江蘇省常州市第五中學(xué) 趙艷芝

在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生解數(shù)學(xué)題是家常便飯。但不能只是簡(jiǎn)單解題，有時(shí)候解完題后再多問(wèn)幾個(gè)為什么，或許會(huì)“別有滋味”，在我們沉浸于“原來(lái)如此”的喜悅的同時(shí)，可以在解題的思路更新和能力創(chuàng)新方面得到真實(shí)的歷練。最近在學(xué)習(xí)向量的教學(xué)過(guò)程中，就遇到了一道題，在我的引導(dǎo)與鼓勵(lì)下，學(xué)生嘗試著對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式推廣。

一般情況下，向量問(wèn)題有三種處理思路，即直接法、坐標(biāo)法和基向量轉(zhuǎn)換法。學(xué)生考慮到這道題沒(méi)有給出向量長(zhǎng)度和夾角，從而用定義直接處理的思路就否定了；因?yàn)轭}目中有垂直，故在處理時(shí)，學(xué)生自然首選坐標(biāo)法。以A為原點(diǎn)、AC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，其解題過(guò)程如下：

因BC的直線方程為故而設(shè)

本來(lái)題目做到這兒就可以結(jié)束了，但有同學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，線段MN恰好處于線段BC的中間位置（MN的中點(diǎn)即為BC的中點(diǎn)）；而或1時(shí)，MN偏向線段BC的一側(cè)（有一個(gè)端點(diǎn)與線段BC的端點(diǎn)重合），加之本題的背景是等腰直角三角形，從圖形的對(duì)稱(chēng)性上也能解釋特殊法的合理性，于是有同學(xué)就想：這樣的結(jié)論是否可以推廣到一般的等腰三角形中呢？

接下來(lái)，我用GeoGebra軟件做了推廣驗(yàn)證（如下圖），改變M點(diǎn)的位置，得到數(shù)量積的計(jì)算值；而以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)、數(shù)量積的計(jì)算值分別為橫縱坐標(biāo)構(gòu)造E點(diǎn)后，以M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)、E點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造軌跡。軌跡圖像有力地支持了學(xué)生的猜想，而這樣的圖像特性（在中點(diǎn)處取得最小值、在端點(diǎn)處取得最大值）恰與角的大小無(wú)關(guān)，真是“有圖有真相”，這一驗(yàn)證讓學(xué)生頓時(shí)信心百倍。

回首這道題的解體過(guò)程，經(jīng)過(guò)討論學(xué)生發(fā)現(xiàn)，之所以沒(méi)證出來(lái)，關(guān)鍵是題設(shè)字母設(shè)得不合理，MN這一定值不應(yīng)設(shè)為絕對(duì)值，而應(yīng)設(shè)為相對(duì)值（可設(shè)為這樣計(jì)算起來(lái)應(yīng)該方便些。再者，考慮到書(shū)上有關(guān)于三點(diǎn)共線的一個(gè)結(jié)論：點(diǎn)在直線上，則有且于是在我的鼓勵(lì)下，學(xué)生修正了原來(lái)的解法，整理推廣過(guò)程如下：

MN在BC上，所以有

題目解到這兒已是不易，接下來(lái)往哪兒走卻很關(guān)鍵。在此提醒學(xué)生冷靜冷靜，回頭看，學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中有M、N兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別對(duì)應(yīng)著變量和，這樣四個(gè)字母中就只有和是變量了，于是只需要重點(diǎn)考慮即可，結(jié)合兩限制條件可以想到消元，于是想到干脆提取出來(lái)設(shè)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究：

這次探究經(jīng)歷于學(xué)生而言，“得”遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“失”，“失”的是寶貴的時(shí)間（過(guò)程很費(fèi)周折），“得”的卻是對(duì)數(shù)學(xué)解題滿(mǎn)滿(mǎn)的體驗(yàn)：首先是對(duì)數(shù)學(xué)解題的全新思考。通過(guò)題目特殊位置、特殊值的分析，猜想一般化的結(jié)論，繼而證明猜想，從而發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)量積范圍的推廣命題，我覺(jué)得這才是日常做數(shù)學(xué)的感覺(jué)。其次，數(shù)學(xué)解題需要有一定的想象和思維發(fā)散。在推廣過(guò)程中鍛煉了學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)更加清晰，事實(shí)上，原題中即相當(dāng)于推廣題中的這樣只要將推廣題的證明稍作改動(dòng)，就得到原題的基向量的證法。最后，數(shù)學(xué)解題需要明辨方向、梳理思路。原來(lái)學(xué)生之所以會(huì)陷入困境，主要還是忽視了書(shū)上的三點(diǎn)共線性質(zhì)，而有了這次經(jīng)歷，下次再遇到含多個(gè)字母的試題，相信學(xué)生會(huì)更有底氣、有毅力。