袁奎霖，周忠華，趙 峰，洪 明

（大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116024）

0 引 言

船舶等大型焊接結(jié)構(gòu)在交變外載荷作用下，在應(yīng)力集中較嚴(yán)重的焊趾部位極易萌生多處微裂紋,隨著微裂紋生長(zhǎng)與合體形成近似于半橢圓形狀的表面裂紋[1]。表面裂紋沿板厚和板寬方向不斷擴(kuò)展，直至貫穿鋼板形成穿透型裂紋甚至引發(fā)斷裂破壞。為了保證結(jié)構(gòu)服役安全性，表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算是損傷容限設(shè)計(jì)中極其重要的一部分。

對(duì)于半橢圓表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算，已有國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量研究，其中有限元法是最常用的方法之一。Newman和Raju[2-3]通過(guò)建立三維有限元模型對(duì)遠(yuǎn)端拉伸載荷和彎矩作用下的有限厚度平板表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了分析，并且總結(jié)了相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式。Bowness等[4]針對(duì)T型接頭中的表面裂紋，結(jié)合三維有限元分析，給出了考慮焊趾處應(yīng)力集中影響的應(yīng)力強(qiáng)度因子放大系數(shù)Mk的計(jì)算公式。Shiratori等[5]基于線性疊加原理將遠(yuǎn)場(chǎng)載荷與結(jié)構(gòu)局部應(yīng)力集中的影響轉(zhuǎn)化為裂紋面上的近場(chǎng)應(yīng)力載荷，分別計(jì)算了在0～3次多項(xiàng)式表達(dá)的沿板厚方向變化應(yīng)力場(chǎng)作用下平板表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子。然而，實(shí)際焊接結(jié)構(gòu)由于受形狀復(fù)雜性和焊接殘余應(yīng)力的影響，焊趾處應(yīng)力載荷往往沿板寬和板厚方向同時(shí)變化（如圖1所示），并且需要高次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合[6]，這對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元計(jì)算造成了很大困難。

與有限元法相比，權(quán)函數(shù)法是求解復(fù)雜應(yīng)力場(chǎng)作用下裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的高效計(jì)算方法。應(yīng)力強(qiáng)度因子的權(quán)函數(shù)法最早由Bueckner[7]和Rice[8]提出，并證明了權(quán)函數(shù)是裂紋體的幾何特性，一旦確定便可用來(lái)計(jì)算任意載荷分布下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，所需計(jì)算僅是一個(gè)與裂紋面應(yīng)力乘積的積分。Glinka等[9-10]基于權(quán)函數(shù)與裂紋開(kāi)口位移之間的關(guān)系，提出了適用于穿透型裂紋和半橢圓表面裂紋的一維權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式，并被美國(guó)石油協(xié)會(huì)規(guī)范API-579[11]所采用。Wang等[12-13]在已有統(tǒng)一權(quán)函數(shù)基礎(chǔ)上，通過(guò)有限元計(jì)算和Shiratori[5]的數(shù)據(jù)，分別發(fā)展了小半長(zhǎng)比（a/c=0.05～1.0）和大半長(zhǎng)比（a/c=0.6～2.0）的平板表面裂紋權(quán)函數(shù)。然而，上述權(quán)函數(shù)僅適用于裂紋面上應(yīng)力載荷單向變化（即沿板厚方向）的情況，對(duì)于實(shí)際工程中遇到的雙向變化應(yīng)力情況則難以直接應(yīng)用。針對(duì)這一問(wèn)題，Wang和Glinka[14]基于無(wú)限體中裂紋面上集中力載荷誘導(dǎo)的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解的特性，提出了一種任意載荷作用下橢圓形埋藏裂紋的二維權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式。Jin和Wang[15]考慮了有限板厚的邊界效應(yīng)，進(jìn)一步提出了平板表面裂紋的二維統(tǒng)一權(quán)函數(shù)，但遺憾的是仍只驗(yàn)證了沿板厚方向的最高三次分布應(yīng)力。此外，現(xiàn)有權(quán)函數(shù)[11-15]的裂紋深度比適用范圍主要集中在a/T=0.2～0.8,而對(duì)于焊接接頭的初始表面裂紋尺寸（例如裂紋初始深度a0=0.5 mm，板厚T=20 mm[16]，a/T=0.025）仍需要改進(jìn)。

圖1 焊趾表面裂紋附近應(yīng)力場(chǎng)Fig.1 2-D stress field near weld toe

圖2 有限厚度平板半橢圓表面裂紋形狀與坐標(biāo)系Fig.2 Geometry and coordinate system for semi-elliptical surface crack in finite thickness plate

本文基于Wang等[14-15]提出的二維權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式，通過(guò)創(chuàng)建裂紋半長(zhǎng)比a/c=0.05～1.0，裂紋深度比a/T=0.01～0.8的平板表面裂紋三維有限元模型，分別計(jì)算了裂紋最深點(diǎn)和表面點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子并將其作為參考解，提出一組裂紋形狀適用范圍更廣的表面裂紋二維權(quán)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)在裂紋面上施加兩組不同的最高階次為六次的復(fù)雜應(yīng)力載荷進(jìn)行計(jì)算，與有限元結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提出的權(quán)函數(shù)的準(zhǔn)確性。

1 二維權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式

基于疊加原理，理論上采用權(quán)函數(shù)法可以計(jì)算任意載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。對(duì)于一維貫穿型裂紋，基于權(quán)函數(shù)法的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式如下：

式中：x為裂紋面坐標(biāo)，a為裂紋長(zhǎng)度，σ（x）為無(wú)裂紋體假想裂紋處應(yīng)力分布，m（x,a）為權(quán)函數(shù)。m（x,a）表示作用于x點(diǎn)處的單位集中力載荷誘導(dǎo)的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。Glinka和Shen[9-10]指出，對(duì)于一維和二維裂紋，權(quán)函數(shù)可由（2）式的統(tǒng)一形式表示：

式中：M1、M2和M3為權(quán)函數(shù)系數(shù)。需指出，對(duì)于半橢圓表面裂紋，（2）式僅適用于應(yīng)力分布沿板厚單向變化的情況。

對(duì)于雙向變化應(yīng)力場(chǎng)中的二維裂紋，應(yīng)力強(qiáng)度因子可由權(quán)函數(shù)m（x,y;P′）和應(yīng)力分布σ（x,y）在裂紋面全域S上的雙重積分計(jì)算得到：

可知，m（x,y;P′）表示（x,y）點(diǎn)處的單位集中力載荷在裂紋前緣P′點(diǎn)處誘導(dǎo)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。Wang等[14-15]對(duì)于圖2所示平板半橢圓表面裂紋提出了二維權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式：

Ghajar等[17]研究表明，當(dāng)n=1時(shí)即如（5）式所示的權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式對(duì)于不同形狀的半橢圓表面裂紋都具有良好的計(jì)算精度：

圖3 半橢圓表面裂紋各參數(shù)示意圖Fig.3 Parameters for semi-elliptical surface crack

圖4 表面裂紋有限元模型Fig.4 Typical FE model for surface crack

式中：s是載荷作用點(diǎn)P到裂紋前緣的最短距離，ρ是載荷作用點(diǎn)P到應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算點(diǎn)P′的距離，θ代表P′在裂紋前緣的位置，r與φ為載荷作用點(diǎn)P的極坐標(biāo)（見(jiàn)圖3）。求解權(quán)函數(shù)中的未知系數(shù)M，一般需要已知某種載荷下的一系列高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子作為參考解，可采用文獻(xiàn)中已知數(shù)據(jù)或進(jìn)行有限元計(jì)算得到。

2 平板表面裂紋有限元分析

由于現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于淺表面裂紋（a/T＜0.2）的應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)據(jù)鮮有報(bào)道，本文自行創(chuàng)建了裂紋半長(zhǎng)比a/c=0.05、0.1、0.2、0.4、0.6、0.8和1.0，裂紋深度比a/T=0.01、0.05、0.1、0.2、0.4、0.6和0.8，共49個(gè)平板表面裂紋三維有限元模型。如圖4所示，采用對(duì)稱邊界條件創(chuàng)建了1/4裂紋模型，載荷加載方式為在裂紋面上直接施加應(yīng)力分布載荷，材料模型為線彈性體，楊式模量E=2.06E5 MPa，泊松比υ=0.3。有限元軟件為ANSYS 16.0，采用的單元為20節(jié)點(diǎn)的SOLID 186高階體單元，其中裂尖單元采用奇異單元處理，應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算方法為位移外插法。

為了驗(yàn)證有限元模型的準(zhǔn)確性，在裂紋面上施加如下四種應(yīng)力場(chǎng)：

式中：σ0為名義應(yīng)力，a表示裂紋深度，取n=0,1,2,3。求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子按（7）式進(jìn)行歸一化處理：

式中：F為邊界效應(yīng)修正因子，Q為第二類橢圓積分的近似解。參考Shiratori[5]的結(jié)果，對(duì)最深點(diǎn)和表面點(diǎn)的邊界修正因子F的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，所有結(jié)果的誤差均在5%以內(nèi)，部分整理結(jié)果如表1所示。驗(yàn)證結(jié)果表明本文創(chuàng)建的表面裂紋有限元模型具有良好的計(jì)算精度，并認(rèn)為淺表面裂紋（a/T＜0.2）的應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元結(jié)果可作為后續(xù)的參考解。

表1 有限元計(jì)算得到的邊界修正因子F與Shiratori參考解[5]對(duì)比，a/c=0.6Tab.1 Comparison of boundary correction factors from present FEM calculation and Shiratori et al[5],a/c=0.6

續(xù)表1（b）

3 權(quán)函數(shù)求解

圖5 單元子分法示意圖Fig.5 Schematic illustration of element subdivision technique

采用上述方法分別對(duì)裂紋半寬比a/c=0.05～1.0，裂紋深度比a/T=0.01～0.8的不同形狀表面裂紋的表面點(diǎn)和最深點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù)參數(shù)M進(jìn)行了求解，結(jié)果匯總見(jiàn)表2。為了方便工程應(yīng)用，采用了最小二乘法對(duì)表2中的M值進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到參數(shù)公式（詳見(jiàn)附錄），擬合優(yōu)度R2均大于0.99。

4 權(quán)函數(shù)的有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證權(quán)函數(shù)的有效性，將由一階參考載荷得到的權(quán)函數(shù)擴(kuò)展應(yīng)用到高階載荷的情況，權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的高階載荷下應(yīng)力強(qiáng)度因子與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

4.1 沿板厚單向變化的應(yīng)力分布

式中a表示裂紋深度。將（10）式所表達(dá)的沿板厚方向變化的線性分布應(yīng)力和非線性分布應(yīng)力載荷施加在裂紋面上，計(jì)算所得的應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)歸一化后得到邊界修正因子F。如圖6所示，將有限元法與權(quán)函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并統(tǒng)計(jì)了兩者之間的誤差（見(jiàn)圖7）。除a/T=0.01，a/c=0.8和1.0的高階應(yīng)力m=4～6情況，其他裂紋形狀的計(jì)算誤差均在10%以內(nèi)，滿足實(shí)際工程需要。需要說(shuō)明的是，相對(duì)誤差超過(guò)10%的邊界修正因子F絕對(duì)值很小且均小于0.1，因此并不影響本權(quán)函數(shù)的適用性。

圖7 權(quán)函數(shù)結(jié)果與有限元結(jié)果之間的誤差分析Fig.7 Error analysis of boundary correction factors from weight function method and FEM

4.2 沿板厚和板寬雙向變化的應(yīng)力分布

在船體結(jié)構(gòu)中縱骨端部（如圖1所示的焊接接頭）是疲勞強(qiáng)度校核的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，焊趾附近的應(yīng)力分布沿板厚和板寬方向變化。為了模擬上述情形，采用（11）式中所表達(dá)的雙向變化非線性應(yīng)力載荷施加在裂紋面上，計(jì)算所得的應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)歸一化得到邊界修正因子F。如圖8所示，將有限元法與權(quán)函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并統(tǒng)計(jì)了兩者之間的誤差（見(jiàn)圖9）。相對(duì)誤差超過(guò)10%的情況出現(xiàn)在a/T=0.01，a/c=1.0的高階應(yīng)力m=4～5時(shí)，其他裂紋形狀的計(jì)算誤差均在10%以內(nèi)，可滿足實(shí)際工程需要。

式中，a表示裂紋深度，c表示裂紋半寬。

圖8 權(quán)函數(shù)結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of boundary correction factors from weight function and FEM

圖9 權(quán)函數(shù)結(jié)果與有限元結(jié)果之間的誤差分析Fig.9 Error analysis of boundary correction factors from weight function method and FEM

5 結(jié) 論

本文在Wang等提出的二維權(quán)函數(shù)統(tǒng)一形式的基礎(chǔ)上，采用三維有限元計(jì)算得到裂紋半長(zhǎng)比a/c=0.05、0.1、0.2、0.4、0.6、0.8和1.0，裂紋深度比a/T=0.01、0.05、0.1、0.2、0.4、0.6和0.8的平板表面裂紋最深點(diǎn)和表面點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子作為參考解，得到了裂紋形狀適用范圍更廣的權(quán)函數(shù)解，并得到以下結(jié)論：

（1）由低階參考載荷得到的權(quán)函數(shù)可擴(kuò)展應(yīng)用到高階應(yīng)力分布，本文所提出的權(quán)函數(shù)可高效準(zhǔn)確地求解最高六階的沿板厚方向和板寬方向變化的復(fù)雜應(yīng)力場(chǎng)作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

（2）對(duì)于表面點(diǎn)和最深點(diǎn)，半長(zhǎng)比a/c=0.05～1.0，a/T=0.05～0.8之間，權(quán)函數(shù)結(jié)果與有限元結(jié)果相比，誤差均在10%以內(nèi)，滿足實(shí)際工程應(yīng)用需要。

（3）本文所提出的權(quán)函數(shù)可應(yīng)用于考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中、焊接殘余應(yīng)力和焊后表面處理（如噴丸、超聲沖擊）等影響的實(shí)際焊接結(jié)構(gòu)中表面裂紋擴(kuò)展的數(shù)值預(yù)報(bào)。

裂紋表面點(diǎn)（θ=0）：