崔世海，段海彤，李海巖，賀麗娟，呂文樂(lè)，阮世捷

（天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300222）

1 引 言

在全球肥胖人群不斷增長(zhǎng)的趨勢(shì)下[1-2]，肥胖乘員的乘車安全越來(lái)越受到關(guān)注。目前肥胖乘員的損傷機(jī)理尚不明確，有限元模型[3-5]、尸體樣本[6]以及假人模型[7]等是研究乘員損傷機(jī)理、評(píng)價(jià)乘員損傷的常用工具。其中，有限元模型在肥胖乘員損傷機(jī)理研究中有著獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，其可以反映身體各部分力學(xué)響應(yīng)情況，且具有可重復(fù)性，同時(shí)能將混淆的影響因素單獨(dú)分開(kāi)。對(duì)于肥胖有限元模型，其增加的大量脂肪是影響生物力學(xué)響應(yīng)的重要因素，脂肪組織材料本構(gòu)的選擇及參數(shù)的確定是影響其生物仿真度及損傷評(píng)價(jià)的關(guān)鍵因素。

皮下脂肪組織是一種位于真皮與腱膜和肌肉筋膜之間的結(jié)締組織。脂肪組織占人體總質(zhì)量的5%～60%，代表新陳代謝相關(guān)組織中最具可塑性的器官[8-9]，在吸收與分配機(jī)械載荷中起著重要的作用，可以吸收沖擊和防止局部應(yīng)力集中，對(duì)人體起到一定的保護(hù)作用。就軟組織而言，如腦組織[10]、肝[11]與腎[12]等，其材料參數(shù)可由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)合有限元仿真擬合曲線求得，但計(jì)算結(jié)果會(huì)受到樣本幾何形狀變化的影響。Chawla等[13]采用遺傳算法和有限元相結(jié)合的方法，基于沖擊實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，獲得基于Zener模型的被動(dòng)肌肉組織材料特性。為消除樣本幾何形狀變化帶來(lái)的影響，Hu等[14]基于特定樣本構(gòu)建幾何模型，根據(jù)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用遺傳算法獲得了胎盤組織的材料特性。Untaroiu等[15]對(duì)肌肉、脂肪與韌帶等進(jìn)行了拉伸與壓縮實(shí)驗(yàn)，采用序列響應(yīng)面法反求得到基于線性粘彈性材料本構(gòu)的各項(xiàng)材料參數(shù)。這些軟組織材料參數(shù)的成功獲取，表明了采用有限元與優(yōu)化算法相結(jié)合反求獲得材料參數(shù)的可行性。目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于皮下脂肪組織材料特性的研究相對(duì)較少。Zheng等[16]從志愿者壓痕實(shí)驗(yàn)中提取數(shù)據(jù)，擬合出準(zhǔn)線性粘彈性材料本構(gòu)的初始模量范圍為0.22～58.4 kPa，非線性因子范圍為21.7～547 kPa，時(shí)間常數(shù)范圍為0.05～8.93 s，材料常數(shù)范圍為0.029～0.277。Geerligs等[17]測(cè)量出脂肪組織剪切模量為7.5 kPa。Comley等[18]基于豬的皮下脂肪組織進(jìn)行了全應(yīng)變率范圍的力學(xué)實(shí)驗(yàn)，擬合出Ogden超彈性材料本構(gòu)中的Ogden系數(shù)為23，低、中和高應(yīng)變率下的剪切模量分別為0.4、1.7和1120 kPa。Sims等[19]通過(guò)核磁共振成像（MRI）結(jié)合逆向有限元法獲得了脂肪組織Neo Hookean材料本構(gòu)的初始剪切模量為（0.53±0.31）kPa，單項(xiàng) Prony級(jí)數(shù)的常數(shù) α=0.39±0.03，τ=（700±255）s。

現(xiàn)有脂肪組織的材料參數(shù)一般直接引用于經(jīng)典文獻(xiàn)，或由力學(xué)實(shí)驗(yàn)擬合得到，一定程度上受實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差及不確定因素的影響，在仿真中應(yīng)用這些材料參數(shù)，往往難以體現(xiàn)脂肪組織的真實(shí)力學(xué)響應(yīng)情況。本研究基于Ogden超彈性材料本構(gòu)，對(duì)其各項(xiàng)材料參數(shù)進(jìn)行篩選試驗(yàn)，選擇對(duì)力學(xué)響應(yīng)影響顯著的材料參數(shù)作為反求目標(biāo)，參考Comely等[18]的中應(yīng)變率脂肪組織壓縮實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建脂肪組織有限元模型，通過(guò)有限元方法與優(yōu)化策略相結(jié)合實(shí)現(xiàn)脂肪組織材料參數(shù)的反求，并分析應(yīng)用反求參數(shù)獲得的仿真曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的相關(guān)性。

2 材料與方法

2.1 有限元模型構(gòu)建

交通事故中人體受到的沖擊一般在中應(yīng)變率范圍內(nèi)，參照 Comley等[18]的中應(yīng)變率（20 s-1）壓縮實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。運(yùn)用CATIA重構(gòu)脂肪組織與壓板的幾何模型，其中脂肪樣本直徑為10 mm，厚度為3 mm，導(dǎo)入Hypermesh中劃分網(wǎng)格，脂肪組織與壓板均采用8節(jié)點(diǎn)6面體單元模擬，脂肪組織有限元模型共有1 348個(gè)單元，1 350個(gè)節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖1。

圖1 中應(yīng)變率脂肪組織有限元模型Fig 1 Finite element model of medium strain rate adipose tissue

2.2 仿真設(shè)置

仿真試驗(yàn)參照壓縮實(shí)驗(yàn)設(shè)置，下壓板固定，上壓板沿脂肪組織軸向（Z方向）加載。為方便接觸計(jì)算，在脂肪組織上覆蓋一層殼單元并賦予空材料，不會(huì)影響剛度計(jì)算，與上、下壓板設(shè)置為面-面接觸。脂肪組織與上、下壓板間靜摩擦系數(shù)為0.1，動(dòng)摩擦系數(shù)為0.05，仿真中上、下壓板材料參數(shù)設(shè)為剛體。目前國(guó)內(nèi)外常用于模擬脂肪組織的材料本構(gòu)模型有線性粘彈性材料本構(gòu)，Mooney-Rivlin超彈性材料本構(gòu)和Ogden超彈性材料本構(gòu)，其中Ogden超彈性材料本構(gòu)模型是接近不可壓縮的超彈性模型，Comley等[18]與 Calvo-Gallego等[20]指出，一階 Ogden超彈性材料本構(gòu)能夠良好的表現(xiàn)脂肪組織力學(xué)性能，因此，本研究采用LS-DYNA材料庫(kù)中Ogden超彈性材料本構(gòu)模擬脂肪組織，其應(yīng)變能密度函數(shù)為：

式中，μ為剪切模量，α為Ogden系數(shù)。

該模型中粘彈性響應(yīng)表達(dá)形式為：

式中，Gijkl為松弛函數(shù)?？紤]脂肪組織的應(yīng)變率依賴性，引入由Prony級(jí)數(shù)中的六個(gè)項(xiàng)表示松弛函數(shù)，其方程為：

式中，Gi為剪切松弛模量，βi為衰減常數(shù)。

2.3 材料參數(shù)篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)

考慮到材料本構(gòu)中各項(xiàng)參數(shù)對(duì)目標(biāo)響應(yīng)的影響程度不同，對(duì)Ogden超彈性材料本構(gòu)的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)，確定各項(xiàng)參數(shù)對(duì)力學(xué)響應(yīng)的影響程度，忽略對(duì)力學(xué)響應(yīng)影響很小的材料參數(shù)，僅對(duì)力學(xué)響應(yīng)影響較大的材料參數(shù)進(jìn)行反求，以保證在反求結(jié)果具有較高精確度下提高計(jì)算效率，降低計(jì)算成本。

Ogden超彈性材料本構(gòu)的材料參數(shù)包括剪切模量μ、剪切松弛模量Gi、Ogden系數(shù)α和衰減常數(shù)β 4個(gè)因子，各個(gè)因子水平設(shè)計(jì)見(jiàn)表1。

表1 各個(gè)因子水平設(shè)計(jì)Table 1 Design of each factor level

應(yīng)用Hyperstudy對(duì)Ogden超彈性材料本構(gòu)的各個(gè)因子進(jìn)行篩選試驗(yàn)，Comley等[18]的壓縮實(shí)驗(yàn)給出了應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而仿真中無(wú)法直接輸出應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，但其可由接觸力-時(shí)間換算得到，接觸力-時(shí)間曲線呈“J”型具有非線性單一增長(zhǎng)趨勢(shì)，因此，以接觸力最大值為目標(biāo)響應(yīng)，能夠有效地反映各材料參數(shù)對(duì)力學(xué)響應(yīng)的影響程度。從全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)中得到各個(gè)因子主效應(yīng)圖與回歸系數(shù)圖，見(jiàn)圖2。圖2（a）為剪切模量μ、剪切松弛模量Gi、Ogden系數(shù)α和衰減常數(shù)β4個(gè)因子對(duì)目標(biāo)響應(yīng)的主效應(yīng)圖。圖2（b）中為各個(gè)因子的回歸系數(shù)，回歸系數(shù)越大，表示該因子對(duì)目標(biāo)響應(yīng)的影響越大。

Ogden超彈性材料本構(gòu)的試驗(yàn)結(jié)果表明，剪切松弛模量Gi和Ogden系數(shù)α均與目標(biāo)響應(yīng)呈正相關(guān)，其中，Ogden系數(shù)α對(duì)最大接觸力值影響最顯著，而剪切松弛模量Gi對(duì)目標(biāo)響應(yīng)的影響基本可忽略。剪切模量μ和衰減常數(shù)β均與最大接觸力呈負(fù)相關(guān)，對(duì)最終目標(biāo)響應(yīng)的影響基本可忽略。

圖2 篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig 2 The results of selected experiment design

3 參數(shù)反求方法

本研究參數(shù)反求通過(guò)有限元仿真與優(yōu)化算法相結(jié)合，采用自適應(yīng)響應(yīng)面法（ARSM）不斷調(diào)整設(shè)計(jì)變量的取值，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小并輸出最終各設(shè)計(jì)變量的取值，實(shí)現(xiàn)材料參數(shù)的反求。在ARSM中由二階多項(xiàng)式擬合得到的目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)為：

式中，m為約束的個(gè)數(shù)，n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，aj0、an、am為二次多項(xiàng)式系數(shù)。

ARSM以序列二次規(guī)劃為核心優(yōu)化引擎，通過(guò)高效算法擬合響應(yīng)面接近感興趣設(shè)計(jì)點(diǎn)，引入移動(dòng)限制以保證算法的魯棒性。該優(yōu)化算法分析初始設(shè)計(jì)點(diǎn)及由擾動(dòng)設(shè)計(jì)變量生成的n個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn)，使用最小二乘法確定目標(biāo)函數(shù)的多項(xiàng)式系數(shù)，用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)基于響應(yīng)面的問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求解，自動(dòng)選取最優(yōu)化方法對(duì)模型近似最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行分析，若不收斂則繼續(xù)尋優(yōu)，直至迭代收斂時(shí)停止求解[21]。反求流程見(jiàn)圖3。

圖3 材料參數(shù)反求流程Fig 3 Process of material parameter inversion

根據(jù)篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果，選擇對(duì)力學(xué)響應(yīng)影響最顯著的Ogden系數(shù)與相對(duì)較大的剪切松弛模量作為反求目標(biāo)材料參數(shù)，其材料參數(shù)取值范圍見(jiàn)表2[18，22-24]。

表2 材料參數(shù)取值范圍Table 2 Range of material parameters

將仿真曲線與實(shí)驗(yàn)曲線之間所夾面積的最小值定為優(yōu)化目標(biāo)，使仿真曲線與實(shí)驗(yàn)曲線盡可能的吻合，將最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一個(gè)普通優(yōu)化問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)為：

其中v1x、v1y分別為仿真曲線X軸、Y軸數(shù)據(jù)，v2x、v2y分別為實(shí)驗(yàn)曲線X軸、Y軸數(shù)據(jù)。

4 反求結(jié)果與討論

反求計(jì)算迭代13次達(dá)到收斂，見(jiàn)圖4。由于Ogden超彈性材料本構(gòu)能夠良好的體現(xiàn)脂肪組織的力學(xué)性能，且各項(xiàng)材料參數(shù)的初始值選擇得當(dāng)，取值范圍變化較小，因此，仿真中初始目標(biāo)函數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較小，最終收斂值約是目標(biāo)函數(shù)初始值1/3，但使仿真結(jié)果極大地逼近了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明了反求得到的材料參數(shù)具有更高的生物仿真度。

圖4 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化歷程Fig 4 The optimization process of the objective function

反求得到Ogden系數(shù)α為19.982，剪切松弛模量Gi為 1.703 KPa，Comley等[18]擬合得到的 Ogden系數(shù)為23，剪切松弛模量為1.7 KPa。反求與擬合得到的剪切松弛模量大致相同，由于Ogden系數(shù)對(duì)目標(biāo)響應(yīng)影響最顯著，雖然反求比擬合得到的Ogden系數(shù)約低13%，但能夠極大地提高脂肪組織的生物仿真度。初始仿真曲線、反求仿真曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比見(jiàn)圖5。采用Origin分析反求仿真曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的相關(guān)系數(shù)為0.98876，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，證明了采用該反求方法獲得的脂肪組織材料參數(shù)具有更高的生物仿真度。

圖5 反求與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig 5 Comparison of result between reverse and experimental

5 結(jié)論

本研究參照Comley等[18]的壓縮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用有限元仿真與優(yōu)化策略相結(jié)合的方法，對(duì)Ogden超彈性材料本構(gòu)中兩項(xiàng)對(duì)力學(xué)響應(yīng)影響較為顯著的材料參數(shù)進(jìn)行反求，得到Ogden系數(shù)為19.982，剪切松弛模量為1.703 KPa。應(yīng)用反求得到的材料參數(shù)進(jìn)行仿真輸出的仿真曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的相關(guān)系數(shù)為0.98876，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，表明在仿真中采用該反求方法獲得的脂肪組織材料參數(shù)具有更高的生物仿真度。

本研究所應(yīng)用的脂肪組織材料參數(shù)反求方法能夠有效地提高計(jì)算效率，降低計(jì)算成本，仿真中利用該方法反求獲得的脂肪組織材料參數(shù)具有更高的生物仿真度，同時(shí)這種反求方法也為其他材料參數(shù)的獲取提供了新思路，具有較高的應(yīng)用與參考價(jià)值。