張 悅 安子軍 楊榮剛 姜 威 劉子強(qiáng)

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

擺線鋼球行星傳動(dòng)等速輸出機(jī)構(gòu)是一種將行星盤的行星運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)。十字槽等速輸出機(jī)構(gòu)利用鋼球作為中介，通過(guò)鋼球在十字槽中做相對(duì)平動(dòng)，消除偏心距的影響，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速的等速輸出。十字槽等速輸出機(jī)構(gòu)的鋼球嚙合副在軸向預(yù)緊力作用下可以實(shí)現(xiàn)無(wú)隙等速輸出，并能滿足不同偏心距的要求，因此成為一種應(yīng)用廣泛的精密等速輸出機(jī)構(gòu)[1-2]。

文獻(xiàn)[3-6]對(duì)擺線鋼球行星傳動(dòng)進(jìn)行了較為深入的理論研究，并設(shè)計(jì)出一種新型等速輸出機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[7]對(duì)精密鋼球傳動(dòng)環(huán)槽等速機(jī)構(gòu)進(jìn)行了力學(xué)性能分析。環(huán)槽等速機(jī)構(gòu)的偏心距必須與變速傳動(dòng)部分的偏心距保持嚴(yán)格的一致，這對(duì)機(jī)構(gòu)的加工精度與安裝精度要求較高，故其應(yīng)用性受到限制[8]。十字槽等速輸出機(jī)構(gòu)能隨機(jī)適應(yīng)偏心距，具有良好的實(shí)用性[9]。文獻(xiàn)[10]根據(jù)嚙合點(diǎn)法向變形量和法向力的關(guān)系，推導(dǎo)出法向力的計(jì)算公式，但忽略了擺線槽曲率的影響，所得力學(xué)模型不精確。傳統(tǒng)十字槽等速機(jī)構(gòu)的槽截面為錐形或球形，當(dāng)十字槽截面形狀為錐形時(shí)，嚙合剛度較小，易產(chǎn)生較大的彈性回差；當(dāng)十字槽截面形狀為球形時(shí)，接觸角不容易控制，且隨著載荷的變化而發(fā)生變化，傳動(dòng)效率和承載能力不穩(wěn)定，影響機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)平穩(wěn)性。同時(shí)，在間隙調(diào)解機(jī)構(gòu)軸向預(yù)緊力的作用下，嚙合副處于四點(diǎn)嚙合狀態(tài)，因此建立四點(diǎn)接觸力學(xué)模型更加符合實(shí)際情況。

1 結(jié)構(gòu)與傳動(dòng)原理

擺線鋼球行星傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)如圖1a所示。等速嚙合副為等曲率半徑雙圓弧十字槽結(jié)構(gòu)，能四點(diǎn)接觸，實(shí)現(xiàn)無(wú)隙嚙合。圖1b中，β2為嚙合點(diǎn)法線與盤平面的夾角，rq為等速鋼球半徑，rh為十字槽截面曲率半徑，且rh=r*rq，其中，r*為半徑系數(shù)。

1.中心盤 2.減速鋼球 3.行星盤 4.輸入軸 5.輸出軸(盤) 6.間隙調(diào)解機(jī)構(gòu) 7.等速鋼球2 8.等速鋼球1 9.浮動(dòng)盤(a)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖

圖1 擺線鋼球行星傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of cycloid ballplanetary transmission

中心盤右側(cè)加工有齒數(shù)為Z1的外擺線槽，行星盤左側(cè)加工有齒數(shù)為Z3的內(nèi)擺線槽，內(nèi)外擺線槽軸向重合位置處放置Z2個(gè)減速鋼球。浮動(dòng)盤左側(cè)加工有一組相互平行、截面為等曲率半徑雙圓弧形的槽(新型槽)，浮動(dòng)盤右側(cè)同樣加工有一組新型槽，且兩組平行槽相互垂直[9]。行星盤右側(cè)加工有與浮動(dòng)盤左側(cè)同樣相互平行的新型槽，輸出盤(軸)左側(cè)加工有與浮動(dòng)盤右側(cè)同樣相互平行的新型槽。在行星盤與浮動(dòng)盤之間的槽中放置Z8個(gè)等速鋼球，在浮動(dòng)盤與輸出盤之間的槽中放置Z7個(gè)等速鋼球。機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，輸入軸偏心段帶動(dòng)行星盤轉(zhuǎn)動(dòng)，行星盤推動(dòng)減速鋼球運(yùn)動(dòng)，減速鋼球在中心盤的限制作用下反推行星盤，使行星盤以較低的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)減速。行星盤通過(guò)等速鋼球1、等速鋼球2以及浮動(dòng)盤將轉(zhuǎn)速等速傳遞給輸出盤(軸)，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速的等速輸出。十字槽等速輸出機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)為十字滑塊機(jī)構(gòu)。

2 法向力計(jì)算

2.1 未承受工作載荷時(shí)

受力分析如圖2所示。XO1Y為固定坐標(biāo)系，X3O3Y3為與行星盤固連的隨動(dòng)坐標(biāo)系[11]，X9O9Y9為與浮動(dòng)盤固連的隨動(dòng)坐標(biāo)系，O1、O3、O8、O9分別為中心盤幾何中心、行星盤幾何中心、等速鋼球組1分布圓中心以及浮動(dòng)盤幾何中心在XO1Y平面上的投影，O8j為等速鋼球組1第j個(gè)鋼球球心。α8為等速鋼球組1中相鄰鋼球球心與其分布圓中心的夾角，Φ3為行星盤繞其幾何中心轉(zhuǎn)過(guò)的角度。Rw為等速鋼球組分布圓半徑，輸入軸偏心距為2e(點(diǎn)O1和O3之間的距離)。

圖2 等速嚙合副受力圖Fig.2 The force diagram of equi-speed engagement pair

如圖2b所示，在軸向預(yù)緊力Ft的作用下，各個(gè)鋼球處于四點(diǎn)嚙合狀態(tài)，浮動(dòng)盤相對(duì)行星盤的軸向微位移為δ39x。由文獻(xiàn)[12]可知，嚙合點(diǎn)處嚙合剛度為嚙合位置的函數(shù)，而本文中十字槽截面為等曲率半徑的雙圓弧形，故Z8個(gè)鋼球平均承擔(dān)Ft，每個(gè)鋼球承擔(dān)的軸向預(yù)緊力為Ft8。各個(gè)嚙合點(diǎn)處的法向預(yù)緊力均為FPt8，各個(gè)嚙合點(diǎn)處的預(yù)變形量為δP8a，則有

(1)

由幾何關(guān)系可得浮動(dòng)盤相對(duì)于行星盤的軸向微位移：

δ39x=2δPt8/sinβ2

(2)

根據(jù)赫茲接觸理論可知，在接觸區(qū)域內(nèi)，兩彈性體因彈性變形而引起的彈性趨近量[13]為

式中，F(xiàn)為作用于接觸點(diǎn)的法向力；K*、a*為Hertz接觸系數(shù)；E1、E2為兩彈性接觸體的彈性模量；μ1、μ2為兩彈性接觸體的泊松比；∑ρ為接觸點(diǎn)處4個(gè)主曲率之和。

聯(lián)立式(1)～式(3)可得軸向微位移：

(4)

2.2 承受工作載荷時(shí)

如圖2b所示，行星盤順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，浮動(dòng)盤受到阻力矩T1的作用，浮動(dòng)盤實(shí)際轉(zhuǎn)角產(chǎn)生滯后量α39以及浮動(dòng)盤相對(duì)行星盤軸向微位移變化量Δδ39x，則傳力側(cè)與非傳力側(cè)的變形協(xié)調(diào)方程為

(5)

j=j1，j2

式中，lj1為位于坐標(biāo)軸X9上方第j1個(gè)鋼球的力臂；lj2為位于坐標(biāo)軸X9下方第j2個(gè)鋼球的力臂；[Z8/4]為對(duì)Z8/4取整。

在阻力矩和預(yù)緊力共同作用下，嚙合點(diǎn)A1、B1、C1、D1的法向力分別為FA1j、FB1j、FC1j、FD1j，法向力滿足下列關(guān)系

(6)

由Hertz點(diǎn)接觸理論可知，嚙合法向力與法向變形量的非線性關(guān)系為[13]

(7)

式中，δi為嚙合點(diǎn)處的法向變形量。

聯(lián)立式(3)、式(5)～式(7)可得傳力側(cè)與非傳力側(cè)的法向力：

(8)

式中，GA1、GB1、GC1和GD1分別為嚙合點(diǎn)A1、B1、C1、D1處的變形系數(shù)。

對(duì)浮動(dòng)盤建立軸向力和力矩平衡方程：

(9)

本文以位于X9軸上方且位于Y9軸上的十字槽為例，分析傳力側(cè)法向力FC1和非傳力側(cè)法向力FD1的變化規(guī)律。如圖3所示，轉(zhuǎn)角3從0變化至2π時(shí)，鋼球在浮動(dòng)盤上十字槽的位置如下：低端中點(diǎn)頂端中點(diǎn)低端，即法向力FC1和FD1完成了一個(gè)周期的變化。

圖3 法向力FC1和FD1隨轉(zhuǎn)角φ3變化曲線Fig.3 Curves of normal force FC1 and FD1 with angle φ3

3 接觸應(yīng)力分析

3.1 接觸應(yīng)力計(jì)算

如圖4所示，由赫茲接觸理論可知，兩彈性體在點(diǎn)Oi處接觸，在載荷F的作用下，接觸點(diǎn)擴(kuò)展為橢圓接觸區(qū)，接觸區(qū)域長(zhǎng)短半軸的長(zhǎng)度分別為a、b，中心點(diǎn)的接觸應(yīng)力為q0，中心點(diǎn)的變形量為d0。

圖4 接觸模型圖Fig.4 Diagram of contact model

根據(jù)Boussinesq關(guān)于彈性半空間體在集中力作用下的應(yīng)力結(jié)果[14]可知，在法向力F的作用下，采用文獻(xiàn) [15]的方法，可以推導(dǎo)出接觸表面下不同深度處主應(yīng)力σx、σy和σz在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式：

(10)

(11)

(12)

式中，k為接觸橢圓長(zhǎng)短半軸比值的倒數(shù)；e0為接觸橢圓偏心率，e0=(1-k2)1/2；M(φ,e0)為第一類不完全橢圓積分；L(φ,e0)為第二類不完全橢圓積分；ξ為量綱一深度，ξ=z/a；φ為輔助角，φ=arccotξ。

聯(lián)立式(10)～式(12)，可得接觸表面下的切應(yīng)力

τ=(σz-σy)/2

(13)

3.2 接觸參數(shù)求解

根據(jù)文獻(xiàn)[16]的分析，可采用由文獻(xiàn)[17]提出的Hertz接觸的迭代算法對(duì)接觸參數(shù)進(jìn)行精確求解。

令

(14)

則可得參數(shù)λ：

(15)

文獻(xiàn)[17]提出了一種利用標(biāo)準(zhǔn)完全橢圓積分化簡(jiǎn)式(15)的簡(jiǎn)便方法：

(16)

將式(16)對(duì)m進(jìn)行求導(dǎo)，得

(17)

式(16)可用Newton迭代法進(jìn)行求解，假設(shè)m′i是m′(m′=k2)的一個(gè)近似值，則比m′i更好的m′的近似值為

完全橢圓積分K(m)、E(m)采用迭代法進(jìn)行求解,在求解K(m)、E(m)時(shí)考慮到迭代的收斂速度，初始值取m=λ2。則橢圓接觸區(qū)域長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)度a、b分別為

在接觸橢圓區(qū)域中，最大的接觸壓力位于接觸區(qū)域的中心處，其值為平均壓力的3/2倍，即

(18)

接觸橢圓區(qū)域中心點(diǎn)的法向變形量為

4 參數(shù)影響分析

4.1 參數(shù)對(duì)法向力的影響分析

樣機(jī)參數(shù)取值見(jiàn)表1(下文未注明時(shí)取該組參數(shù))。

表1 計(jì)算參數(shù)

本文主要討論參數(shù)e、鋼球分布圓半徑Rw、鋼球數(shù)Z8、阻力矩T1和軸向預(yù)緊力Ft分別對(duì)傳力側(cè)和非傳力側(cè)法向力的影響(本文取Φ3=0)。由圖5～圖9可得：

(1)隨e的增大，傳力側(cè)法向力FC1減小，非傳力側(cè)法向力FD1增大。當(dāng)e從1.4 mm增至1.8 mm時(shí)，法向力FC1和FD1分別變化了0.019 N和0.017 N，可以忽略e對(duì)FC1和FD1的影響。

(2)隨分布圓半徑Rw的增大，傳力側(cè)法向力FC1減小，非傳力側(cè)法向力FD1增大。增大Rw可以提高機(jī)構(gòu)承載能力，但會(huì)增大傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的體積。

圖5 法向力隨參數(shù)e變化曲線Fig.5 The curves of normal force with e

圖6 法向力隨半徑Rw變化曲線Fig.6 The curves of normal force with radius Rw

圖7 法向力隨阻力矩T1變化曲線Fig.7 The curves of normal force with resistance torque T1

圖8 法向力隨軸向預(yù)緊力Fa變化曲線Fig.8 The curves of normal force with axial preload Fa

圖9 法向力隨鋼球數(shù)Z8變化曲線Fig.9 The curves of normal force with steel ball number Z8

(3)隨阻力矩T1的增大，轉(zhuǎn)角滯后量增加，使得傳力側(cè)變形增大，非傳力側(cè)變性減小，進(jìn)而使得法向力FC1增大，法向力FD1減小。

(4)隨軸向預(yù)緊力Ft的增大，傳力側(cè)和非傳力側(cè)的變形量均增大，進(jìn)而使得法向力FC1和FD1均增大。Ft<60N時(shí)，阻力矩產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角滯后量較大，抵消非傳力側(cè)的預(yù)變形量，使得式(5)中的δd12j<0，由式(8)可得FD1=0。此時(shí)，非傳力側(cè)因存在間隙而產(chǎn)生回差，影響十字槽等速輸出機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)精密性。

(5)由于十字槽呈對(duì)稱分布，且本文中每個(gè)十字槽放置1個(gè)鋼球(實(shí)際上可以放置多個(gè)鋼球)，故鋼球數(shù)Z8取偶數(shù)。隨鋼球數(shù)Z8的增大，傳力側(cè)法向力FC1和非傳力側(cè)FD1均減小。在其他參數(shù)不變的情況下，增加鋼球既可以提高十字等速輸出機(jī)構(gòu)的承載能力，又不會(huì)影響機(jī)構(gòu)的體積。

(6)鋼球數(shù)Z8對(duì)法向力的影響最大，輸入軸偏心距對(duì)法向力的影響最小，并且可以忽略不計(jì)。

4.2 參數(shù)對(duì)正應(yīng)力的影響分析

如圖10所示，在其他參數(shù)不變的情況下，σx、σy和σz均隨鋼球半徑rq的增大而減小，且曲線斜率的絕對(duì)值減小。為避免在接觸表面應(yīng)力達(dá)到極限，且不發(fā)生屈服現(xiàn)象，鋼球半徑rq盡量取大值。

圖10 接觸區(qū)應(yīng)力隨鋼球半徑rq變化曲線Fig.10 Curves of contact stress with steel ball radius rq

如圖11所示，在其他參數(shù)不變的情況下，σx、σy和σz均隨r*的增大而增大，且曲線斜率減小。為避免在接觸表面應(yīng)力達(dá)到極限，且不發(fā)生屈服現(xiàn)象，半徑系數(shù)r*取小值。

如圖12所示，在其他參數(shù)不變的情況下，正應(yīng)力σz隨x的增大而減小，且曲線斜率的絕對(duì)值先增大后減??；σx、σy均隨x的增大而減小，且曲線斜率的絕對(duì)值減小。正應(yīng)力σy逐漸趨于0，在ξ=1時(shí)，σy=0。

圖11 接觸區(qū)應(yīng)力隨半徑系數(shù)r*變化曲線Fig.11 Curves of contact stress with radius coefficient r*

圖12 接觸區(qū)應(yīng)力隨量綱一深度ξ變化曲線Fig.12 The curves of contact stress with dimensionless depth ξ

4.3 參數(shù)對(duì)切應(yīng)力的影響分析

如圖13所示，在其他參數(shù)不變的情況下，切應(yīng)力τ隨rq的增大而減小，且曲線斜率的絕對(duì)值減小。當(dāng)rq從1.5 mm增至4 mm時(shí)，能夠滿足大多數(shù)材料許用切應(yīng)力的要求。

圖13 切應(yīng)力隨鋼球半徑rq變化曲線Fig.13 Curves of shear stress with steel ball radius rq

如圖14所示，在其他參數(shù)不變的情況下，切應(yīng)力τ隨r*的增大而增大，且曲線斜率減小。當(dāng)r*從1.05增至5時(shí)，能夠滿足大多數(shù)材料許用切應(yīng)力的要求。

如圖15所示，在其他參數(shù)不變的情況下，隨ξ的增大，切應(yīng)力τ先增大再減小。在量綱一深度ξ=0.367時(shí)，τ達(dá)到最大值，τmax=750.40 MPa。

圖14 切應(yīng)力隨半徑系數(shù)r*變化曲線Fig.14 Curves of shear stress with radius coefficient r*

圖15 切應(yīng)力隨量綱-深度ξ變化曲線Fig.15 Curves of shear stress with dimensionless depth ξ

如圖16所示，隨鋼球半徑rq的增大，切應(yīng)力峰值τmax逐漸減小，且曲線斜率的絕對(duì)值減小。rq從1.5 mm增至4 mm時(shí)，峰值τmax減小了506.31 MPa。切應(yīng)力峰值對(duì)應(yīng)的深度為定值，即ξ與鋼球半徑rq無(wú)關(guān)。為避免在切應(yīng)力的作用下，材料沿軸線45°方向產(chǎn)生滑移面以及接觸表面產(chǎn)生點(diǎn)蝕，rq取大值。

圖16 切應(yīng)力峰值和量綱一深度隨鋼球半徑rq變化曲線Fig.16 Curves of shear stress peak and dimensionless depth with steel ball radius rq

如圖17所示，隨半徑系數(shù)r*的增大，切應(yīng)力峰值τmax逐漸增大，且曲線斜率減小。當(dāng)r*從1.05增至5時(shí)，峰值τmax增大了436.23 MPa。切應(yīng)力峰值所對(duì)應(yīng)的量綱一深度ξ也隨r*的增大而增大。為避免在切應(yīng)力的作用下，材料沿軸線45°方向產(chǎn)生滑移面以及接觸表面產(chǎn)生點(diǎn)蝕，r*取小值。

圖17 切應(yīng)力峰值和量綱一深度隨鋼球半徑r*變化曲線Fig.17 Curves of shear stress peak and dimensionless depth with radius coefficient r*

5 結(jié)論

(1)利用嚙合點(diǎn)法向變形量與軸向微位移的幾何關(guān)系，根據(jù)赫茲理論以及平衡方程，求得了軸向微位移的精確計(jì)算公式。建立嚙合副四點(diǎn)力學(xué)模型，得到了嚙合法向力的精確計(jì)算公式。

(2)傳力側(cè)和非傳力側(cè)的法向力均呈周期性變化。參數(shù)e、Rw、Z8、T1和Ft對(duì)傳力側(cè)和非傳力側(cè)的法向力均有影響，其中，鋼球數(shù)Z8的影響最大，輸入偏心軸偏心距的影響最小。軸向預(yù)緊力過(guò)小時(shí)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的非傳力側(cè)會(huì)出現(xiàn)間隙，從而產(chǎn)生回差，最終影響機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)精密性。

(3)增大鋼球半徑rq可以減小應(yīng)力σx、σy、σz、τ以及切應(yīng)力峰值τmax；減小半徑系數(shù)r*可以減小應(yīng)力σx、σy、σz、τ、切應(yīng)力峰值τmax以及切應(yīng)力峰值所對(duì)應(yīng)的深度值ξ。