張小漁

(江蘇省蘇州國(guó)際外語學(xué)校 215000)

代數(shù)題，在求解時(shí)有的比較繁瑣、有的比較困難.如果我們換一種思路，通過挖掘其隱含的幾何背景，構(gòu)造出符合題意的幾何圖形，解答往往極其簡(jiǎn)單、直觀.請(qǐng)看以下幾例.

圖1

圖2

分析本題從解不等式的角度，必須經(jīng)過兩次運(yùn)算推理，繁瑣是免不了的.若能把根式反映成直角三角形的斜邊的長(zhǎng)，本題的三個(gè)二次根式就轉(zhuǎn)化為三角形三邊長(zhǎng)，也就不難求證了.

圖3

例3已知方程x2-px+rs=0(p、r、s都是正實(shí)數(shù))，且p2-4rs≥0，試用幾何方法求方程的根.

分析要求方程的兩根，由于兩根之積為rs反映成幾何圖形就是圓中的切割線定理或相交弦定理，那么如何構(gòu)造兩根之和呢？如果借助兩線段和及中點(diǎn)坐標(biāo)公式問題就迎刃而解了.

評(píng)注本題從一個(gè)全新的角度讓我們認(rèn)識(shí)一元二次方程的根，只要制作精度較高的直角坐標(biāo)系，對(duì)于x2-px+rs=0的方程，當(dāng)其中的p2-4rs≥0,且p>0,r>0,s>0，根據(jù)p、r、s的讀數(shù)，也就相應(yīng)得到方程兩個(gè)根的近似值的讀數(shù).

本題的求解讓我們學(xué)到如何處理兩數(shù)和與積的構(gòu)圖方法.

著名的勾股定理的證明方法多達(dá)300余種，大多數(shù)是利用構(gòu)造圖形來證明的.下面我們一起欣賞一下美國(guó)第十二屆總統(tǒng)加菲爾德的證明.

圖4

例4如圖4,構(gòu)造兩個(gè)全等的矩形顯然有：

綜合得a2+b2=c2.

人們戲稱，美國(guó)總統(tǒng)踢倒一塊磚頭便證明了勾股定理.