劉開封，孟海東，陳奇昌，陳 穎，王長江

(火箭軍研究院第六研究所，北京 100090)

0 引言

標(biāo)準(zhǔn)彈道/軌跡制導(dǎo)法(也稱跟蹤制導(dǎo)法)是在航天飛行器工程領(lǐng)域中得到成功應(yīng)用的制導(dǎo)方法[1]。由于臨近空間的環(huán)境復(fù)雜性和不確定性，處于臨近空間飛行的飛行器實際飛行軌跡可能與參考軌跡存在較大偏差，普通的基于狀態(tài)方程線性化的跟蹤制導(dǎo)方法對于小擾動情況效果較好，但應(yīng)用于如臨近空間之類大擾動跟蹤制導(dǎo)時，狀態(tài)方程線性化可能造成較大的制導(dǎo)方法誤差[2]。因此，文中設(shè)計了一種具有積分型切換函數(shù)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)方法(adaptive sliding mode guidance with integral switch function, ISFASMG)，該方法基于線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator, LQR)設(shè)計反饋增益，并在LQR跟蹤制導(dǎo)律表達(dá)式中增加了自適應(yīng)制導(dǎo)項，修正線性化跟蹤制導(dǎo)的方法誤差，使其具有更強(qiáng)的魯棒性，適用于大擾動的臨近空間跟蹤制導(dǎo)。

1 基于ISFASMG的縱向跟蹤制導(dǎo)方法

1.1 具有積分型切換函數(shù)的滑?？刂?/h3>

考慮如下線性不確定系統(tǒng):

[B(t)+ΔB(t)]U(t)+[D(t)+ΔD(t)]TL

(1)

式中:ΔA、ΔB和ΔD分別為系統(tǒng)參數(shù)和外加干擾的不確定性；TL為外加干擾。

上述系統(tǒng)可轉(zhuǎn)換為:

(2)

式中:E(t)為總不確定項，具體如下:

(3)

式中:B+=(BTB)-1BT。

設(shè)計如下積分型切換函數(shù):

(4)

式中:F為正常數(shù)矩陣；K為狀態(tài)反饋增益矩陣。

(5)

由上式可以看出，通過設(shè)計狀態(tài)反饋增益K，可達(dá)到理想的控制效果。

設(shè)計控制器為[3]:

(6)

由式(4)對t求導(dǎo)，并將式(2)和式(6)代入，得:

Bf·sgn[s(t)]+BE}

(7)

FB{E-f·sgn[s(t)]}

(8)

則:

FB[E·s-f·abs(s)]

(9)

由于f≥abs[Ei(t)]，則:

(10)

說明系統(tǒng)穩(wěn)定。

由式(6)可以看出，滑模控制器在線性反饋的基礎(chǔ)上增加了一項f·sgn[s(t)]，而f≥abs[Ei(t)]。又由式(3)可以看出，Ei(t)反應(yīng)了系統(tǒng)參數(shù)誤差和外部干擾，因此滑?？刂破骺尚拚隣顟B(tài)方程線性化的方法誤差和外部干擾，具有更強(qiáng)的魯棒性。

1.2 自適應(yīng)控制器設(shè)計

由式(6)可以看出，控制器中需要確定E(t)的上界。然而，在實際控制過程中，總不確定項E(t)的上界往往難以確定，因此需采用自適應(yīng)控制方法，實現(xiàn)對E(t)的上界的自動自適應(yīng)估計。

(11)

式中:ε為自適應(yīng)項的增益向量，滿足ε>0。

則自適應(yīng)滑模控制律設(shè)計為:

(12)

定義Lyapunov函數(shù):

(13)

則:

(14)

由式(11)，同式(9)推導(dǎo)，得:

(15)

(16)

由式(15)和式(16)，則式(14)可轉(zhuǎn)換為:

(17)

即證明了自適應(yīng)滑模控制的穩(wěn)定性。

1.3 基于LQR的狀態(tài)反饋增益設(shè)計

基于積分型切換函數(shù)的滑?？刂菩枰侠淼脑O(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣K，文中基于線性二次型調(diào)節(jié)理論[4]設(shè)計反饋增益。

線性系統(tǒng)描述如下：

(18)

式中:X(t)為系統(tǒng)狀態(tài)；U(t)為控制變量；Y(t)為系統(tǒng)輸出。

如果希望系統(tǒng)的理想輸出為Y*(t)，則e=Y*(t)-Y(t)為誤差向量。

對于終端時間自由的最優(yōu)控制問題，通常定義以下形式二次型性能指標(biāo):

UT(t)T(t)U(t)]dt

(19)

式中:Q(t)為對稱半正定矩陣；T(t)為對稱正定矩陣；積分式中eT(t)Q(t)e(t)和UT(t)T(t)U(t)分別為狀態(tài)誤差和控制誤差，積分表示過程誤差的累積。

當(dāng)C(t)=I，理想輸出Y*(t)=0時，則控制的目的是使Y(t)=X(t)=e(t)=0。即用最小的控制量使?fàn)顟B(tài)保持在零值附近，稱為線性二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)問題。

根據(jù)Hamilton極小值原理，得上述系統(tǒng)的最優(yōu)控制為：

U*(t)=-T-1(t)BT(t)P(t)X

(20)

P滿足如下Riccati微分方程及邊界條件:

(21)

令最優(yōu)增益矩陣K為：

K=-T-1(t)BT(t)P(t)

(22)

則：

U=KX

(23)

1.4 縱向跟蹤制導(dǎo)問題建模

假設(shè)地球為不旋轉(zhuǎn)均質(zhì)圓球，得縱向運(yùn)動方程為[5-6]：

(24)

由上式可以看出，縱向運(yùn)動僅與傾側(cè)角大小相關(guān)，因此可通過調(diào)節(jié)攻角和傾側(cè)角大小跟蹤縱向軌跡，而通過傾側(cè)角符號控制航向?qū)崿F(xiàn)側(cè)向軌跡的跟蹤。

(25)

式中：

式中:CLv、CLr、CLα為氣動升力系數(shù)CL對v、r、α的偏導(dǎo)數(shù)；CDv、CDr、CDα為氣動阻力系數(shù)CD對v、r、α的偏導(dǎo)數(shù)；ρr為大氣密度ρ對地心矢徑r的偏導(dǎo)數(shù)。

為簡化計算，可令二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣Q和T為對角矩陣，則二次型性能指標(biāo)可轉(zhuǎn)換為:

Q33(δr)2+T11(δα)2+T22(δ|γc|)2]dt

(26)

式中:Q11、Q22和Q33分別為矩陣Q的對角線元素，T11和T22分別為T的對角線元素。為反映各參數(shù)之間的權(quán)重比，參照文獻(xiàn)[7-8]，可令：

其中δvmax、δΘmax、δrmax、δαmax和δ|γc|max分別為對v、Θ、r、α和|γc|的跟蹤誤差最大允許偏差，需根據(jù)經(jīng)驗或仿真結(jié)果人為設(shè)定。

至此，根據(jù)式(21)和式(22)，便可計算出LQR反饋增益矩陣K。

(27)

將式(4)變形得:

(28)

(29)

由式(27)可以看出，基于積分型切換函數(shù)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)方法較普通LQR跟蹤方法，增加了一項自適應(yīng)項，該項反映了對系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾不確定性的自適應(yīng)修正，包括大擾動情況下狀態(tài)偏差線性化帶來的方法誤差，增加了制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性。

2 基于航向走廊的側(cè)向制導(dǎo)方法

縱向跟蹤控制器僅能確定傾側(cè)角γc的大小，不能確定它的符號。因此必須實施側(cè)向制導(dǎo)以確定傾側(cè)角γc的符號，從而獲得完整的制導(dǎo)指令。

通常通過定義航向角偏差走廊實現(xiàn)對側(cè)向軌跡的控制。航向角偏差走廊定義為：以單調(diào)變量為自變量(通常為速度v或待飛航程Stogo)，航向角偏差ΔΦ的允許范圍構(gòu)成的走廊形區(qū)域。當(dāng)飛行器位于航向角誤差走廊中時，代表側(cè)向軌跡在允許偏差范圍內(nèi)，應(yīng)保持當(dāng)前傾側(cè)角符號不變；當(dāng)飛行器超出航向角偏差走廊時，繼續(xù)保持當(dāng)前傾側(cè)角符號會導(dǎo)致航向角偏差增大，并越來越超出偏差走廊，此時應(yīng)改變傾側(cè)角符號，即翻轉(zhuǎn)再入體，使航向角誤差減小并使軌跡回到航向角偏差走廊中。

通常[9-10]，航向角偏差走廊設(shè)計為“漏斗形”的形狀，如圖1所示。為提供良好的初始條件，航向角偏差走廊在初始階段應(yīng)取較小的允許范圍；在中間部分，為避免傾側(cè)角頻繁改變符號，導(dǎo)致再入體頻繁翻轉(zhuǎn)增加控制系統(tǒng)負(fù)擔(dān)，中間部分取較大的允許范圍；在終點(diǎn)時，為保證到達(dá)終點(diǎn)的精度，偏差走廊也應(yīng)取較小的允許范圍。

圖1 航向角偏差走廊示意圖

3 仿真結(jié)果及分析

設(shè)置初始偏差為：δv=100 m/s、δΘ=1°、δΨ=1°、δr=200 m、δλ=0.1°、δφ=0.1°?？v向最大允許偏差為：δvmax=10m/s、δΘmax=0.05°、δrmax=200 m、δαmax=0.2°、δγcmax=1°。氣動系數(shù)誤差服從均值為0的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為氣動系數(shù)值的5%，自適應(yīng)系數(shù)取ε=[5,1,3]T。

分別采用LQR跟蹤制導(dǎo)和ISFASMG跟蹤參考軌跡，單次仿真結(jié)果對比如圖2～圖10所示。由仿真結(jié)果可以看出，使用ISFASMG方法，速度、當(dāng)?shù)厮俣葍A角和地心距離初始誤差能夠很快的減小到一定范圍，說明文中的反饋增益設(shè)計和自適應(yīng)滑模制導(dǎo)設(shè)計合理；中期跟蹤軌跡與參考軌跡存在一定的偏差，是由于中期設(shè)置了較大的航向角偏差容許值，但在末段由于航向角偏差容許值減小，跟蹤軌跡基本與參考軌跡重合；在中期傾側(cè)角僅翻轉(zhuǎn)了一次，在接近終點(diǎn)時為精確控制航向，傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)了3次，總翻轉(zhuǎn)次數(shù)較少，說明航向誤差走廊設(shè)計合理。

并且，ISFASMG對縱向軌跡參數(shù)的跟蹤精度明顯優(yōu)于LQR，由于文中考慮5%的氣動參數(shù)誤差，在再入末期，氣動參數(shù)值較大，對應(yīng)氣動參數(shù)誤差也較大時，LQR跟蹤制導(dǎo)方法對高度與速度跟蹤誤差較大，導(dǎo)致跟蹤軌跡與參考軌跡偏差較大，而ISFASMG仍能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的跟蹤，證明了ISFASMG在大參數(shù)偏差下的魯棒性優(yōu)勢。

圖2 地心距離跟蹤對比

圖3 速度跟蹤對比

圖4 當(dāng)?shù)厮俣葍A角跟蹤對比

圖5 航向角控制對比

如圖11所示，100次跟蹤軌跡打靶結(jié)果表明，ISFASMG方法能夠始終將終點(diǎn)參數(shù)偏差控制在合理的范圍，經(jīng)統(tǒng)計ISFASMG制導(dǎo)精度偏差(圓概率偏差，circular error probable, CEP)約為LQR的1/12左右。

圖6 指令攻角與參考攻角

圖7 指令傾側(cè)角與參考傾側(cè)角

圖8 緯度變化對比

圖9 經(jīng)度變化對比

圖10 三維軌跡變化對比

圖11 終點(diǎn)狀態(tài)偏差統(tǒng)計

4 結(jié)論

文中設(shè)計了一種具有積分型切換函數(shù)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)方法，該方法在LQR跟蹤制導(dǎo)律中增加了自適應(yīng)項，修正了狀態(tài)方程線性化的方法誤差和外部干擾，使其具有更強(qiáng)的魯棒性，適用于大擾動的臨近空間飛行段制導(dǎo)。對比仿真結(jié)果表明，ISFASMG方法能夠很好地對縱向軌跡參數(shù)進(jìn)行跟蹤，大擾動情況下制導(dǎo)精度明顯優(yōu)于LQR跟蹤制導(dǎo)。