杜麗媛 代欽

【摘 要】 本文通過《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》一書中七個折紙專題的介紹，明晰了折紙中所蘊含的一些數(shù)學原理與結論，并呈現(xiàn)了日本九年級數(shù)學課堂上折紙教學實錄，得出如下結論：折紙教學中教師的角色是啟發(fā)者，啟發(fā)學生提出問題、分析問題、得出結論、驗證結論、結論的推廣與一般化;折紙課堂可采取小組合作與個別指導相結合的教學組織形式，從而促使折紙作為輔助教學的有效手段發(fā)揮作用.

【關鍵詞】 折紙;幾何;折紙教學

1 《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》[1]的概述

芳賀和夫，一位生物學專業(yè)教授，卻在折紙方面成績斐然.芳賀先生從于1984年開始在《數(shù)學セミナー》上發(fā)表連載文章，展示自己徒手制作的幾何圖形成果.其折紙著作數(shù)量豐碩，于1996年出版《基于折紙數(shù)理學的數(shù)學教學》專著，1999年出版的《折紙數(shù)理學1》，2005年出版的《折紙數(shù)理學2》，2008年出版的《折紙數(shù)理學》，2014年出版《用折紙欣賞幾何圖形》.縱觀芳賀先生的折紙研究歷程，不難發(fā)現(xiàn)，芳賀先生不僅注重折紙原理的探究，也提及了折紙在教學中的應用.曾在高中教授生物學科的芳賀和夫有著十年的教學經歷，這使得它更加注重折紙的教育價值，在書中呈現(xiàn)了多個鮮活的折紙教學片段，以及一節(jié)完整的折紙數(shù)學課.

被譽為“折紙手工的復興者”的羅伯特·朗曾說過：“是什么讓折紙又一次發(fā)揚光大？是數(shù)學Robert Lang.The Math and Magic of Origami，TED.”，數(shù)學賦予了折紙新的含義.折紙數(shù)理學折紙數(shù)理學又稱折紙幾何學，本文所說的折紙與幾何在日本是指折紙幾何學在日本的發(fā)展，以《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》一書為例.是折紙與數(shù)學的巧妙結合.《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》是對芳賀和夫所提出的折紙數(shù)理學的總結.1994年第二屆折紙科技國際大會上提出了折紙數(shù)理學的概念，隨后通過1999年出版的《折紙數(shù)理學1》和2005年出版的《折紙數(shù)理學2》闡明了折紙數(shù)理學的含義和內容，在2008年的《Origamics：Mathematical Explorations through Paper Folding》中豐富了折紙幾何學的應用，增添了新的發(fā)現(xiàn)，擴充為十個章節(jié).其特色為折紙原理與折紙教學并重，是一本為教師提供動手實踐課的參考書.

2 主題介紹

折紙數(shù)理學中的折紙不同于普通的折紙，芳賀先生認為有如下三個原因：（1）一般的折紙是通過折疊完成，期間很少或者幾乎沒有將紙張展開，而折紙數(shù)理學中的折紙需要將每一步都展開觀察折痕.（2）折紙數(shù)理學中最重要的就是折痕及折疊的過程，而不是折疊后的圖形，這也是要求折痕必須清晰的原因.（3）折紙數(shù)理學中的折紙不像普通折紙折疊動物、玩具或者工藝品，它是一門從數(shù)學角度研究折紙藝術的學科.基于此，從中選擇七個專題進行介紹.

2.1 芳賀三定理

1.芳賀第一定理

如圖1，將正方形的一個頂點C向上翻折到邊AB的中點E上，與之重合.正方形的每一條邊都被分成了固定的比值.

（1）邊BC上的BF∶FC=3∶5.

（2）邊AD上的AH∶HD=2∶1.

（3）邊AD上AI∶DI=7∶1.

（4）邊EG上EH∶HG=5∶1.

2.芳賀第二定理

如圖2，E為正方形邊AB上的中點，將點B向內翻折，產生一條過點E和點C的折痕，此時三角形EBC為直角三角形，將線段EF延長，與邊AD交于點G，則G為邊AD的三等分點.

3.芳賀第三定理

如圖3，E為正方形邊AB上的中點，將點C向內翻折，使得點C落在邊AD上，并且折痕經過點E.此時，AD邊上的線段AH∶DH=2∶1.

4.推論

芳賀定理的證明涉及到相似三角形和勾股定理，或者建立直角坐標系用解析幾何的方法表示直線，求其坐標.芳賀定理的探究不僅限于正方形紙張，也可推廣到長方形紙張中，在已知長方形長寬之比的情況下，分兩種情況——橫向的長方形和縱向的長方形——能夠驗證芳賀定理仍成立.

2.2 X形折痕的研究

如圖4，設正方形ABCD的邊長為1，將正方形ABCD的頂點C向上翻折到與之不相鄰的一邊AB上的任一點I，形成折痕GE，展開.再將頂點D翻折到點I上，形成折痕HF，展開，記折痕GE與 HF的交點為J，則有如下結論：

（1）兩折痕的交點J在線段DC的垂直平分線上.

（2）兩折痕的交點J在正方形ABCD的中心下方一定

范圍內，即交點到上邊AB的距離大于12小于58.

（3）交點到點I的距離與到頂點C和頂點D的距離相等，即點I為△ICD的外心.

（4）邊HG和邊EF的長為固定值，與點I的位置無關.該定理的證明依賴于解析幾何，在這里不作證明.但該定理仍可推廣到長方形中，結論（1）至（3）仍成立，但結論（4）中邊HG和邊EF的長為固定值，而是依賴于長方形的長與寬.

2.3 將紙張一頂點折起

將正方形ABCD的一邊向內任意翻折，但不要沿對角線對折，觀察所形成的陰影部分圖形，會形成三角形、四邊形和五邊形，關鍵決定于向上翻折的頂點最終落在哪個位置（過程如圖5—圖7），通過在15cm×15cm小格上的225次實驗得出如圖8所示的結論，當頂點落在正方形內部陰影區(qū)域時會形成三角形，落在正方形內部陰影區(qū)域外時會形成四邊形;當頂點落在正方形外部三個圓形區(qū)域內時會形成五邊形.并通過面積計算可知落在三角形區(qū)域的概率為6.89%，落在四邊形區(qū)域的概率為37.93%，落在五邊形區(qū)域的概率為55.18%.可知得到五邊形的概率最大，但在實際操作過程中，人們很少能折出五邊形.

2.4 將紙張四個頂點折到內部一點

如圖9，點E為正方形ABCD中的任意一點，分別將四個頂點A、B、C、D折疊到點E，再展開紙張，觀察折痕與沒有被折疊過的邊所形成的圖形，當點E的位置變化時，分別能夠得到四邊形、五邊形和六邊形.通過與2.3（將紙張一頂點折起）相類似的方法，能夠得到如下結論：如圖10，當點E落在花瓣圖形內時，形成六邊形;當點落在正方形內花瓣圖形之外時，形成五邊形;當點落在正方形四個頂點及中心時，形成四邊形.神奇之處在于當正方形變成長方形，會出現(xiàn)七邊形.花瓣圖形首次出現(xiàn)在1994年，芳賀先生在第二屆折紙科技國際大會上展示出該結果，隨后1995年的日本數(shù)學社會教育年會中仍有提到.

2.5 子母線問題

在正方形ABCD上任意折出一條折痕，將其定義為母線，然后依次將各條邊或者各邊的一部分折疊到母線上，展開紙張，得到的折痕記為子線，描出子線的交點，交點的個數(shù)從2個到7個不等，這取決于母線的位置.見圖11所作的六個交點.

子母線定理：在正方形紙張中折出任意一條母線EF，將所有的邊折到該母線上，則子線的交點都在正方形的基礎折線上，即正方形的對角線和對折線上.該定理的證明涉及到全等三角形、角平分線定理及三角形外切圓相關知識.

子母線定理推論：將圖11中的多個正方形平鋪，若子線交點落在原正方形外，則必在其他相鄰正方形的對角線和對折線上，如圖12中的點M.

2.6 主客游戲

如圖13，給正方形的四個頂點分別命名為H和A、B、C，代表主人和三位客人，由主人依次與三位客人會面，每次只見一位客人，其他人不得打擾（如H與A翻折到某一點重合，B、C不能同時翻折到此點），圖13觀察H翻折到不同位置時，能接見到記為客人，實驗方法如2.3（將紙張一頂點折起），得出圖13的結論，點H在不同的位置，能夠與之重合的頂點的個數(shù)也不同.此問題與2.3（將紙張一頂點折起）有相似之處，都是通過觀察翻折后的點的特征來確定原始點H的位置，在多次試驗后畫出“地圖”.因此有了之前的鋪墊，芳賀先生生動形象地將這個問題描述為了一個數(shù)學游戲——主客游戲，增加學生對于折紙的興趣，促使學生主動動腦筋思考問題，實現(xiàn)手腦并用，促進思維與能力的發(fā)展.

2.7 長方形的長與寬等分

本章可以看做對芳賀定理的一系列推論，從正方形推廣到長方形，從三等分到五等分、七等分、九等分、十一等分、十三等分、十五等分、十七等分，也可視為長方形的素數(shù)等分.基于素數(shù)等分，我們可以嘗試合數(shù)的等分.

3 日本課堂中的折紙活動

芳賀先生認為：“折紙對于發(fā)現(xiàn)、驗證數(shù)學原理很有幫助，也有助于滿足學生對數(shù)學知識的渴求，希望讀者能夠好好利用本書去學習折紙幾何學.”在課堂上開展折紙已成為日本教育的一大現(xiàn)狀，日本教科書中有多處利用折紙進行幾何教學的圖片，如圖14.

在“探究將紙張一頂點折起”這一主題中，所授課程的對象是九年級學生，一方面九年級的學生已具備該課題所需的基本知識，如圓的性質、外心、內心、三角形外接圓以及二次方程，學生能夠靈活運用.另一方面這個年齡階段的學生的思維是以經驗型為主的邏輯思維，開始向抽象型邏輯思維轉變，但仍需借助直觀的橋梁.但幾何折紙教學不僅僅局限在九年級，在各個年齡階段有著不盡相同的作用.

【課例1】探究將紙張一頂點折起

教師首先請同學們嘗試將正反面不同的雙色紙的一個頂點向內折起，折出一條折痕，并不斷鼓勵那些不知道該怎么做的學生.

觀察折起的圖形是幾邊形.（有的學生是三角形，有的學生是四邊形）

統(tǒng)計學生的結果，將所有學生的成果展示，如圖15，請第一次折出三角形的學生再折出一個四邊形，第一次折出四邊形的學生再折一個三角形.

提示學生思考兩者折法的不同之處，表明自己的觀點：

學生A：折疊后的圖形中包含兩條相鄰的邊就是三角形;折疊后的圖形中包含兩條相對的邊就是四角形.

學生B：折疊過程中僅有一個頂點在運動就是三角形，折疊過程中有兩個頂點在運動就是四邊形.

學生C：折疊后圖形決定于折紙的頂點所移動的頂點在正方形上的位置.

學生D：折疊后陰影部分在正方形內部就是三角形，折疊后陰影部分在正方形內部就是四邊形.

學生E：若折痕大于正方形邊長則形成三角形，若折痕小于正方形邊長則形成四邊形.

教師請同學通過舉反例等方式驗證上述說法是否正確.在小組討論的過程中，學生的關注不僅僅在于結論的對錯，還考慮到了該結論的缺陷在哪里、應用該結論的條件是什么，每個人都有自己的收獲.

接下來提出下一個問題：頂點落在哪些不同的位置時，會形成三角形和四邊形.通過在15cm×15cm小格上的225次實驗得出不同的結論.

在學生描繪邊界線時，教師會將學生的不同邊界線展示.學生討論哪一種更合理，最終得出曲線的邊界線.

最后，教師總結實驗的過程，并提出科學探究的一般方法如下：

（1）發(fā)現(xiàn)問題：在實踐過程中意識到一種特定的現(xiàn)象或問題.

（2）分析問題：用自己的思想去理解問題.

（3）解決問題：建立方案，收集數(shù)據(jù)資料.

（4）驗證方案：通過數(shù)據(jù)的論證，說明方案的可行性.

（5）結論的變式與一般化：改變結論的條件，增加結論使用的范圍.

在這一節(jié)45到50分鐘的數(shù)學折紙課堂上，教師的角色始終是啟發(fā)者，通過不斷的提問促使學生思考要做什么和為什么要這么做.學生則在動手操作中發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題、得出結論、驗證結論、結論的推廣與一般化.課堂氣氛始終是輕松愉悅的，因為教師不會給出固定的結論，每個學生的說法都可以當做自己要去探究的方向，避免了學生思維僵化，其發(fā)散性思維得到培養(yǎng).

課例中的折紙課采取了小組合作與個別指導相結合的教學組織形式.既讓每一個學生參與其中，又能促進學生之間的交流合作，不失為課堂中的一種德育.折紙課程應盡量規(guī)避集體講授，個別指導即成為一種理想化狀態(tài)下的最佳選擇，在個別指導的過程中，教師能夠清晰地了解學生操作水平的問題，進行對應的指導;小組合作過程中，學生間的多種多樣的折疊方法能夠相互吸引.

這也促使教師發(fā)現(xiàn)其中的問題：既然折出五邊形的面積最大，進而被折疊出的概率最大，為何在課堂折紙過程中，折疊出最多的反而是三角形，這不僅僅是一個數(shù)學概率問題，也是一個心理學的研究方向.

4 啟示與思考

折紙在中國教科書中的地位與日本相差不大，但現(xiàn)實教學中實施狀況相距甚遠.據(jù)統(tǒng)計中國2013年“人教版”教科書中共出現(xiàn)26處，日本啟林館平成24年出版的《數(shù)學》教科書中共有29處.大多集中于平面幾何與立體幾何，尤其是三角形的性質和四邊形的性質.二者較為顯著的不同之處在于理念的側重不同，日本將折紙看做一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學的手段，中國則將折紙視為體驗知識的方式.因此，在我國實際教學過程中，縱使教科書中有折紙的內容，教師也選擇以其他方式教授，如教師直接演示或者教師口述講解，如何開展數(shù)學折紙課程成為一個值得思考的問題.

數(shù)學教學中應避免折紙動手操作流于形式或僅僅只是一項動手操作活動.折紙只有能促使學生思考、探究其中的數(shù)學原理，才能成為輔助教學的手段，否則它只是一種活動形式.而對于教師在促進折紙課堂教學方面可提出如下建議：（1）通過發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題、得出結論、驗證結論、結論的推廣與一般化五個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)中學生獨立思考，教師的職責在于提出適當?shù)膯栴}啟發(fā)誘導.（2）小組合作與個別指導相結合的教學組織形式.既有個人能力的培養(yǎng)，又不乏師生間、生生間的取長補短.（3）融合相關知識，形成課題學習，在折紙過程中體驗數(shù)學之美.

參考文獻

[1]Kazuo Haga.Origamics Mathematical Explorations through Paper Folding[M].Singapore：

World Scientific Publishing，2008：preface.