張強

摘 ? 要：依據《高中數學課程標準》對數學建模的要求，培養(yǎng)學生數學建模素養(yǎng)具有必要性，根據高中階段數學模型學習的基本特征，并立足于日常教學，培養(yǎng)學生數學建模素養(yǎng)要回歸于落實核心素養(yǎng)發(fā)展。

關鍵詞：數學模型;核心素養(yǎng);數學教學

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）17-0036-04

在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，數學建模被列入六個數學核心素養(yǎng)之一?！墩n程標準》指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)。用數學的方法解決實際問題是數學的基本思路，為了利用數學工具解決現實生活中問題，需要建立適當的數學模型，也就是說，數學模型是為現實生活服務，為社會學、自然科學研究提供的工具;特別是進入以計算機技術為代表的信息時代，數字技術被更為廣泛運用，數學建模與現代科學技術越來越緊密聯系在一起，一切社會學、自然學科研究都離不開模型，模型依據原型的形象化或模擬與抽象而產生，它是對原型某些方面不失真的近似反映，而數學模型更多地是研究其空間或數量關系，這樣就建立或產生了各種形式或形態(tài)的數學模型。學生數學模型素養(yǎng)的培養(yǎng)，是一個漸進式螺旋上升過程，教師要在日常教學中通過潛移默化的方式，培養(yǎng)學生數學建模素養(yǎng)。

一、培養(yǎng)學生數學建模素養(yǎng)的必要性

（一）創(chuàng)新意識和實踐能力培養(yǎng)

數學建模素養(yǎng)培養(yǎng)有利于提升學生實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神。數學模型是人類文明的文化積累，體現了人類處理現實問題的智慧。提升學生數學模型素養(yǎng)，是提升學生數學文化和數學素養(yǎng)的重要組成部分，也是高中數學教育的重要目標。數學建模進入中學教育，也正在世界范圍內逐步形成一種潮流。在這股潮流中，為中學生數學才能和潛力的發(fā)揮提供了更為廣闊的空間，也為學校數學教育特色化提供了創(chuàng)新空間，學校以數學建模為抓手推動數學教育改革;教師在日常數學教學中，習慣用建模思想方法分析教材、設計教學過程，讓學生在“做數學”的學習過程中，體會數學的力量，體驗數學建模過程，提升其數學學習的興趣。

對數學模型方法進行學習，需要教師和學生共同挖掘組織材料，在學生周圍有大量的現實問題可以用數學的方法來解決，而更多的數學建模思想學習、數學建模素養(yǎng)培養(yǎng)應建立在平時的教材內容和課堂學習之中。

（二）提升學生對數學的感悟與認識

數學建模素養(yǎng)培養(yǎng)過程可以提升學生對數學的本質認識，可以提升學生“問題意識”，也提升學生對數學的感悟與認識。在學生有意識應用模型思想建立數學模型時，就要聯想到已有數學知識，然后綜合利用各個方面知識解決一些與數學有關的現實問題。在這個過程中，首先要把待研究的現實問題中的數學問題明確地表達出來，然后使用數學的理論和方法進行分析、并得出數學結論，最后還要還原到現實的實際問題。在以上過程中，鑒于現實問題的復雜性，很難用學生熟悉的數學理論“套用”到這些問題上，這就需要在數學理論與現實問題之間建立一個“橋梁”，這個用于把現實問題用數學結構明確表達出來的“橋梁”就是數學模型。為此，數學模型一定有它自己的應用背景，數學模型是從特定的實際問題中抽象出來的，在這個抽象過程中，學生對具體現象的數學本質的理解會得到進一步升華。

二、數學模型學習基本特征

（一）體驗性特征

正如要學會開汽車，只有了解汽車，學習相關操作，并親身體驗開車過程，才可能逐步駕馭好汽車。中學生學習數學建模需要一定過程，需要學生親身體驗數學建模步驟，在學習數學建模初始階段，更多的是教師引導展示，用數學模型思想方法解決一些典型問題，通過范例讓學生初步感受數學模型為解決現實問題帶來的方便與好處;進一步，學生在模仿操作過程中，初步體驗、了解數學建模的一般步驟與方法，并逐步產生對數學學習的興趣;然后，教師根據學習需要和學生經驗，設計學生熟悉的、發(fā)生在身邊的實際問題，學生通過對數學建模的整個過程和環(huán)節(jié)的親自體驗，逐步感受、了解建模過程。

（二）原型性、創(chuàng)造性特征

數學建模不能等同于通常的“應用題”，盡管解應用題訓練有利于學生數學建模能力提升，應用題中的條件只是數學假設，但不是實際問題的簡化假設。數學建模學習應從現實原型出發(fā)，創(chuàng)設或恢復數學學習、創(chuàng)造的全過程?；谥袑W生學習特征和學習規(guī)律，平時教學中，側重于學習、研究相對完備的知識或已經建立好的數學模型，而數學學習提倡積極主動地學習、建構知識與方法，為此不能滿足于既定數學模型并導出具有一定方向性的答案，而對于某一特定的現實研究對象，根據學生已有知識和建模經驗，由學生自己構建數學模型，更能夠激發(fā)學生獲取知識的主動性，提高學習興趣，感受數學價值，提升學生解決問題能力，培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)。

例1：四條腿長度相等的椅子，如果放在不平坦的地面上，四條腿能否一定同時著地？

本問題背景學生非常熟悉，看起來又與數學沒有直接聯系，但如果假設椅子中心不動，每條腿著地點抽象為幾何學的點，用點A、B、C、D表示，建立直角坐標系，線段AC、BD所在有向直線為x軸、y軸。這樣把旋轉椅子轉化為坐標軸旋轉，并且θ為對角線AC旋轉后與初始位置x軸的夾角，g（θ）表示點A、C兩腿與地面距離之和，f（θ）表示B、D兩腿與地面距離之和，則放平椅子問題抽象為：當地面光滑時，g （θ）、 f（θ）皆為連續(xù)函數，因兩條腿總能同時著地， 總有f（θ）·g（θ）=0。不妨假設g（θ）=0， f（θ）>0，在以上條件下，求證存在θ0，0<θ0<，使f（θ0）=g（θ0）=0.

（三）抽象性、直覺性特征

數學建模有利于培養(yǎng)學生抽象思維及直覺思維，數學學習的核心是培養(yǎng)學生思維能力。數學概念是經過抽象得來的，而這個抽象過程可能要進過多次抽象。數學模型是為了某種目的，擯棄現實原型中的某些非本質屬性，并使本質要素形式化，對原型進行簡化地、本質地刻畫，并對原型用數學語言進行準確的概括，從而可以使同一模型能運用到不同的現實情境之中，這樣數學模型既能體現實際問題，并能經得起實際問題的檢驗，還能預測實際問題可能的結果。一般，對學生來說，數學建模的研究對象并非課本中給出的現成材料，學生面對新情境下的研究對象，有時需要學生即時狀態(tài)下對新事物做出相關數學的反應于決策，這實際就是學生直覺思維的運用與體現。直覺思維是數學基本思維，學生正是在數學建模過程中，數學直覺思維得以提升與發(fā)展。

（四）程序化特征

由于實際問題的多樣性，數學建模涉及的范圍自然很廣泛。盡管建模類型、方式、方法具有多樣性，但數學建模一般要經歷一個程序化過程，也就是有一個基本思維框架或思路，一般數學建模具有如下幾個階段：

第一階段，針對一個實際問題，要明確研究對象和研究目標。明確研究問題實際背景及相關知識，了解數據、資料來源是否準確，弄清研究問題的類型等。

第二階段，辨析并列出實際問題有關因素，通過假設將要研究的問題簡化，弄清研究對象的關鍵因素及其在問題中的作用。

第三階段，運用已有數學知識和數學方法刻畫問題中變量之間的關系，通常確定參數，可以用數學式子表達描述，從而得到相對應的數學模型。

第四階段，運行已經獲得的數學模型，計算求解，獲得數學的結果，并將獲得的結果與實際觀測進行比較驗證。不斷改進模型，如果模型與實際不相符，重新研究模型運行過程及其組建過程，并驗證假設，判斷假設是否合理，檢驗問題因素的篩選過程，并對假設給與修正后，重復前面建模過程，直到獲得經檢驗符合實際的數學模型。

在上過程中，學生根據現實問題和實際情境，從數學的視角發(fā)現問題、提出問題，分析問題、構建模型、經歷了確定參數、計算求解，驗證結果、改進模型，最終解決實際問題的全過程。

三、立足課堂教學，開展有效的數學建模活動

《課程標準》指出，數學建模與數學探究活動以課題研究形式開展，在選擇性必修活動中，要求學生完成一個課題研究……根據選題的內容，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作的實物或研究論文等多種形式。在具體教學中，應特別關注以下幾點：

（一）選擇恰當對象，構建模型體系

確定一定難度和有學習價值的建模對象，在高中數學建模時哪些現實問題可以作為探究對象是一個值得思考的問題。一般，研究的現實問題應與數學核心概念、內容有緊密聯系或相關，并有一定難度與挑戰(zhàn)性，問題具有一般性且可能有多種建模思路，含有一定思維價值。學生利用已經掌握的多種知識可以利用數學建模思想方法通過多種途徑解決問題。

（二）課堂教學是數學建模主陣地

依托教材中的教學內容，滲透數學建模思想是非常重要的。教材公式、定理、習題等是數學教研的結晶，編寫者將這些數學精華編輯成學習材料，這些內容往往蘊含著豐富的數學模型思想，例如函數模型、方程模型、二次模型、不等式模型、數列模型等，教師在課堂教學中應不失時機、有意識、有目的地滲透數學模型思想，有意識地將教材中的公式、定理、概念賦予恰當的實際意義，構造數學模型，用數學模型思想方法處理、思維數學問題。

另外，教材與平時訓練中，有大量的與現實生活相關的應用題或開放性問題，與以往相比，應用題或開放性問題有很多新變化，表現為情境更加新穎、更富有時代特征、更具有開放性，蘊含信息更開闊豐富、更貼近學生生活，這些具有真實情境背景的應用問題，更有利于鼓勵學生利用模型化思想解決問題，有利于提升學生思維和創(chuàng)新能力。

（三）組織豐富多彩的課題研究，帶動數學建模探究

組織有效的數學建模活動，是數學建模的關鍵，教師應注意以下幾點：

一是建模過程中充分發(fā)揮學生主體作用。數學建模是學生的數學研究活動，教師不能代替他們，教師的職能是為學生學服務，學生能動地去親自參與體驗，才能將知識客體與主體已有的認知結構建立聯系，從而形成他們新的認知結構和認知方式。

二是學生要有必備的知識儲備。必備知識儲備是很重要的，數學建模離不開知識，任何知識學習，既為理論提供依據，又是形成新理論的條件。

三是數學建?；顒有枰獙W生之間交流、討論。這就需要建立民主、輕松愉快的學習氛圍，給與學生相對充足的時間、空間，與接受學習相比數學建模需要更多時間，需要較大空間。有時，數學建?；顒由踔烈由斓缴鐣钪校處熯€要幫助學生開發(fā)各種學習渠道，如網絡、社區(qū)、工廠、農村等。

四是教師與學生共同搜集、整理大量信息、資料與數據。在信息時代，學習資源是共享的，盡管學生是數學建模主體，但由于學生知識、經驗有限，在必要的環(huán)節(jié)，需要教師的參與指導。例如，面對大量繁雜信息，學生可能難以操作、分辨和處理，需要教師幫助辨析指導，需要教師對建模的研究對象適度優(yōu)化，變成適合學生研究、建模的材料。

五是交流、展示與評價。中學數學建?；顒又?，需要建立開放性交流和展示的平臺，讓學生充分展現他們的成果，獲得成功的喜悅，分享建模過程中成功或失敗的經驗。根據選題的內容，撰寫報告，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作的實物或研究論文等多種形式，教師和學生共同給與合理評價，評價既關注結果也要關注過程，既關注知識技能又要關注各種能力與素養(yǎng)。

（四）逐步養(yǎng)成建模習慣

數學建模不是目的，目的在于培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，為了激發(fā)學生學習數學的積極性和主動性，發(fā)展創(chuàng)新精神，必須培養(yǎng)學生應用意識和實踐能力。一方面，教師要基于數學情境，構建數學模型，讓學生學會學數學、用數學，培養(yǎng)學生“四能”（發(fā)現、提出、分析解決問題能力），達到“三會”（會用數學眼光看、會用數學思維想、會用數學語言進行表達）;另一方面，數學模型屬于一個綜合性數學活動，既體現數學的應用，更體現研究對象的現實背景，學生可以在建模過程中，感受利用數學概念、方法、思想解決現實問題的作用，達到提升學生綜合能力，更加全面地提升學生核心素養(yǎng)的目的。