楊 星,王 唯

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點實驗室， 南京 210094)

現(xiàn)階段有很多方法可以實現(xiàn)彈道控制，例如利用增阻減速型阻力執(zhí)行機構(gòu)結(jié)合自適應(yīng)落點控制算法實現(xiàn)對彈丸射程的一維調(diào)控[1]、使用動力增程機構(gòu)改變彈丸速度及運動方向[2]、以及通過舵翼附加氣動力矩改變姿態(tài)角進而引起彈丸氣動攻角和氣動力的變化[3-4]等。在理論上，采用氣動舵的控制精度較高，且可以實現(xiàn)連續(xù)調(diào)控；同時隨著技術(shù)水平和工藝的提高，舵機體積日益減小，因此采用舵機的有控彈丸的有效載荷相對較大。盡管上述方法存在諸多優(yōu)點，仍舊有一些缺陷不可避免，例如增加舵翼作為獨立控制面時，受限于彈丸細長的外形，會在提供必要控制力(矩)的同時增加氣動阻力，使原有彈丸的有效射程大幅減小。因此，如何能在不改變氣動外形的前提下控制彈丸姿態(tài)運動進而實現(xiàn)彈道控制是現(xiàn)階段的研究熱點。

質(zhì)量調(diào)諧技術(shù)[5]是一種利用附加的質(zhì)量子系統(tǒng)平衡主系統(tǒng)受到的外力，用來減小主系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)的方法?，F(xiàn)階段國內(nèi)外都致力于將智能材料引入傳統(tǒng)的質(zhì)量調(diào)諧技術(shù)中[6]，例如電渦流質(zhì)量調(diào)諧阻尼器[7]、混合動力調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(HATMD)[8]、杠桿式剛度可控阻尼器[9]等的出現(xiàn)，以及對傳統(tǒng)質(zhì)量調(diào)諧結(jié)構(gòu)的改造[10-11]，都預(yù)示著子系統(tǒng)中的阻尼器和彈性元件將不再局限于常規(guī)的彈簧和阻尼器。隨著相關(guān)技術(shù)的不斷發(fā)展，質(zhì)量子系統(tǒng)性能的按需即時調(diào)節(jié)已經(jīng)成為可能。在航海領(lǐng)域，如何應(yīng)用主動控制技術(shù)實現(xiàn)振動控制是當(dāng)下的研究重點[12-14]。盡管質(zhì)量調(diào)諧技術(shù)調(diào)控精準、效果顯著，但在航空、航天等領(lǐng)域應(yīng)用較少。

彈丸的姿態(tài)運動本質(zhì)上可以簡化為陀螺的角運動，其主軸在空間中的方位可根據(jù)文獻[15]中提到的復(fù)球面理論映射到單位復(fù)球面上的點進行描述。如果彈丸內(nèi)部存在一個類似陀螺的質(zhì)量子系統(tǒng)與彈丸質(zhì)心固聯(lián)重合，就相當(dāng)于在復(fù)平面上增加一個具有等效質(zhì)量的等效“質(zhì)點”。將這個質(zhì)量子系統(tǒng)與彈丸通過恰當(dāng)?shù)募s束進行聯(lián)系，復(fù)平面內(nèi)的雙“質(zhì)點”系統(tǒng)在等效作用力的運動與通常意義上的質(zhì)量調(diào)諧系統(tǒng)具有相似的特性。

本研究參考質(zhì)量調(diào)諧技術(shù)的基本原理，提出了一種基于雙陀螺模型的姿態(tài)控制方法?；谶x取的坐標系統(tǒng)，推導(dǎo)添加質(zhì)量子系統(tǒng)的彈丸姿態(tài)運動模型。然后應(yīng)用H∞控制方法推導(dǎo)姿態(tài)控制方程，以某型自旋穩(wěn)定彈為例進行數(shù)值仿真，初步驗證了本文提出方法的可行性與有效性。

1 原理分析與動力學(xué)模型

1.1 坐標系統(tǒng)的選取

相關(guān)平動與轉(zhuǎn)動坐標系統(tǒng)的定義如下：

慣性坐標系Sg：本文使用的慣性坐標系與發(fā)射坐標系[16]的定義相同，其中坐標原點位于彈丸質(zhì)心，xg軸在水平面內(nèi)與初始射擊方向相同；yg軸豎直向上；zg軸在水平面內(nèi)，且由xg和yg的叉乘確定。

彈體坐標系St：彈體坐標系與彈丸固聯(lián)，符合飛行力學(xué)的慣常定義[17]，坐標原點位于質(zhì)心，各個坐標軸與慣性主軸重合，xt軸平行于彈體縱軸指向前；yt軸在彈體對稱平面內(nèi)，垂直于xt軸向上；zt垂直于彈體的對稱平面，指向右。

為了區(qū)分彈丸與質(zhì)量子系統(tǒng)，本文用x1t表示彈丸的彈體坐標系的橫軸，x2t表示質(zhì)量子系統(tǒng)的本體坐標系的橫軸。

1.2 動力學(xué)模型

圖1 彈丸姿態(tài)運動坐標及廣義坐標定義

圖1中，α表示彈丸主軸與質(zhì)量子系統(tǒng)主軸間的夾角；Δ表示速度與主軸之間的夾角，也就是氣動總攻角；xv軸的方向與彈丸質(zhì)心速度方向一致；FD表示氣動阻力，方向與質(zhì)心速度方向相反；FL表示氣動升力，方向與質(zhì)心速度方向垂直；Ma表示氣動翻轉(zhuǎn)力矩。盡管通過速度坐標系定義主軸方向更為直接，但是拉格朗日方程在慣性系中具有最簡單的形式，因此這里的歐拉角都是相對慣性坐標系定義的。

根據(jù)坐標轉(zhuǎn)換原理[17]，彈體坐標系S1t相對慣性坐標系Sg的角速度在S1t中的投影為：

(1)

其中，符號[·]a表示向量在a坐標系中的投影。同理，可推導(dǎo)出與質(zhì)量子系統(tǒng)固聯(lián)的本體坐標系S2t相對慣性坐標系Sg的角速度在S2t中的投影。

按照歐拉角定義，給出x1t在慣性坐標系中的投影：

(2)

將[x1t]g簡單地表示為x1。于是氣動總攻角可以通過向量內(nèi)積表示為：

(3)

其中，V為彈丸質(zhì)心的速度。

考慮氣動力矩的作用，升力FL和阻力FD分別通過升力系數(shù)Cl、零升阻力系數(shù)C0和阻力系數(shù)Cd確定；類似的，通過氣動翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)CMa可以確定氣動翻轉(zhuǎn)力矩Ma：

(4)

(5)

(6)

其中，Cl和Cd的量綱均為kg/m/Rad，C0的量綱為kg/m，Ma的量綱為kg/Rad。

選取φ1、θ1、ψ1、φ2、θ2、ψ2為廣義坐標，由于本研究只考察彈丸的姿態(tài)運動，所以沒有包含平動自由度。彈丸主軸與質(zhì)量子系統(tǒng)主軸間的夾角α與廣義坐標的關(guān)系可表示為：

cosα=cosθ1cosθ2+sinθ1cosφ1sinθ2cosφ2+

sinθ1sinφ1sinθ2sinφ2

(7)

假定質(zhì)量子系統(tǒng)與彈丸的慣性主軸分別與各自坐標系固聯(lián)且重合，且分別關(guān)于x1t軸和x2t軸對稱；同時假定二者的慣性矩在y1t、z1t和y2t、z2t方向上的投影相同，定義彈丸與子系統(tǒng)的各主軸的慣性矩在各自坐標軸上的投影依次為I1、I2、I2和J1、J2、J2。系統(tǒng)總動能可表示為：

(8)

假定氣流速度不變，選定θ1=0為零勢能參考平面，則系統(tǒng)的勢能可表示為：

(9)

其中，ks為兩系統(tǒng)間的彈性系數(shù)，量綱Nm/Rad；α0為一常數(shù)，量綱為Rad，表示彈性約束的平衡位置；

由此，由L=T-U求得拉格朗日函數(shù)為：

(10)

對方程式(3)進行變分運算，得到：

(11)

在姿態(tài)運動中，由于升力FL和阻力FD不做功，對姿態(tài)角沒有影響，由此可以得到總虛功的表達式為：

δW=|Ma|δΔ

(12)

則與各個廣義坐標對應(yīng)的廣義力依次為：

(13)

(14)

Qψ1=Qφ2=Qθ2=Qψ2=0

(15)

其中，

(16)

容易看出，在式(13)～式(15)中，等式右端均包含了因式Δ/sinΔ。由于sinΔ出現(xiàn)在分母上，當(dāng)Δ→0時，在數(shù)值計算中會導(dǎo)致Δ的相關(guān)項奇異。但是按照極限運動的基本規(guī)律，當(dāng)Δ→0時，因式Δ/sinΔ→1。所以在下文的數(shù)值仿真計算過程中，將Δ作為自變量，為因式Δ/sinΔ編寫了一個自定義函數(shù)。該函數(shù)基于級數(shù)近似的方法，當(dāng)Δ趨近于零時，通過計算有限項泰勒級數(shù)給出因式的近似值。

根據(jù)拉格朗日方程原理，得到添加質(zhì)量子系統(tǒng)后系統(tǒng)在空間中運動的微分方程：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

聯(lián)立式(17)～式(22)，即可確定包含質(zhì)量子系統(tǒng)的彈丸的運動。

觀察式(10)，發(fā)現(xiàn)拉格朗日函數(shù)中不顯含ψ1和ψ2，對式(19)和式(22)兩邊積分，令：

(23)

(24)

其中，C1和C2均為常數(shù)。

為了簡化論證，在彈丸與質(zhì)量子系統(tǒng)之間添加約束φ2=φ1+π。將其代入式(7)中，得到：

cosα=cos(θ1+θ2)

(25)

于是得到?α/?φ1=?α/?φ2=0和α=θ1+θ2。于是，方程式(17)和式(20可以分別整合并改寫為：

(26)

借助式(23)、式(24)和式(25)，簡化式(17)～式(22)，得到簡化的姿態(tài)運動模型：

(27)

(28)

(29)

其中，

μ=I2sin2θ1+J2sin2θ2

(30)

2 控制器設(shè)計

(31)

依照H∞控制設(shè)計，將式(31)整理成下面的狀態(tài)依賴的類線性微分方程：

(32)

其中：w(t)為外界擾動；z(t)為輸出向量；矩陣A、B1、C1是與x(t)相適應(yīng)的函數(shù)矩陣。在一般的H∞控制問題中，對于給定的標量γ，令γ>0，當(dāng)且僅當(dāng)x(0)=0時，有如下關(guān)系：

(33)

如果系統(tǒng)滿足上述條件，則可以稱系統(tǒng)的L2增益小于等于γ，根據(jù)現(xiàn)有理論可以給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的哈密爾頓——雅克比不等式(Hamilton-Jacobi-Isaacs，HJIs)，根據(jù)舒爾補引理(Schur complement)，可將HJI轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的有實界不等式，用于控制器的求解。具體的推導(dǎo)過程參考文獻[18]，下面設(shè)計適用于包含質(zhì)量子系統(tǒng)的彈丸姿態(tài)控制器。

引入H∞控制器，則狀態(tài)空間中的系統(tǒng)方程可表示為：

(34)

其中：y(t)為輸出向量；z(t)為表現(xiàn)控制器作用的性能向量；u是控制輸入，同時也是控制器的輸出信號。矩陣Cs和Ds用來平衡y(t)和z(t)，且所有向量和矩陣都具有與輸入輸出信號數(shù)量相適應(yīng)的維數(shù)。

設(shè)計與系統(tǒng)相適應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器K。令u=Ky，當(dāng)存在標量γ，使如下有實界不等式

(35)

X>0

(36)

其中，M(x)=AX+B2W+(AX+B2W)T。當(dāng)線性矩陣不等式(35)和不等式(36)有可行解W*時，u=W*(X)-1x就是系統(tǒng)的一個狀態(tài)反饋H∞控制器。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)運用Matlab進行數(shù)值仿真，驗證提出方法的有效性。

C1=C2=I6

D11=D12=D21=06×1

其中，I3,3表示3×3的單位陣的第3列；aij(i=1,…,6，j=1,…,6)分別為：

借助PBH秩判據(jù)，驗證本研究提出系統(tǒng)的可控性和可觀性。代入矩陣，可得：

(37)

(38)

因此，文中提出的包含質(zhì)量子系統(tǒng)的彈丸姿態(tài)運動模型滿足完全可控性和完全可觀性。

給定模型中相關(guān)參數(shù)(見表1)，按照式(35)中的約束條件，求解狀態(tài)反饋控制器。

表1 相關(guān)參數(shù)

應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱求解控制器，得到控制矩陣K。仿真結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，添加控制器后，φ1的結(jié)果呈周期性振蕩，θ1的振幅減小。由此可以看出，添加子系統(tǒng)后，受控彈丸的主軸偏離慣性坐標橫軸的角度減小。

4 結(jié)論

基于質(zhì)量調(diào)諧技術(shù)的作用原理，提出通過在彈丸內(nèi)部增加一個類陀螺結(jié)構(gòu)的質(zhì)量子系統(tǒng)的方法對自旋彈丸進行姿態(tài)控制。仿真結(jié)果表明，添加質(zhì)量子系統(tǒng)后，彈軸偏離平衡位置的幅度明顯減小，驗證了方法的有效性。今后將繼續(xù)探究質(zhì)量及系統(tǒng)對彈丸姿態(tài)運動的影響機理，以及將此模型用于調(diào)控彈丸姿態(tài)的非線性控制設(shè)計。

圖2 添加質(zhì)量子系統(tǒng)的彈丸的姿態(tài)運動