曾一凡

引言：對有些數(shù)學(xué)問題，從幾何的角度去分析研究，或許能有新的發(fā)現(xiàn)，從而得到更加形象的理解。下面，筆者將從幾道橢圓問題出發(fā)，談一談數(shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)問題理解的幫助，看一看數(shù)形結(jié)合的思想又是如何應(yīng)用在極限等更廣泛數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的。從而進(jìn)一步剖析思維如何從中得到鍛煉，數(shù)學(xué)素養(yǎng)又是如何提高的。

從以上解法不難看出，一切解題過程都順理成章，思維難度不大，屬于高中生必須掌握的解析幾何技巧。然而，這種做法并不形象，學(xué)生只是利用固定方法，套用公式，機(jī)械的計算罷了，并不能理解這個定理的內(nèi)涵。

再看下述證明，如果從幾何角度來看這道題，思路似乎清晰了不少。

若仔細(xì)思考該定理的內(nèi)容，我們可以把該結(jié)論改寫為：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)射出一束光，打到橢圓的壁上后一定反射到另一個焦點(diǎn)上。

如果這樣提問，問題似乎很生動更形象了，隨之而來的，是一個非常有趣的解法，其中用到了橢圓的第一定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

首先有引理

我們可以驚異的看出，第二種方法似乎簡單了不少，這種證明只涉及到了橢圓的第一定義，證明過程甚至沒有代數(shù)數(shù)字出現(xiàn)，而且，該證明過程極大的鍛煉了邏輯能力，也讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)之趣。

雖說兩種方法都解決了這個問題，但它們體現(xiàn)的思維性卻是不一樣的。但是只用一個例子不能很好說明數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問題中的作用。所以，用來論證數(shù)形結(jié)合的重要性還略顯不足，所以需要繼續(xù)將思維深入，看看在其他問題上會有什么結(jié)果。

歸納總結(jié)：從這道例題我們可以看出來由事物的幾何性狀入手，采用數(shù)形結(jié)合的思考方式，會讓我們對二次曲線的問題有著更加深刻的理解。如果熟練運(yùn)用這種技巧，高考中最難的解析幾何問題就迎刃而解了。

結(jié)束語：許多題目實質(zhì)上蘊(yùn)涵著豐富的科學(xué)思想和內(nèi)涵，而用數(shù)形結(jié)合的辦法解決問題往往可以幫助我們接觸到問題的實質(zhì)。很多代數(shù)化的解法只是它的表現(xiàn)形式而已。通過幾道簡單的小題，可以理解到很多深層次的東西，從二次曲線到極限，從代換到放縮，切入的角度不同，但我們的解題方法相同——也就是數(shù)形結(jié)合。在數(shù)學(xué)問題上，其實有很大一部分題目是需要數(shù)形結(jié)合的，畢竟很多時候我們遇到的問題，會有機(jī)會讓我們思考其中的幾何意義。因此，只有具備了數(shù)形結(jié)合的思維和足夠的數(shù)學(xué)敏感度，才能夠?qū)㈦y問題迎刃而解。