王 娟， 金智新,2,3， 鄧存寶， 方 博

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105; 2.山西焦煤集團(tuán)有限責(zé)任公司，山西 太原 030024; 3.太原理工大學(xué) 安全與應(yīng)急管理工程學(xué)院，山西 太原 030024; 4.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 安全科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105)

0 引言

多屬性決策是關(guān)于多個(gè)相關(guān)屬性有限方案的選擇問(wèn)題，由于實(shí)際決策問(wèn)題的復(fù)雜性和決策者認(rèn)知的局限性，對(duì)評(píng)價(jià)信息和屬性權(quán)重難以用精確值表述。Zadeh[1]提出利用模糊集處理不確定性和模糊性評(píng)價(jià)信息，但模糊集是通過(guò)單隸屬度刻畫(huà)模糊信息，難以滿足實(shí)際決策需要。此后，國(guó)外學(xué)者對(duì)模糊集進(jìn)行一系列拓展，先后提出直覺(jué)模糊集[2]、type-2型和n-型模糊集[3]等。近年來(lái)，Torra[4]提出利用具有多重隸屬度的猶豫模糊集，可較好地兼顧決策者意見(jiàn)不一致和模糊源過(guò)多的情形，更適合表達(dá)決策偏好[5]。

目前，針對(duì)解決猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題的研究，主要有兩類(lèi)決策分析方法。一類(lèi)方法是考慮決策者行為是完全理性的，這類(lèi)方法已取得較豐碩的研究成果[6～15]，大致可分為三種情況：一是基于距離測(cè)度的決策方法，以TOPSIS和VIKOR等方法為典型代表。Xu等[6]研究以若干精確值和區(qū)間值表示隸屬度的猶豫模糊TOPSIS決策方法，利用歐幾里德距離測(cè)度各備選方案到正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)貼近度，并依據(jù)相對(duì)貼近度的大小實(shí)現(xiàn)方案排序。然而，Xu等[6]選用的距離測(cè)度公式并未考慮猶豫模糊元中元素的不同隸屬程度。Liao等[7]和Zhang等[8]進(jìn)一步拓展VIKOR決策方法在猶豫模糊環(huán)境的應(yīng)用。Zhang等[9]提出基于標(biāo)記距離的QUALIFLEX猶豫模糊決策方法。二是基于集成算子理論的決策方法。Xu等[10]提出一系列猶豫模糊集成算子，并探討算子間的相互關(guān)系。Yu[11]和Wu等[12]分別提出猶豫模糊Choquet平均算子和廣義猶豫模糊Bonferroni算子，并應(yīng)用于多準(zhǔn)則決策問(wèn)題。三是基于方案兩兩比較的決策方法。Chen等[13]提出基于級(jí)別優(yōu)先關(guān)系的猶豫模糊ELECTRE決策方法。王堅(jiān)強(qiáng)等[14]提出猶豫模糊語(yǔ)言Hausdorff距離公式，并建立基于優(yōu)序關(guān)系的猶豫模糊語(yǔ)言多屬性決策模型。于倩等[15]研究了基于ELECTRE方法的區(qū)間猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題。

另一類(lèi)方法是考慮決策者行為是有限理性，這類(lèi)方法主要是基于前景理論展開(kāi)[16,17]。Zhang等[16]提出一種基于前景理論的交互式TOMID猶豫模糊多屬性決策方法。譚春橋等[17]將證據(jù)理論和前景理論相結(jié)合，提出一種基于證據(jù)-前景理論的猶豫-直覺(jué)模糊語(yǔ)言多準(zhǔn)則決策方法。

上述研究成果極大豐富了猶豫模糊多屬性決策的理論與方法，從已有研究成果看，大部分研究?jī)H適用于以精確值或區(qū)間值表示隸屬度的猶豫模糊決策方法。然而，在實(shí)際決策中，考慮到?jīng)Q策環(huán)境的復(fù)雜性、決策者認(rèn)知的局限性和時(shí)間等限制因素，決策者往往難以給出以精確值表示的隸屬度；而以區(qū)間值表示隸屬度，由于區(qū)間值缺少中心，經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜運(yùn)算后很可能進(jìn)一步擴(kuò)大或縮小區(qū)間取值范圍。為克服這一缺陷，Wei等[18]提出三角猶豫模糊集，采用若干間的三角模糊數(shù)表示隸屬度，可以有效避免原始信息缺失，處理某些現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題時(shí)更加便捷有效[18～21]。Wei等[18]提出一系列三角猶豫模糊平均算子，包括三角猶豫模糊加權(quán)平均(HTFWA)和三角猶豫模糊加權(quán)幾何(HTFWG)算子等。Zhao等[19]將Einstein運(yùn)算引入三角猶豫模糊決策分析中，建立基于三角猶豫模糊加權(quán)平均(HTFEWA)和三角猶豫模糊加權(quán)幾何(HTFEWG)算子的決策模型。Zhong等[20]提出三角猶豫模糊Choquet有序平均(HTFCOA)算子，處理屬性間關(guān)聯(lián)影響的決策問(wèn)題。梁邦龍等[21]建立基于三角猶豫模糊加權(quán)Bonferroni(HTFWBM)算子的決策模型。

需要說(shuō)明的是，上述關(guān)于三角猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題均建立在決策者完全理性的基礎(chǔ)上，在實(shí)際決策中，決策者對(duì)待收益和損失持有不同的心理態(tài)度，這實(shí)際上反映決策者心理行為特征對(duì)決策的影響。因此，考慮如何將決策者心理行為特征引入三角猶豫模糊決策分析中，并給出相應(yīng)方法是十分必要的?；诖?，本文提出一種基于前景理論[22]和模糊結(jié)構(gòu)元[23～25]的三角猶豫模糊決策分析方法。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 三角猶豫模糊集

1.2 模糊結(jié)構(gòu)元

定義4[23]設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集，其隸屬函數(shù)記為E(x)，x∈R。若E(x)滿足下述性質(zhì)：

(1)E(0)=1；

(2)在區(qū)間[-1,0)上是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(0,1]上是單降左連續(xù)函數(shù)；

(3)當(dāng)x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時(shí)，E(x)=0，則稱模糊集E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元。

若模糊結(jié)構(gòu)元E滿足以下性質(zhì)：

(1)對(duì)于?x∈(-1,1)，E(x)>0。

(2)在區(qū)間[-1,0)上是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；在區(qū)間(0,1]上是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)降函數(shù)，則稱模糊集E為正則模糊結(jié)構(gòu)元。若E(x)=E(-x)，則稱模糊集E為對(duì)稱模糊結(jié)構(gòu)元。

及對(duì)于模糊結(jié)構(gòu)元E，其隸屬函數(shù)E(x)為：

結(jié)構(gòu)元加權(quán)序不僅考慮模糊數(shù)承集元素的大小關(guān)系，還綜合考慮元素的隸屬程度，即隸屬程度較大的元素在比較中起更重要的作用[25]。

1.3 前景理論

前景理論[22]以決策者有限理性為前提，能夠較好地刻畫(huà)決策者的心理行為特征。前景價(jià)值函數(shù)是決策者根據(jù)實(shí)際收益或損失產(chǎn)生的主觀感受，定義如下：

其中，Δx為偏離某一指定參考點(diǎn)的程度，若Δx≥0，表示決策者的心理感受為收益；若Δx<0，表示決策者的心理感受為損失。α，β為決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，且0<α，β<1 ，α和β越大，表明決策者越傾向風(fēng)險(xiǎn)尋求；θ為決策者對(duì)待損失的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，θ>1，表示相對(duì)收益而言，決策者對(duì)待損失更敏感。

前景理論的核心思想是決策參照點(diǎn)的選定，在實(shí)際決策中，可考慮將正負(fù)理想點(diǎn)作為決策參照點(diǎn)。決策者將屬性值超過(guò)負(fù)理想點(diǎn)的部分視為收益；而將屬性值低于正理想點(diǎn)的部分視為損失，且對(duì)待收益和損失分別持不同的風(fēng)險(xiǎn)尋求和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，這實(shí)際上體現(xiàn)決策者心理行為對(duì)決策結(jié)果的影響。

2 三角猶豫模糊元的結(jié)構(gòu)元形式和距離公式

2.1 三角猶豫模糊元的結(jié)構(gòu)元形式

=H{f1(E),f2(E),…,fl(E)}

=H{fλ(E)|λ=1,2,…,l}

(1)

2.2 三角猶豫模糊元的海明距離

(2)

這里，式(2)是由定義5的結(jié)構(gòu)元加權(quán)序誘導(dǎo)出。容易證明，式(2)滿足下述性質(zhì)1。

3 前景理論下的三角猶豫模糊決策方法

考慮含有三角猶豫模糊信息的多屬性決策問(wèn)題，具體描述如下。

Step1構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化三角猶豫模糊決策矩陣M=(hij)m×n。

(3)

(4)

其中，j=1,2,…,n，lj為第j項(xiàng)屬性的長(zhǎng)度。

Step3依據(jù)式(1)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化屬性值的結(jié)構(gòu)元形式，計(jì)算公式為：

(5)

其中，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，lj為第j項(xiàng)屬性的長(zhǎng)度。

Step4構(gòu)建優(yōu)化模型，確定屬性權(quán)重。

在屬性權(quán)重信息完全未知的情況下，文中利用離差法[29]確定屬性權(quán)重，即通過(guò)求解屬性間距離離差最大化的優(yōu)化模型計(jì)算權(quán)重。該方法的核心是利用距離公式計(jì)算某一屬性下所有備選方案的離差值，該值越大，表示該屬性對(duì)備選方案的排序起較大作用，則應(yīng)賦予較大權(quán)重；反之，若某一屬性關(guān)于備選方案的離差值很小，表示該屬性對(duì)決策方案的排序基本不起作用，則可令其權(quán)重為0。

首先，構(gòu)造距離離差最大化的優(yōu)化模型為：

(6)

其中，dH(hij-hkj)為hij和hkj的海明距離，由式(2)確定。

進(jìn)一步，為求解上述優(yōu)化模型，需構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(7)

其中，L(w,ξ)是拉格朗日函數(shù)，ξ為實(shí)數(shù)，表示拉格朗日乘子變量。對(duì)式(7)求偏導(dǎo)：

求解上述方程組得：

(8)

方便起見(jiàn)，對(duì)式(8)作歸一化處理，得最優(yōu)權(quán)重為：

(9)

依據(jù)式(9)計(jì)算屬性權(quán)重向量w=(w1,w2,…,wn)T。

Step5依據(jù)式(2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化屬性值到正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)的距離，計(jì)算公式為：

(10)

(11)

Step6分別構(gòu)造收益矩陣和損失矩陣，計(jì)算公式為：

(12)

(13)

其中，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，α，β和θ分別為給定參數(shù)[22]。

需要指出的是，在實(shí)際決策中，依據(jù)前景理論，若以負(fù)理想點(diǎn)作為決策參照點(diǎn)，則構(gòu)造收益矩陣，如式(12)所示；若以正理想點(diǎn)作為決策參照點(diǎn)，則構(gòu)造損失矩陣，如式(13)所示。

Step7應(yīng)用TOPSIS方法，計(jì)算各備選方案的相對(duì)貼近度，計(jì)算公式為：

(14)

其中，若Ci(i=1,2,…,m)越大，說(shuō)明方案Yi越遠(yuǎn)離負(fù)理想點(diǎn)，接近正理想點(diǎn)，則方案Yi越優(yōu)。因此，可依據(jù)Ci值的大小對(duì)備選方案進(jìn)行排序和優(yōu)選。

4 算例分析

4.1 基于前景理論的三角猶豫模糊決策方法

為驗(yàn)證本文提出方法的正確性和有效性，引用文獻(xiàn)[19]的算例進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

Step1構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化三角猶豫模糊決策矩陣M=(hij)5×4。設(shè)決策者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，則選擇重復(fù)添加三角猶豫模糊元中最小的模糊數(shù)至該屬性長(zhǎng)度相等[27]。則構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化三角猶豫模糊決策矩陣，如表2所示。

Step2依據(jù)式(3)和(4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣的正負(fù)理想點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如下:

Y+=(H{(0.7,0.8,0.9)},

H{(0.7,0.8,0.9),(0.8,0.9,1.0)}

H{(0.4,0.5,0.6),(0.6,0.7,0.8)}

H{(0.5,0.6,0.7),(0.5,0.6,0.7),

(0.6,0.7,0.8)})

Y-=(H{0.3,0.4,0.5},H{(0.2,0.3,0.4),(0.2,0.4,0.5)},

H{(0.1,0.2,0.3),(0.1,0.2,0.3)},

H{(0.2,0.3,0.4),(0.2,0.3,0.4),(0.2,0.3,0.4)})

Step3依據(jù)式(5)計(jì)算表2中標(biāo)準(zhǔn)化屬性值hij(i=1,2,3,4,5,j=1,2,3,4)結(jié)構(gòu)元形式，例h11=H{(0.4+0.1E)}，h12=H{(0.7+0.1E),(0.8+0.1E)}。其他標(biāo)準(zhǔn)化屬性值結(jié)構(gòu)元形式的計(jì)算方法依此類(lèi)推。

Step4由于屬性權(quán)重信息完全未知，依據(jù)式(9)計(jì)算權(quán)重向量，則w=(0.2255,0.3154,0.2661,0.1930)T。

Step5依據(jù)式(10)和(11)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化屬性值到正負(fù)理想點(diǎn)的距離，計(jì)算結(jié)果如下：

表1 三角猶豫模糊決策矩陣

表2 標(biāo)準(zhǔn)化三角猶豫模糊決策矩陣

Step6依據(jù)式(12)和(13)分別構(gòu)造收益矩陣和損失矩陣，計(jì)算結(jié)果如下：

其中，α=β=0.88，θ=2.25[22]。

Step7依據(jù)式(14)計(jì)算各備選方案的相對(duì)貼近度為C1=0.1951，C2=0.2932，C3=0.6008，C4=0.3285，C5=0.2553。因此，確定供應(yīng)商的排序?yàn)閅3?Y4?Y2?Y5?Y1，最優(yōu)供應(yīng)商為Y3。

4.2 對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文方法的正確性，與文獻(xiàn)[16,18,19]的決策方法進(jìn)行對(duì)比分析，排序結(jié)果見(jiàn)表3。比較分析以上不同方法可得結(jié)論如下：

(1)根據(jù)文獻(xiàn)[6]區(qū)間猶豫模糊海明距離公式，給出三角猶豫模糊海明距離為：

(15)

利用TOPSIS方法得到備選方案排序與本文方法略有不同，主要原因?yàn)椋阂皇俏墨I(xiàn)[6]的方法僅以備選方案到正負(fù)理想點(diǎn)的距離作為決策尺度，并未考慮決策者對(duì)待收益和損失持有相同的風(fēng)險(xiǎn)偏好。而本文方法充分考慮決策者心理行為特征對(duì)決策的影響，放大決策者面對(duì)收益和損失的風(fēng)險(xiǎn)偏好，本文方法更符合決策實(shí)際。二是文獻(xiàn)[6]利用的距離公式，并未考慮猶豫模糊元中元素的不同隸屬程度，而本文方法通過(guò)結(jié)構(gòu)元序誘導(dǎo)出的海明距離，不僅實(shí)現(xiàn)三角模糊數(shù)元中元素承集的大小比較，還考慮元素的不同隸屬程度，簡(jiǎn)潔地實(shí)現(xiàn)三角猶豫模糊元的排序和選擇問(wèn)題，避免決策信息缺失，計(jì)算過(guò)程更科學(xué)客觀。

(2)使用基于集成算子方法進(jìn)行決策時(shí)，與本文方法相比，得到方案排序順序略有不同。主要原因在于文獻(xiàn)[18,19]的集成算子方法均是建立在決策者完全理性基礎(chǔ)上，并未考慮決策者心理行為對(duì)決策結(jié)果的影響。而本文方法充分考慮決策者心理行為特征對(duì)決策的影響，顯然本文方法更符合決策實(shí)際。此外，文獻(xiàn)[18,19]得到備選方案的綜合評(píng)價(jià)值均為三角模糊數(shù)，需選擇相應(yīng)方法[28]實(shí)現(xiàn)模糊數(shù)的排序，決策結(jié)果具有一定主觀性和不確定性。

表3 基于不同方法的方案排序結(jié)果

5 結(jié)論

本文提出一種基于前景理論與模糊結(jié)構(gòu)元的三角猶豫模糊多屬性決策分析方法。首先，給出三角猶豫模糊元的結(jié)構(gòu)元形式，并通過(guò)結(jié)構(gòu)元加權(quán)序誘導(dǎo)出三角猶豫模糊元海明距離公式，進(jìn)而將三角猶豫模糊元的復(fù)雜變換關(guān)系轉(zhuǎn)化為上同序單調(diào)有界函數(shù)的運(yùn)算，簡(jiǎn)化其運(yùn)算和變換，避免有效信息缺失，為猶豫模糊元的比較和排序提供一條有效途徑。其次，將前景理論引入三角猶豫模糊決策分析，克服傳統(tǒng)多屬性決策方法完全理性的缺陷，考慮決策者面對(duì)收益和損失時(shí)具有不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好，符合人類(lèi)本身非理性的決策模式。

運(yùn)用本文方法，不僅能夠較好地處理與融合決策過(guò)程的三角猶豫模糊信息，同時(shí)決策結(jié)果有效反映決策者的心理行為特征，為進(jìn)一步利用模糊結(jié)構(gòu)元理論處理猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題并應(yīng)用至其他模糊決策領(lǐng)域開(kāi)拓了新思路。