王 霄

(陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 物流管理學(xué)院，咸陽 712000)

航空收益管理技術(shù)是航空運輸領(lǐng)域一項重要技術(shù)。全球90%以上的航空公司均采用這一技術(shù)。在收益管理艙位分配方面，國外有研究單航節(jié)的優(yōu)化方法，假設(shè)低價格艙位先于高價格艙位被旅客預(yù)訂，研究兩種價格的艙位分配問題，提出基于兩種價格艙位的單航節(jié)期望邊際收益原則[1]。把單航節(jié)兩艙位的期望邊際收益原則擴展到多個艙位，提出相應(yīng)算法，被廣泛采用[2]。文獻[3]提出一個連續(xù)時間的動態(tài)隨機規(guī)劃模型，該模型表明最低限度的艙位分配策略最優(yōu)。文獻[4]提出一個隨機分配模型，以此動態(tài)分配艙位。對于不同價格或等級的艙位預(yù)訂，遵循嚴格到達順序的假設(shè)下，在靜態(tài)的艙位預(yù)訂限制條件下考慮最優(yōu)的預(yù)訂策略，提出預(yù)訂限制的算法[5]。文獻[6]提出動態(tài)規(guī)劃模型決定最優(yōu)動態(tài)預(yù)訂分配策略。艙位分配是收益管理的核心，艙位分配建立在對市場需求精準預(yù)測的基礎(chǔ)上。目前，國內(nèi)外有關(guān)收益管理理論大部分建立在假定需求分布已知，或者直接假定需求為確定的前提下，然而預(yù)測需求和現(xiàn)實需求之間的差距很大[7]。文獻[8]將航空公司乘客到達的具體數(shù)據(jù)同泊松分布、伽瑪分布以及負二項式分布進行對照和匹配，結(jié)果發(fā)現(xiàn)伽瑪分布與實際情況較為吻合。需求預(yù)測的主要方法有統(tǒng)計方法和隨機過程方法兩類。通過均勻或非均勻和混合的泊松過程，建立需求到達的隨機過程模型[9-11]，計算得出的預(yù)測需求艙位數(shù)量與實際差距很大，艙位需求數(shù)量具有不確定性。

本文針對艙位需求數(shù)量不確定這一現(xiàn)實問題研究國內(nèi)普通中型飛機航班艙位收益，引入數(shù)據(jù)驅(qū)動的理論方法對艙位分配進行優(yōu)化，以期降低艙位需求不確定性對單航節(jié)期望收益的不良影響。引入修正因子這一標量參數(shù)，根據(jù)對歷史需求數(shù)據(jù)的信心程度對修正因子賦值，剔除部分不良數(shù)據(jù)，對艙位收益管理進行探析。

1 數(shù)據(jù)驅(qū)動基本理論

需求不確定是收益管理需要解決的核心問題，由于大部分理論均為假設(shè)需求分布已知，決策者風(fēng)險中立，在實際當中，需求數(shù)量很難精準預(yù)測。應(yīng)用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法在優(yōu)化理論領(lǐng)域，將傳統(tǒng)報童問題進行擴展，旨在降低需求不確定性[12]。

在收益管理情境下，關(guān)注收益π(Q,D),其中Q為訂購量，D為不確定需求。假設(shè)需求觀測總數(shù)量N個，觀測值分別為d1,d2,…,dk,…,dN，使其按遞增順序排列得：d(1)≤d(2)≤…≤d(k)≤…≤d(N)，有

(1)

式中:α為修正因子(風(fēng)險系數(shù))，且α∈[0,1]；Nα為修剪后的觀測值總數(shù),Nα=[N(1-α)+α]；當α=0，有Nα=N，即保留了全部數(shù)據(jù)，表明決策者具有更低的風(fēng)險厭惡態(tài)度；當α=1，有Nα=1，此時只保留了最壞的數(shù)據(jù)，表明決策者具有更高的風(fēng)險厭惡態(tài)度。α值反映決策者風(fēng)險厭惡程度，此時風(fēng)險系數(shù)α為可控。同時，保證Nα能夠取遍從1到N的所有數(shù)值。即當α∈[0,1]時，Nα={1,2,…,N}。

π(Q,d)(k)是指從小到大排在第k位的收益，dk≥0 (k=1,2,…，N)且為整數(shù)。問題的關(guān)注點為求解下式：

s.t.Q∈Ω

(2)

其中Ω為訂購量Q的可行集，設(shè)為凸的。

選擇可行集Q∈Ω，將π(Q,d)(k)按照從小到大排列，取前Nα個收益的均值，計算得出收益最大的Q。

有定理1為凸規(guī)劃問題，π(Q,D)在Q是凹的。

定理1 數(shù)據(jù)驅(qū)動問題

式(2)等價為

(3)

當π(Q,D)在Q是凹的，式(3)為一個凸問題；當π(Q,D)為分段線性函數(shù)，在Q是凹的，且Ω是一個多面體，式(3)為一個線性規(guī)劃問題。

證明：

(4)

式(4)的可行集是非空有界的，因此式(4)的對偶問題可表示為

s.t.φ+ψk≤xk,?k

ψk≤0, ?k

(5)

將式(5)及xk=π(Q,dK)代入式(2)，得到式(3)。

2 兩價格同等級艙位分配模型

2.1 需求獨立正態(tài)分布下的分配模型

借鑒文獻[13]分配方案。假定艙位同質(zhì)，即艙位為同等級，或為商務(wù)艙位或為經(jīng)濟艙位，其價格分為全價和折扣價兩種。且全價艙位的需求量服從正態(tài)分布，計算最優(yōu)的折扣價艙位預(yù)訂限額為

(6)

式中：Φ(x)為標準累積正態(tài)分布；μf和σf分別為全價艙位需求量的均值和標準差，全價艙位和折扣艙位的價格分別為Pf和Pd，且Pf>Pd。根據(jù)李特爾伍德法則，要找到一個折扣價艙位預(yù)留限額b值，使得

(7)

有最優(yōu)折扣價艙位的預(yù)訂限額b*，使得全價艙位的保留數(shù)量即保留水平y(tǒng)*得以滿足，C為艙位總數(shù)，有

b*=[C-σfΦ-1(1-Pd/Pf)-μf]+

(8)

y*=min[μf+σfΦ-1(1-Pd/Pf),C]

(9)

其中Φ-1(x)為逆累積正態(tài)分布。

單獨分析Φ-1(x)，得到如下結(jié)論：

Φ-1(1-Pd/Pf)為價格比率Pd/Pf的函數(shù)，同時和式(9)討論，分析推導(dǎo)出關(guān)于最優(yōu)折扣艙位預(yù)訂限額的相關(guān)特性。

Φ-1(1-Pd/Pf)為Pd/Pf的減函數(shù)，即當價格比率提高，Φ-1(1-Pd/Pf)將會變小，b*為價格比率的增函數(shù)。

若Φ-1(1/2)=0，即Pd=Pf/2，b*=C-μf。有Pd/Pf=1/2，全價艙位的保留水平等于全價艙位需求的均值。

當Pd/Pf<1/2，全價艙位的保留水平大于全價艙位需求的均值；當Pd/Pf>1/2，全價艙位的保留水平小于全價艙位需求的均值。

全價艙位的保留水平由價格比率決定。

2.2 數(shù)據(jù)驅(qū)動下的分配模型

給定航班艙位數(shù)量，將艙位分配給不同價格，使艙位利用率最大，實現(xiàn)收益最大化[14]。由李特爾伍德法則分析得知，全價艙位的最優(yōu)保留水平與折扣價艙位需求有關(guān)。即把折扣價艙位需求預(yù)測加倍或者減半均影響最優(yōu)的全價艙位預(yù)訂限額。在兩價格艙位分配時，假設(shè)折扣價艙位的需求是無限的，即艙位一定會被預(yù)訂。具體分析如下：

當全價艙位的需求df小于等于全價艙位的保留水平y(tǒng)時，此時航班只能提供需求的艙位數(shù)量，當全價艙位的需求df大于全價艙位的保留水平y(tǒng)時，此時航班只能滿足y的需求。航班全價艙位的期望收益為

π=Pfdf-Pd(C-b)，df≤C-b

π=Pf(C-b)-Pd(C-b)，df>C-b

(10)

E(π)=Pfmin[df,(C-b)]-Pd(C-b)

(11)

采用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法，有Nα=[N(1-α)+α]下的收益最大化公式為

(12)

此時，最優(yōu)保留水平為目標方程中的一點dj，且dj為整數(shù)。因min[df,(C-b)]在其定義域為非遞減，滿足從小到大排在第k位的min[df,(C-b)]的b，即等價于滿足min[d(k),(C-b)]。求解為

(13)

式(13)最優(yōu)保留水平y(tǒng)的解即最優(yōu)解，滿足

(14)

證明：

當d(k)≤y≤d(k+1)，Pfk/Nα≤Pd，最優(yōu)解為y=d(k)；否則，y=d(k+1)。

當y≤d(1)時，最優(yōu)解y=d(1)。

當y≥d(N)時，最優(yōu)解y=d(N)。

因此，最優(yōu)解C-b≥0，且在C-b=d(j)處取得，其中:j/Nα≤Pd/Pf<(j+1)/Nα。

得出結(jié)論：最優(yōu)保留水平可以通過數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法得到，且依賴于歷史數(shù)據(jù)的適當排序。對于風(fēng)險系數(shù)(修正因子)α，由于Nα≤N,所以有風(fēng)險規(guī)避者的全價艙位保留水平比風(fēng)險中立者的保留水平低。

3 兩價格及等級艙位分配模擬分析

利用Excel統(tǒng)計軟件進行數(shù)值模擬，在航班艙位總數(shù)一定的前提下，劃分兩種不同價格及等級艙位，即折扣艙位和全價艙位，假設(shè)艙位需求是完全的，即折扣價艙位總能被預(yù)訂，且折扣價艙位的需求量與全價艙位的需求量之間相互獨立。

利用Excel統(tǒng)計軟件的數(shù)據(jù)生成器隨機生成100個全價艙位需求數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)為正態(tài)分布隨機數(shù)；假定某固定航線航班擁有艙位共250個，有兩種價格等級，全價艙位價格為700元/個。該航班價格比率Pd/Pf分別為0.25，0.50，0.75，分析其最優(yōu)折扣價艙位限額及全價艙位保留水平。為了便于正態(tài)分布與數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法進行對比，令α為0，采用所有的需求數(shù)據(jù)進行處理。

3.1 需求服從獨立正態(tài)分布下的數(shù)值模擬分析

假設(shè)全價艙位需求的均值為100個，獨立正態(tài)分布下兩價格艙位分配及總收益情況見表1，從表1看到不同價格比率下標準方差變動時，最優(yōu)折扣價艙位的限額和全價艙位保留水平以及總收益有變化，其中CV為全價艙位需求變異系數(shù)，指需求數(shù)據(jù)分布離散程度，其變化范圍0.1～1.0；STD為標準差；y為折扣價艙位保留水平；b為折扣價艙位限額；R為收益金額。

表1獨立正態(tài)分布下兩價格艙位分配及總收益情況
Tab.1 The airline seat allocationand total revenue of two prices Under independent normal distribution

價格比率CVSTDy/個b/個R/元0.110107143999250.3301211291072750.250.5501341161141000.7701481021214500.990161891282750.1101001501225000.3301001501225000.500.5501001501225000.7701001501225000.9901001501225000.110941561477000.330801701452500.750.550671831429750.770531971405250.99040210138250

當全價艙位需求正態(tài)分布時，全價艙位預(yù)留水平如圖1，圖1表明不同價格比率下，標準差不同，全價艙位保留水平不同。

圖1 獨立正態(tài)分布下全價艙位預(yù)留水平Fig.1 Reserve level about full price cabin Under independent normal distribution

從圖1看到，當價格比率為1/2或全價艙位需求的標準差為零時，全價艙位的最優(yōu)保留水平等于全價艙位需求的均值。若價格比率小于1/2時，全價艙位的最優(yōu)保留水平將大于全價艙位需求的均值，且增大標準差將會減少折扣價艙位限額。如果價格比率大于1/2時，全價艙位最優(yōu)保留水平將小于全價艙位需求的均值，且增大標準差，其最優(yōu)保留水平將會降低。

3.2 數(shù)據(jù)驅(qū)動下的數(shù)值模擬分析

設(shè)d1,d2,…,dk,…,dN為收集的歷史全價艙位需求數(shù)據(jù)，使其按遞增順序排列得：d(1)≤d(2)≤…≤d(k)≤…≤d(N)，假定dk≥0(k=1,2,…,N)且為整數(shù)，有a∈[0,1]且α=1-a。令Nα=[N(1-α)+α]，保證Nα能夠取遍從1到N的所有數(shù)值。當α=0，有Nα=N，保留全部的需求數(shù)據(jù)；當α=1，有Nα=1，只保留最小的需求數(shù)據(jù)。保留的數(shù)據(jù)不同表現(xiàn)決策者對歷史需求數(shù)據(jù)的信心程度不同，反映決策者的風(fēng)險偏好。根據(jù)分析得出最優(yōu)全價艙位的保留水平為

y=d(j),j=[pd/pfNα]

數(shù)據(jù)驅(qū)動下兩價格艙位分配及總收益情況見表2，由表2可以看出，在數(shù)據(jù)驅(qū)動下不同價格比率下標準方差變動時，最優(yōu)折扣價艙位的限額和全價艙位保留水平以及總收益的變化，其中Nα為需求數(shù)據(jù)個數(shù)，j為需求數(shù)據(jù)的位置順序，dj為全價艙位需求數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)驅(qū)動的處理方法不同于當全價艙位需求正態(tài)分布，此時的折扣價艙位限額b并非是標準差的線性函數(shù)，其趨勢與全價艙位需求服從正態(tài)分布時相近，趨近于線性函數(shù)。數(shù)據(jù)驅(qū)動下全價艙位預(yù)留水平見圖2，圖2顯示了不同的價格比率下，全價艙位的需求在不同標準差下，對最優(yōu)全價艙位預(yù)留水平的影響。

表2 數(shù)據(jù)驅(qū)動下兩價格艙位分配及總收益情況Tab.2 The airline seat allocation and total revenue of two prices under data-driven method

圖2 數(shù)據(jù)驅(qū)動下全價艙位預(yù)留水平Fig.2 Reserve level about full price cabin under data-driven method

從圖2可以看出，數(shù)據(jù)驅(qū)動下全價艙位保留水平對全價艙位需求的標準差和價格比率的依賴性,與當全價艙位需求服從正態(tài)分布時相近。

3.3 獨立正態(tài)需求與數(shù)據(jù)驅(qū)動法的對比分析

對比正態(tài)分布及數(shù)據(jù)驅(qū)動的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，對于全價艙位的最優(yōu)保留水平以及總收益均存在差異，數(shù)據(jù)驅(qū)動的收益高于正態(tài)分布的收益。

圖3～5為正態(tài)分布及數(shù)據(jù)驅(qū)動兩種處理方法在不同價格比率下隨著數(shù)據(jù)量的波動幅度變化以及收益對比。

圖3 價格比率為0.25的期望收益Fig.3 Expected return with a price ratio of 0.25

圖4 價格比率為0.50的期望收益Fig.4 Expected return with a price ratio of 0.50

數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法同假設(shè)需求服從正態(tài)分布的方法分析結(jié)果基本一致，兩種方法下收益變化大趨勢相同，且數(shù)據(jù)驅(qū)動法下的總收益總高于假設(shè)需求服從正態(tài)分布時的總收益，說明可以采用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法降低需求不確定，獲得較高期望收益。

圖5 價格比率為0.75的期望收益Fig.5 Expected return with a price ratio of 0.75

4 結(jié) 語

兩種方法測算的總收益之所以有差異，分析原因有：① 由于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法是通過直接對數(shù)據(jù)做處理求得最優(yōu)解，假定需求服從正態(tài)分布的方法是對數(shù)據(jù)進行擬合并求解出最優(yōu)解；② 兩種方法在進行數(shù)據(jù)處理及求解過程中都會對數(shù)據(jù)進行四舍五入或取整，數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法需要處理的數(shù)值較少，處理方法也較為簡單，假定需求服從正態(tài)分布的方法則需要多次對數(shù)值進行處理，都會存在不可避免的差異；③ 數(shù)據(jù)驅(qū)動更符合現(xiàn)實情況，假定需求服從正態(tài)分布的方法是在一定假設(shè)的基礎(chǔ)上獲得的，可能與現(xiàn)實情況存在出入。

以數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法對艙位分配進行優(yōu)化。研究結(jié)果表明：采用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法對歷史需求數(shù)據(jù)直接分析處理，降低了需求不確定性，這種方法下數(shù)據(jù)易獲得、易更新，且計算方便簡捷快速，可以為航空管理者參考，做出更為合理的艙位控制決策方案，提高航公司收益。此方法對航空收益管理研究中的艙位需求預(yù)測和艙位分配模型的優(yōu)化改進是有益的補充，可以推廣應(yīng)用在高速鐵路、快速汽車專線、定制旅游和定制酒店旅館等行業(yè)，具有一定的專業(yè)意義和借鑒。