲流與巖體應(yīng)力—應(yīng)變耦合理論為基礎(chǔ)，提出一種全新的水力壓裂巖石破裂壓力的計(jì)算方法[9]；盛金昌等以應(yīng)力強(qiáng)度因子為參量，給出水力壓裂判據(jù)[10]；趙延林通過建立壓剪裂紋斷裂損傷力學(xué)模型，分析分支裂紋擴(kuò)展的貫通機(jī)制[11]；郭肖等依據(jù)頁巖擴(kuò)散原理，采用自制頁巖擴(kuò)散系數(shù)測(cè)定裝置，對(duì)真實(shí)地礦進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析有效應(yīng)力與溫度對(duì)頁巖擴(kuò)散系數(shù)的影響[12]。趙金洲等建立裂縫性地層射孔井起裂壓力模型，研究近井區(qū)域徑向縫網(wǎng)形成機(jī)制[13]；藺海曉等通過數(shù)值模擬揭示地應(yīng)力對(duì)煤層起裂的影響[14]。呂有廠等分析在水平主地應(yīng)力相等條件下，穿層鉆孔在垂直煤層中的起裂機(jī)制[15]。綜上所述，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)裂縫起裂壓力機(jī)理研究已逐漸達(dá)成共識(shí)，但深入研究有效應(yīng)力與起裂壓力作用關(guān)系較少。而實(shí)際上，有效應(yīng)力是反映地應(yīng)力和孔隙壓力相互作用的物理量，研究有效應(yīng)力與起裂壓力的關(guān)系具有重要參考意義。本文將建立考慮有效應(yīng)力的起裂壓力理論公式，與前人結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證所建公式的正確性，并分析井筒方位角、鉆孔傾斜角、水平地應(yīng)力差不同時(shí)的裂縫起裂壓力變化規(guī)律，以期對(duì)水力壓裂開采規(guī)劃設(shè)計(jì)提供一定的參考。

1 考慮有效應(yīng)力的任意方向鉆孔水力壓裂力學(xué)模型

從理論分析角度，考慮水力壓裂過程中有效應(yīng)力對(duì)起裂壓力的影響，同時(shí)根據(jù)最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則，給出有效應(yīng)力與起裂壓力關(guān)系表達(dá)式。

1.1 有效應(yīng)力

Terzaghi在1921—1923年最先提出土的有效應(yīng)力原理和土的固結(jié)理論，1960年Cook對(duì)其研究并將其應(yīng)用于巖石材料中，此后有效應(yīng)力開始廣泛應(yīng)用于煤、頁巖等領(lǐng)域中，有效應(yīng)力張量表達(dá)公式：

由（1）式可知，巖體骨架中任意點(diǎn)的有效應(yīng)力等于總應(yīng)力減去孔隙壓力，裂縫起裂受水力壓力和地應(yīng)力共同作用，因此有效應(yīng)力不可忽略。本文主要研究水力壓裂中有效應(yīng)力與起裂壓力間的作用關(guān)系。

1.2 坐標(biāo)系

水力壓裂在鉆井過程中會(huì)使圍巖應(yīng)力重新分布，井筒內(nèi)壁應(yīng)力集中導(dǎo)致裂縫產(chǎn)生，同時(shí)當(dāng)水力壓力產(chǎn)生的拉應(yīng)力大于巖體抗拉強(qiáng)度時(shí)，裂縫產(chǎn)生并擴(kuò)展，形成單條裂隙，與巖體本身天然裂縫溝通形成縫網(wǎng)。為簡(jiǎn)化分析，采用如圖1所示坐標(biāo)系對(duì)斜孔周圍應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行描述。為了方便運(yùn)算，選取坐標(biāo)軸（1，2，3）與主應(yīng)力（σh，σH,σV）方向一致，Ω為方位角，Ψ為傾斜角；為描述孔周圍應(yīng)力狀態(tài)，建立直角坐標(biāo)系（x，y，z）來描述遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力；采用柱坐標(biāo)系（r，θ，z）描述孔壁周圍應(yīng)力狀態(tài)；其中z軸對(duì)應(yīng)于井軸，x和y位于與井軸垂直平面上。

為了建立（x，y，z）坐標(biāo)與（1，2，3）坐標(biāo)之間關(guān)系，將（1，2，3）坐標(biāo)按以下方式旋轉(zhuǎn)：

（1）將坐標(biāo)軸以3為軸，按照右手定則旋轉(zhuǎn)角Ω，變?yōu)椋▁1，y1，z1）；

（2）再將坐標(biāo)（x1，y1，z1）以y1為軸，按右手定則旋轉(zhuǎn)Ψ，變成（x，y，z）。

通過以上描述，主地應(yīng)力坐標(biāo)系（1，2，3）按圖1所示轉(zhuǎn)換得到坐標(biāo)系（x，y，z），并得到應(yīng)力轉(zhuǎn)換關(guān)系：

1.3 斜孔周圍應(yīng)力分布

假設(shè)巖體所在地層為線彈性多孔、各向同性材料，并認(rèn)為在井壁處于平面應(yīng)變狀態(tài)，利用無限大平板模型，平板上有一圓孔受均勻內(nèi)壓Pi，并且在平板無限遠(yuǎn)處受水平最大地應(yīng)力σH,水平最小地應(yīng)力σh，垂直方向受垂向地應(yīng)力σv，如圖2，井周地層應(yīng)力分布由孔內(nèi)液體壓力Pi、遠(yuǎn)場(chǎng)面內(nèi)應(yīng)力（σx,σy,σz）和遠(yuǎn)場(chǎng)離面應(yīng)力（σz,σxz,σyz）以下部分應(yīng)力疊加而得。

液柱壓力Pi引起的應(yīng)力其中，R為井眼半徑（m），r為極坐標(biāo)半徑（m）。

由地應(yīng)力分量σxx和σyy引起的井壁圍巖應(yīng)力分布分別為：

圖1 井軸坐標(biāo)系

圖2 井壁圍巖力學(xué)模型

由地應(yīng)力分量σzz引起的井壁圍巖應(yīng)力分布

由地應(yīng)力分量σxy所引起的井壁圍巖應(yīng)力分布為

由地應(yīng)力分量σxz所引起的井壁圍巖應(yīng)力分布為

由地應(yīng)力分量σyz所引起的井壁圍巖應(yīng)力分布為

應(yīng)力分量線性疊加后，井壁圍巖應(yīng)力分布：

式中，R 為圓孔半徑(m)，Pi為起裂壓力（MPa），PP為孔隙壓力（MPa），ν為泊松比孔隙度（%）、θ為井周角（°）（相對(duì)于x軸）。

1.4 孔壁應(yīng)力分布

在（2）式中，當(dāng)R=r時(shí)，得到孔壁應(yīng)力分布為

1.5 含有效應(yīng)力的孔壁應(yīng)力分布

將（1）式帶入（3）式中，得到考慮有效應(yīng)力下的孔壁應(yīng)力公式：

2 考慮有效應(yīng)力孔壁起裂分析

在水力壓裂處理裂縫起裂問題時(shí)，通常選定一個(gè)斷裂準(zhǔn)則作為水力壓裂裂縫起裂依據(jù)。前人已提出多種斷裂準(zhǔn)則，其中較經(jīng)典的有最大能量釋放效率理論（G準(zhǔn)則）、應(yīng)變能密度因子理論（S準(zhǔn)則）、最大周向應(yīng)力理論（σθ準(zhǔn)則）和最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則（σmax）。σmax準(zhǔn)則形式簡(jiǎn)單，考慮三向地應(yīng)力，至今普遍應(yīng)用，對(duì)抗拉強(qiáng)度較低的巖石類材料，更接近于實(shí)際情況，所以本文采用最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則作為裂縫起裂判據(jù)：

由上述孔壁應(yīng)力狀態(tài)可看出，液體壓力Pi是σθ的函數(shù)，所以Pi也是σmax函數(shù)，井筒內(nèi)壁圓周方向上，當(dāng)θ發(fā)生改變，σmax也隨之改變。當(dāng)液體壓力Pi增加到一定值時(shí)，孔壁θf處開始逐漸裂開，產(chǎn)生裂縫，即在θf處達(dá)到最大值。以最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則為準(zhǔn)，孔壁最大拉應(yīng)力大于等于巖石抗拉強(qiáng)度σt，裂縫在θf處起裂，即σmax=σt，可由以下公式得到裂縫起裂位置θf：

Hossain等研究表明，起裂壓力隨巖石抗拉強(qiáng)度增大而增大，隨孔隙壓力的增大而減小[16]。假設(shè)巖體抗拉強(qiáng)度σt=0、孔隙壓力Pp=0，可以抵消兩者對(duì)起裂壓力影響，根據(jù)（6）式得出θf，由（4）式和（5）式可得到考慮有效應(yīng)力的裂縫起裂壓力i：

3 計(jì)算實(shí)例與參數(shù)分析

結(jié)合最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則及斜井周圍應(yīng)力分布，引入有效應(yīng)力，推導(dǎo)出適用于頁巖開采的、考慮有效應(yīng)力的起裂壓裂公式。從（7）式可以看出：i不僅與巖體所受地應(yīng)力分量σxx、σyy有關(guān)，而且與孔隙壓力PP、起裂位置也有關(guān)。對(duì)于深部開采的高地應(yīng)力儲(chǔ)層，通過已知巖體力學(xué)參數(shù)，引入有效應(yīng)力推導(dǎo)起裂壓力公式，對(duì)實(shí)際水力壓裂工作具有一定的參考價(jià)值。

施工參數(shù)（井筒方位角、鉆孔傾斜角、壓裂液量）和儲(chǔ)層地質(zhì)條件（層理、水平主應(yīng)力差、天然裂縫）共同影響體積壓裂復(fù)雜程度。下面研究考慮有效應(yīng)力時(shí)，井筒方位角、鉆孔傾斜角、水平地應(yīng)力差對(duì)頁巖起裂壓力的影響規(guī)律。裂縫起裂受多方面影響，其中地應(yīng)力場(chǎng)起主要作用，由σv、σH、σh大小決定，本文研究其中一種情況，即σh＜σH＜σv工程算例參數(shù)選自文獻(xiàn)[17]某四川頁巖儲(chǔ)層力學(xué)參數(shù)（表1）。

表1 頁巖力學(xué)參數(shù)與井筒地應(yīng)力情況

3.1 井筒方位角對(duì)起裂壓力影響

在頁巖氣實(shí)際開采中，井筒方位角影響井筒內(nèi)壁周圍應(yīng)力狀態(tài)改變，導(dǎo)致起裂壓力變化，因此分析井筒方位角與考慮有效應(yīng)力的起裂壓力作用規(guī)律具有重要意義。選取表1頁巖力學(xué)參數(shù)計(jì)算，當(dāng)鉆孔傾斜角Ψ =90°時(shí)，探討井筒方位角Ω為0°、30°、45°、60°、90°時(shí)，考慮有效應(yīng)力的起裂壓力變化規(guī)律。

鉆孔傾斜角Ψ =90°時(shí)，井筒為水平井筒，井筒方位角Ω從0°旋轉(zhuǎn)到90°，從圖1可知井筒軸線從σh轉(zhuǎn)到σH方向，即井筒在平面1-2內(nèi)旋轉(zhuǎn)。本文建立的起裂壓力公式考慮了有效應(yīng)力的作用，即考慮了實(shí)際頁巖氣開采過程中水壓與地應(yīng)力間的相互作用，更接近實(shí)際地層情況。起裂壓力隨井筒方位角變化曲線如圖3所示。據(jù)此得到起裂壓力與井筒方位角關(guān)系規(guī)律。

（1）與國(guó)內(nèi)學(xué)者馮彥軍[18]研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，考慮有效應(yīng)力時(shí)起裂壓力比不考慮有效應(yīng)力時(shí)的起裂壓力明顯減小，但兩者關(guān)系曲線趨勢(shì)一致，驗(yàn)證了本文考慮有效應(yīng)力的起裂壓力公式的正確性?？紤]有效應(yīng)力時(shí)，井筒方位角為0°、30°、45°、60°和90°時(shí)，起裂壓力分別為37.9、35.8、33.5、31.2和29 MPa，起裂壓力分別降低了9.67%、5.74%、6.44%、3.5%和3.56%。研究發(fā)現(xiàn)：考慮有效應(yīng)力時(shí)，起裂壓力降低，更容易滿足起裂條件。在實(shí)際工程中，起裂壓力越小，水力壓裂越容易實(shí)現(xiàn)，越有利于頁巖氣經(jīng)濟(jì)開發(fā)。

（2）起裂壓力與井筒方位角呈線性遞減關(guān)系。井筒方位角為0°和30°時(shí)分別對(duì)應(yīng)起裂壓力的最大值和次大值，此時(shí)井筒軸向與最小水平地應(yīng)力方向相同，因此主要受最小水平地應(yīng)力作用，剪切力影響小。井筒方位角30°～60°井筒受剪切力作用明顯。井筒方位角60°～90°起裂壓力降低至29 MPa，井筒軸向與最大水平地應(yīng)力相同，主要受其影響。所以，井筒方位角是影響起裂壓力的重要因素。在實(shí)際頁巖開采時(shí)，應(yīng)盡可能增大井筒方位角，以降低起裂壓力。對(duì)于頁巖儲(chǔ)層而言，井筒方位角為90°時(shí)，水力壓裂一般會(huì)產(chǎn)生垂直于井筒的橫向裂縫，更易于縫網(wǎng)形成，對(duì)頁巖氣開采就越有利。

3.2 鉆孔傾斜角對(duì)起裂壓力影響

鉆孔傾斜角是井筒與孔眼橫截面軸線與水平方向間夾角。實(shí)際鉆井過程中，鉆孔傾斜角度會(huì)影響裂縫起裂壓力及頁巖氣開采量，因此研究鉆孔傾斜角與考慮有效應(yīng)力的起裂壓力變化規(guī)律十分必要。為研究單一因素鉆孔傾斜角，選取井筒方位角Ω=90°，鉆孔傾斜角Ψ從0°轉(zhuǎn)到90°，即鉆孔從垂直井變?yōu)樗骄瑘D1所示鉆孔軸從與軸3重合轉(zhuǎn)到與軸1重合。理論計(jì)算鉆孔傾斜角與起裂壓力間關(guān)系規(guī)律，如圖4所示。

（1）起裂壓力隨著鉆孔傾斜程度的增加呈先增大后減小趨勢(shì)。鉆孔傾斜角由0°、30°、45°、60°增加到90°時(shí)，起裂壓力分別為26、34.5、42.1、36.3和30.1 MPa，起裂壓力變化率分別為22.03%、32.29%、20.6%和15.97%，0°～30°垂直地應(yīng)力占主要影響，30°～60°剪切應(yīng)力起主要作用，60°～90°最大水平地應(yīng)力占主要影響。

（2）由圖4發(fā)現(xiàn)，以45°為中心，起裂壓力值呈對(duì)稱分布。這是因?yàn)棣?0°受垂直地應(yīng)力影響，Ψ=90o受最大水平地應(yīng)力影響，而剪切應(yīng)力無明顯作用，所以起裂壓力??；Ψ=45°時(shí)，起裂壓力最大，井筒周圍受到剪切應(yīng)力和地應(yīng)力共同作用，這一規(guī)律與龔迪光所得“射孔傾斜角為0°和90°剪切力影響小，射孔傾斜角為45°剪切力作用”[19]顯著相符。

圖3 井筒方位角與起裂壓力關(guān)系曲線

圖4 鉆孔傾斜角與起裂壓力關(guān)系曲線

上述結(jié)果表明，鉆孔傾斜角對(duì)起裂壓力作用明顯，隨著鉆孔傾斜角的增大，起裂壓力呈“∧”型對(duì)稱分布。因此，在實(shí)際壓裂鉆井中，根據(jù)鉆孔傾斜角合理布置可以經(jīng)濟(jì)有效地開采頁巖氣。本文建議最佳鉆孔傾斜角為0°。

3.3 水平地應(yīng)力差對(duì)起裂壓力影響

水力壓裂發(fā)生時(shí)，頁巖氣儲(chǔ)層在地應(yīng)力和水力壓力共同作用下產(chǎn)生裂縫，水力裂縫溝通天然裂隙形成縫網(wǎng)，此過程中地應(yīng)力起決定作用，因此研究地應(yīng)力與考慮有效應(yīng)力的起裂壓力變化規(guī)律意義重大。

由于在頁巖氣開采中水平井是在同一深度向前延伸，即保持σv不變。水平軸與σh方向一致，即圖1中Ψ=90°、Ω=90°，改變水平地應(yīng)力差，從以下兩個(gè)方面分析，選取表2不同地應(yīng)力組合，計(jì)算說明水平地應(yīng)力差與起裂壓力關(guān)系的規(guī)律，如圖5所示。

（1）圖5表明，最小水平地應(yīng)力改變時(shí)，隨著水平地應(yīng)力差增大，起裂壓力線性減?。ㄟ@與文獻(xiàn)[17]規(guī)律一致），起裂壓力變化范圍較大。水平地應(yīng)力差由2、4、6、8 MPa增加到10 MPa時(shí)，起裂壓力為68.1、62.1、58.9、55.4和50.3 MPa，降低變化率依次為9.66%、5.95%、6.32%和10.14%。巖體在地層受附加應(yīng)力影響大，受層理和天然裂縫影響時(shí)需要較大壓力才能使裂縫起裂。隨著最小水平地應(yīng)力減小，水平地應(yīng)力差增加，使巖體應(yīng)力集中，裂縫容易起裂，因此，起裂壓力小。

總之，改變最小水平地應(yīng)力時(shí)，起裂壓力隨著水平地應(yīng)力差增大而降低，且降低幅度較大，在水力壓裂過程中考慮水平地應(yīng)力差為探索裂縫形成過程及擴(kuò)展規(guī)律提供了設(shè)計(jì)思路。

（2）由圖5可知，最大水平地應(yīng)力改變時(shí)，起裂壓力隨著水平地應(yīng)力差的增加線性增大，增加幅度較小。水平地應(yīng)力差由2、4、6、8 MPa增加到10 MPa時(shí)，起裂壓力為49.5、50.1、51.2、52和52.9 MPa，增加了1.21%、2.19%、1.56%、1.73%。因?yàn)樵谒降貞?yīng)力增加時(shí)，對(duì)裂縫尖端延伸的約束能力增強(qiáng)，水力能量集中，因此起裂壓力值大。在水力壓裂過程中，最大水平主應(yīng)力的變化，導(dǎo)致裂縫起裂和擴(kuò)展不同，但水平最大地應(yīng)力的改變對(duì)起裂壓力影響較小。

以上結(jié)果表明，頁巖儲(chǔ)層受構(gòu)造應(yīng)力影響，同一深度不同位置水平地應(yīng)力有明顯差異。在鉆水平井過程中，最小水平地應(yīng)力改變對(duì)起裂壓力影響顯著，使井壁發(fā)生破裂的可能性增加。

表2 三向地應(yīng)力狀態(tài)

圖5 水平地應(yīng)力差與起裂壓力關(guān)系曲線

4 討論與結(jié)論

本文以任意方向鉆孔水力壓裂力學(xué)模型為基礎(chǔ)，基于最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則，推導(dǎo)考慮有效應(yīng)力的起裂壓力公式，與文獻(xiàn)報(bào)道結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了該公式的正確性。因此研究井筒方位角、鉆孔傾斜角、水平地應(yīng)力差對(duì)考慮有效應(yīng)力的起裂壓力的影響規(guī)律，所得結(jié)論對(duì)體積壓裂設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。但由于水力壓裂機(jī)理的復(fù)雜性，且影響裂縫擴(kuò)展因素較多，如深部?jī)?chǔ)層溫度、地層構(gòu)造條件等，故所得結(jié)論尚需進(jìn)一步完善。