涂友利

(福建省晉江市磁灶中學(xué) 362214)

一題多解能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、分析能力、獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題能力及思考內(nèi)驅(qū)力等數(shù)學(xué)綜合能力，下面舉例說明．

實(shí)例1平行四邊形判定問題從同旁同角、構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角、同位角及全等角度思考．

題目如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，求證:四邊形ABCD是平行四邊形．

分析條件有一組對(duì)邊平行，與邊相關(guān)的判定方法只有三種:兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等及一組對(duì)邊平行且相等，為了描述方便，記為判定1、2、3．

解法1∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

解法2如圖2，延長BC至E.∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE.∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，原證成立．

解法3如圖3，連結(jié)BD.∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB.∵∠B=∠D，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，原證成立．

解法4如圖4，連結(jié)AC， ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.∵∠B=∠D，AC=CA， △ABC≌△CDA，∴AB=CD，原證成立．

評(píng)注解法1、2、3都是根據(jù)判定方法1，分別從同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角來分析．解法4運(yùn)用三角形全等，得邊角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)判定1、2、3均可完成．學(xué)生經(jīng)歷多角度思考過程，數(shù)學(xué)建模、分析、獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題、思考內(nèi)驅(qū)力等能力得到提升．

實(shí)例2 在矩形中求線段長度運(yùn)用不同知識(shí)去開拓學(xué)生思維，題目如下．

題目如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．試求BE的長．

還可用代數(shù)法．在文獻(xiàn)[2]中，所謂代數(shù)法，就是將幾何命題中的有關(guān)線段、角度、面積等元素間的相互關(guān)系表示成相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式，然后應(yīng)用代數(shù)恒等變形或解方程等知識(shí)來給出幾何證明的一種方法．具體解法見思路5、思路6．

評(píng)注思路1建方程模型；思路2運(yùn)用直角邊之積等于斜邊與其高之積；思路3運(yùn)用三角形相似；思路4運(yùn)用三角函數(shù)；解法5、6用代數(shù)方法．可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力得到發(fā)展．

實(shí)例3在折疊問題中多角度分析畫圖，題目如下．

題目如圖7，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，恰好使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，請(qǐng)畫出點(diǎn)E，F(xiàn)的位置．

分析要畫出點(diǎn)E，F(xiàn)位置，可考慮先確定一個(gè)點(diǎn)，再確定另一個(gè)點(diǎn)．當(dāng)△ADE≌△AFE時(shí)，AF=AD，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)F，這樣點(diǎn)F的位置就確定了，下面確定點(diǎn)E位置．

思路1作∠FAD的平分線，交邊CD于點(diǎn)E．

思路2作∠AFE=∠D=90°，交邊CD于點(diǎn)E．

思路3作線段DF的垂直平分線，交邊CD于點(diǎn)E.

評(píng)注此題確定點(diǎn)E位置時(shí)，運(yùn)用一題多解的方法，結(jié)合全等三角形、角平分線、線段垂直平分線、尺規(guī)作圖等數(shù)學(xué)知識(shí)，來進(jìn)行數(shù)學(xué)推理及分析.在這個(gè)過程中，學(xué)生解讀文本、理解圖形結(jié)構(gòu)等數(shù)學(xué)綜合能力得到提升．

通過以上實(shí)例，不難發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如果能堅(jiān)持運(yùn)用一題多解來引導(dǎo)學(xué)生深入地去分析、研究問題，能夠有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力．